“數”“形”結合，分組探究，相得益彰

王慧慧

【摘要】“指數函數的圖像和性質”是蘇教版教材必修一第三章第一課時的內容，是學生在已掌握了函數的一般性質之后系統學習的第一個函數。通過對指數函數定義、圖像及性質的探究，進一步深化學生對函數概念的理解與認識，從“數”和“形”兩個角度得到研究函數性質的方法。在問題探究方式上，采用分組研究的方法，調動學生積極性的同時也讓兩種方法得到了互相驗證，相得益彰。

【關鍵詞】指數函數；教學設計；教學反思；數形結合；分組探究；思維方式

一、對教學幾個環節的認識和重構

1.問題引入，得出概念

師：某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，3個分裂成8個……一個這樣的細胞，分裂x次后，你能求出細胞分裂的個數y與x之間滿足的關系式嗎？

生：y與x之間的關系式，可以表示為y=2（x∈N*）。

師：有1根長1米的繩子，第一次剪去繩長一半，第二次再剪去剩余繩子的一半……剪了x次后繩子剩余的長度為y米，試寫出y與x之間滿足的關系式。

生：y=（）（x∈N*）

這兩個都是實際問題，讓學生感知到這種函數在實際情境中經常會用到，且和以往學過的函數不同，從而體會學習新知的必要性。雖然從實際背景中抽離出兩個數學模型，但是兩個函數定義域都是N*，多多少少會給部分學生造成一定誤解，好像指數函數定義域只可取，所以可以考慮換一個定義域不是N*的實際例子，比如：

某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年，這種物質剩余的質量是原來的84%，如果經過x年，該物質剩余的質量為y，那么該如何描述這兩個變量的關系？

之后，還要說明這兩個變量的關系式都是函數表達式，既然是函數，又和以往的不同，那這種函數的一般形式是什么，取個什么名字比較好，那么這些問題就比較自然了。

2.指數函數概念的理解

新課標在知識與技能層面要求學生掌握指數函數的概念，并能根據定義判斷一個函數是否為指數函數。因此針對一些學生不太清晰或易錯的點要指明。比如判斷y=5×3，y=3，y=-3是不是指數函數。通過以上這三個小問題學生就知道了判斷一個函數是不是指數函數的標準：經過整理后的形式符合：（1） ax的系數是1；（2）a的指數是x；（3）a大于0且a不等于1。三個例子中，y=3是指數函數。這樣就對一些同學的錯誤認識，即只通過看指數位置是否為自變量來判斷是否是指數函數，提前做了規避，加深了對指數函數概念的理解。

3.數形結合得出指數函數性質

新課標在過程與方法層面上要求：（1）通過探討指數函數的概念，感知數學概念的嚴謹性和科學性；（2）在學習指數函數過程中體驗研究具體函數的過程和方法，如從特殊到一般、數形結合、分類討論等數學思想方法。但在實際應用數形結合思想來發現性質時，可能會出現一些問題。

在指數函數的性質得出的過程中，不少老師可能會讓學生通過幾個具體指數函數的圖像來研究，因此會列表，描點，連線。但如果僅僅如此，會有學生在作圖時出現不標出定點（0，1）的情況，導致在觀察圖像時總結不出圖像過定點的結論，原因是他們在列表時就沒想到讓x取0。

為了避免這個問題，一方面我們可以通過類比的方法來解決。比如我們在畫二次函數圖像時，雖然是畫草圖，但草圖上也會標出函數的頂點，以及與坐標軸的交點（若有的話）。由此觀察圖像，得出指數函數過（0，1）定點。這是從“形”的角度來考慮。

另一方面，我們研究函數的性質可以先從函數解析式出發，從“數”的角度得出此函數會有哪些性質。比如，（1）當x=0時，y=1，所以過（0，1）；（2）奇偶性：定義域是R關于原點對稱，但a-x不恒等于 ax，也不恒等于-ax，所以指數函數不具有奇偶性，是非奇非偶函數。（3）單調性：不妨先考慮x取正整數的情況，此時y=ax 就是x個a相乘，所以a>1和01時，y隨著x的增大而增大，y=ax在（-∞，+∞）上是增函數；00，所以值域是（0，+∞）。

當然除了從“數”的角度來分析，還要讓學生動手畫圖（列表，描點，連線），從“形”的角度加以驗證。通過實物投影展示學生作圖，加以對比分析，總結性質。同時借助幾何畫板，展示規范作圖和當a取不同值時的函數圖像，一方面驗證指數函數性質，另一方面引導學生發現指數函數其他可研究的內容。

4.比較值的大小

（1）1.5，1.5 ；（2）0.5，0.5； （3）1.5 ，0.8

除了通過構造指數函數，借助函數單調性來比較值大小外，可能會有學生想到借助作差或作商的方法來比較大小，比如，1.5-1.5=1.5（1-1.5）或者=1.5，不論哪種方法最后還是要借助指數函數的單調性或圖像來比較，因為由指數函數y=1.5的單調性可知，1.50.7>1，所以1.5>1.5。由此可以總結，在處理比較值大小的題目時直接借助指數函數的單調性來解決更好。切不可對學生作差或作商的想法直接予以否定，強行中斷思路，強行引導到構建指數函數的思路上來。（3）可分別借助y=1.5，y=0.8的圖像，觀察出兩個值的大小，學生會自然發現要和1比較。最后總結：在比較不同底的函數值大小時，要尋求中間數來比較，這個中間數常會考慮1，熟練掌握后可不用畫圖?？傊趧偨佑|這類題目時，教師應調動學生學習積極性，讓學生暢所欲言，感受思考帶來的樂趣，學生通過自主探究，歸納出處理這類問題的最優方案。

經過前面四塊內容的改進與重構，下面概述一下這節課整體的教學設計（部分內容已在前面詳述，不贅述）。

二、改進后，我的教學設計

1.創設情境

問題1：某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，3個分裂成8個……一個這樣的細胞，分裂x次后，你能求出細胞分裂的個數y與x之間滿足的關系式嗎？

問題2：某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年，這種物質剩余的質量是原來的84%.如果經過x年，該物質剩余的質量為y，那么該如何描述這兩個變量的關系？

（1）對于關系式y=2 （x∈N）和y=0.84 （x∈（0，+∞））

讓學生思考討論以下問題（問題逐個給出）：

①它們能否構成函數？有什么共同特征？

②是我們學過的哪個函數嗎？如果不是，你能否根據該函數的特征給它起個恰當的名字？

（2）讓學生討論并給出指數函數的定義，同時根據定義，由學生討論給出a的范圍，即a>0且a≠1。

之后，教師可通過讓學生寫出指數函數式的方式來判斷學生是否理解指數函數概念，也可寫出一些解析式讓學生判斷，如計y=5×3x，y=32x，y=-3x。

2.數形結合，分 組探究，歸納指數函數性質

（1）提出問題，集思廣益

問題3：你打算如何研究指數函數的性質？

問題4：一般研究函數哪些性質，你打算怎樣研究？

設計意圖：學生的思路基本會分成兩類：一類嘗試通過邏輯關系的探究，得出定義域、值域及單調性、奇偶性等，這類學生的邏輯思維能力較強；而另一部分學生則想通過畫函數圖像的方法去判斷，這類學生是以形象思維為主要思維方式。這恰恰也反映了高中生在數學學習上表現的兩種典型思維：形象思維和抽象思維。

（2）分組活動，合作學習

按學生思路，將學生分為兩組，一組從解析式的角度入手（不畫圖）研究指數函數性質，一組借助列表、描點、連線的作圖方法，通過觀察圖像研究指數函數性質。

（3）展示交流、逐步完善

教師在巡視過程中應關注各組的研究情況，先讓組一同學的代表從代數角度上臺展示其研究成果，其他組員可對其進行補充完善。再讓組二同學結合自己畫的圖像，利用投影儀展示對前面組一同學的結論進行評價，最后教師對兩組同學的成果以及表現進行點評，并用幾何畫板展示不同的指數函數圖像，與學生一起從“數”、“形”兩個角度對比得出指數函數的性質。當然，還可以拋出問題讓學生留作思考：除了定義域、值域、單調性、奇偶性外，你是否還發現了其他的性質？

設計意圖：這一環節一方面讓學生從兩個角度（代數、幾何）合作探究，自主得出了指數函數的性質，讓學生對新知識理解得更加透徹，掌握得更加扎實，印象更加深刻；另一方面，探究的過程就是學生獨立思考，合作學習，并展示自我的過程，這體現了教學中“以學生為主體”的啟發性教學原則，發揮了學生學習的主動性，激發了其對數學學習的興趣，啟迪其思考，利于其思維水平的提高。同時，這種探究過程能提高學生語言的表達能力和展示自我的勇氣，符合我們本節課對情感態度價值觀這一教學目標的要求，同時也為我們以后研究其他函數的性質指明了方向。

3.鞏固訓練，提升能力

例1.比較下列各組數中兩個值的大?。?/p>

（1）1.5，1.5 ；（2）0.5，0.5； （3）1.5 ，0.8

例2 .（1）已知 3≥3，求實數x的取值范圍；

（2）已知0.2<25，求實數x的取值范圍；

4.課堂小結

（1）本節課我們學到了什么新知識？

（2）回顧我們的研究過程，我們是怎么研究指數函數的。

三、教學反思

（1）本節課的重難點在于如何引導學生研究并歸納出指數函數性質。數形結合的思想方法是高中常用數學方法之一，也反映了高中生的兩種思維方式：抽象思維和形象思維。教師在這一環節中，引導學生從“數”和“形”兩個角度研究函數，避免了學生一些易犯的錯誤，讓學生知其然，知其所以然，明晰研究和思考的全過程，在實際教學中也取得了很好的教學效果，也為以后如何研究函數指明思路。

（2）交流是教學活動最基本的形式，在這一階段，教師給學生提供了一個各抒己見、真實表達自己思路、充滿對話交流的開放性場景，組織學生討論、辯論，互相啟迪，互相評價。在深化知識點的同時，讓學生明白不僅要傾聽和理解他人，還要學會正確的表達自己。本節以學生討論交流為主，教師適時點撥，發現和捕捉學生思維亮點的同時，引發學生更高層次的體驗和感悟。

（3）數學教學是數學思維活動的教學，數學學習只有學習者參與思維活動才有效。教師應讓學生充分思考，去探索問題，在探索中解決問題，在解決問題中引發更深的新問題。只有不斷探索、解決問題，學生的思維能力和創新能力才能得到有效的發展。我們應該堅持關注學生的體驗，在課堂上給學生更多思考的時間和空間。

【參考文獻】

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[3]數學教育研究導引[M].江蘇教育出版社.

[4]陳向陽.指數函數教學設計[J]. 中學數學月刊，2010（11）.