高中數(shù)學(xué)教學(xué)需要研究學(xué)生的學(xué)習(xí)過程

胡智

[摘 要] 在高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的視角下，研究數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性，就必須關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程. 從教學(xué)設(shè)計時預(yù)設(shè)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，到教學(xué)過程中觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，再到教學(xué)反思中理解學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，可以將學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)全程把握在教師的手里，從而保證學(xué)生的數(shù)學(xué)知識構(gòu)建. 此中從數(shù)學(xué)文化以及思想方法角度再進(jìn)行滲透，也就可以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；學(xué)習(xí)過程；知識建構(gòu)；核心素養(yǎng)

在傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，存在著一個基本的認(rèn)識，那就是數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)是為數(shù)學(xué)應(yīng)用服務(wù)的，而這個數(shù)學(xué)應(yīng)用往往又是指利用數(shù)學(xué)知識來解題. 顯然，這樣的認(rèn)識主要來源于當(dāng)前的評價機制，從客觀角度來看，這一現(xiàn)狀是難以改變的. 但長此以往的教學(xué)方式，帶來的最大不足就是有意無意地對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的忽視，尤其是新知構(gòu)建過程中學(xué)生的一些具體思考細(xì)節(jié)的忽視，而這對于當(dāng)前討論得非常熱烈的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)來說，是一個明顯的缺陷. 無法想象，在對學(xué)生學(xué)習(xí)過程缺乏關(guān)注的情況下，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)還能夠有效提升. 高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，具有內(nèi)容繁雜且思維要求高的特征，而這其實正是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要時機，因為在筆者看來，只有經(jīng)由縝密甚至是復(fù)雜的思維，數(shù)學(xué)才能更近地靠近其核心素養(yǎng)內(nèi)核. 從這個角度來講，研究學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，是每一個數(shù)學(xué)教師的基本功. 而基于這樣的認(rèn)識，筆者在教學(xué)中也特別關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程以及學(xué)習(xí)細(xì)節(jié)，并從中揣摩到了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中呈現(xiàn)出來的一些基本特點. 下面就以“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)為例，談?wù)劰P者的實踐與思考.

[?] 教學(xué)設(shè)計中預(yù)設(shè)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程

教學(xué)設(shè)計的過程，可以有兩種基本理解，一是為自己的教學(xué)過程搭建一個框架；二是對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程做一個預(yù)設(shè). 顯然，前者是指向教師的，是為了教師的“教”服務(wù)的，某種程度上來講其保證了教師教學(xué)任務(wù)的完成；而后者則是指向?qū)W生的，是為了學(xué)生的“學(xué)”服務(wù)的，其是為了保證學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)的完成. 雖然從教學(xué)關(guān)系的角度來看，兩者并沒有矛盾，但后者顯然更能保證“以生為本”教學(xué)理念的落實，也能讓數(shù)學(xué)教學(xué)更好地落到實處. 當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)有一個最基本的原則，那就是“以學(xué)定教”，顯然，學(xué)生的“學(xué)”更應(yīng)當(dāng)成為教師在教學(xué)設(shè)計中關(guān)注的重點. 而筆者的實踐表明，在教學(xué)設(shè)計的過程中預(yù)設(shè)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，可以為教學(xué)流程的把握奠定基礎(chǔ).

任意角的三角函數(shù)的教學(xué)，筆者設(shè)計了這樣的三個基本環(huán)節(jié)：首先，通過一個問題的提出，如畫出一個任意的銳角，讓學(xué)生判斷正弦、余弦、正切等. 這一步設(shè)計的目的是讓學(xué)生在原有知識的基礎(chǔ)上，復(fù)習(xí)鞏固這三個三角函數(shù)的基本定義，同時判斷學(xué)生在面對任意角的三角函數(shù)時，會有什么樣的直覺反應(yīng). 比如說看學(xué)生在計算任意角的三角函數(shù)的時候，會不會認(rèn)為函數(shù)的值與所取的點的位置有關(guān). 其次，在單位圓的基礎(chǔ)上，筆者設(shè)計用幾何畫板，將原先給出的任意銳角進(jìn)行變化，以使這個角更具有“任意”的特征，讓學(xué)生去思考如何有效地定義這個角的正弦、余弦與正切. 這是一個在學(xué)生原有認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展，以任意角的三角函數(shù)的定義為抓手，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)概念理解的過程. 最后，在形成定義的基礎(chǔ)上，結(jié)合此前函數(shù)學(xué)習(xí)的認(rèn)識，去判斷任意角三角函數(shù)的定義域，并學(xué)會用弧度表示這一定義域.

在這一教學(xué)設(shè)計過程中，筆者預(yù)設(shè)學(xué)生在第一個步驟里，學(xué)生可以根據(jù)給出的那個任意的銳角，從直角三角形的角度去求得三個三角函數(shù)的值，因為從直角三角形的角度定義三角函數(shù)，是學(xué)生建立函數(shù)認(rèn)識的基礎(chǔ)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有比較扎實的經(jīng)驗. 而在此基礎(chǔ)上將參考系從直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為單位圓，則是結(jié)合高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點，進(jìn)行的一種三角函數(shù)概念建立的體系轉(zhuǎn)換. 第三個步驟實際上也具有同化特征，因為此前學(xué)習(xí)過的關(guān)于函數(shù)的知識，可以讓學(xué)生認(rèn)識到定義域是三角函數(shù)的基本組成部分，唯一需要努力的可能是在弧度制的運用上. 筆者進(jìn)一步預(yù)設(shè)學(xué)生的學(xué)習(xí)順利程度：第一個環(huán)節(jié)應(yīng)當(dāng)是最順利的；第二個環(huán)節(jié)是難度較大的，需要教師的引導(dǎo)；第三個環(huán)節(jié)相對也要容易一些.

[?] 教學(xué)過程中觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)過程

到了實際教學(xué)的過程中，對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的觀察，決定了這一節(jié)課教學(xué)的有效程度，也決定了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)培養(yǎng)的道路上能夠走多遠(yuǎn). 這個觀點從理論角度來理解是沒有任何問題的，畢竟其有著顯然的合理性. 但從教學(xué)實踐的角度來看，卻有著挑戰(zhàn)性，因為教師在更多的情況下，關(guān)注的是自身的教學(xué)思路是否能順利實現(xiàn)，骨子里期待的是學(xué)生的學(xué)習(xí)過程能夠像自己所想象的那樣順利. 但事實并不盡然如此，當(dāng)然也因為這種“意外”，數(shù)學(xué)教學(xué)研究才有了更大的意義.

比如第一個教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生用已有的知識去判斷一個任意角的三個三角函數(shù)值的時候，筆者發(fā)現(xiàn)以幾何畫板任意給出的銳角，對于學(xué)生來說卻是一個較大的挑戰(zhàn)，因為學(xué)生熟悉的是特殊角的三角函數(shù)值，是通過記憶在思維里形成了印象. 而任意角的三角函數(shù)值的計算，卻成了問題，幾乎很少有學(xué)生能意識到可以通過直角坐標(biāo)系來解決問題. 這個時候怎么辦？筆者的做法是幫學(xué)生復(fù)習(xí)三角函數(shù)此前的定義，讓學(xué)生認(rèn)識到直角三角形是解決問題的思路. 這一步比較順利，學(xué)生一經(jīng)提醒，就知道了問題的關(guān)鍵所在. 而下一步就比較關(guān)鍵，筆者提出可不可以將直角三角形納入到直角坐標(biāo)系當(dāng)中去. 學(xué)生起初感覺遲疑，因為直角三角形與直角坐標(biāo)系還是有不同的，學(xué)生最大的不適應(yīng)，就是將直角三角形中的直角邊、斜邊的大小，要轉(zhuǎn)換成坐標(biāo)系中的坐標(biāo). 這個時候就進(jìn)入了教學(xué)的第二個環(huán)節(jié)，此過程中教師的引導(dǎo)很重要，當(dāng)然教師引導(dǎo)的依據(jù)也是學(xué)生實際的學(xué)習(xí)情況. 根據(jù)筆者的觀察，學(xué)生此時表現(xiàn)出的最大困難，就是“長度”向“坐標(biāo)”的轉(zhuǎn)換，而這一步又是下一步利用單位圓構(gòu)建任意角的三角函數(shù)的基礎(chǔ)，因此要引導(dǎo)好. 事實上，學(xué)生理解的困難主要在不適應(yīng)坐標(biāo)可以比較長度上，而筆者的引導(dǎo)則是幫學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識坐標(biāo)系的作用，尤其是坐標(biāo)系在確定某個點的位置的時候，其實也是具有長度特征的. 有了這樣的認(rèn)識，學(xué)生的思維基本上就可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)換了.

到了第二個環(huán)節(jié)，構(gòu)建任意角的三角函數(shù)的定義. 此處，幾何畫板這一現(xiàn)代教學(xué)手段所起的作用非常直觀——任意給出角，可以讓學(xué)生認(rèn)識到所研究的對象角確實是“任意”的，這也就將學(xué)生思維中原有的特殊角轉(zhuǎn)換成了任意角，從而實現(xiàn)了從特殊到一般的學(xué)習(xí)思路的轉(zhuǎn)變，而這才是本課教學(xué)的一個重點. 在此前一個環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)中，筆者已經(jīng)通過變式訓(xùn)練，讓學(xué)生認(rèn)識到一個角的三角函數(shù)值與構(gòu)建直角三角形或坐標(biāo)系中位置的確定是沒有關(guān)系的，關(guān)鍵取決于角的大小. 在此基礎(chǔ)上筆者提出新的問題：能否將其中的某條線確定為單位長度，然后這個任意角的三角函數(shù)就可以不用計算而獲得？這從結(jié)果描述上來說，自然是學(xué)生所歡迎的，但如何才能達(dá)到這個目標(biāo)呢？于是“單位圓”就成為此處研究的重點了. 課堂教學(xué)的實踐表明，部分學(xué)生對“單位圓”中的“單位”一詞存在疑惑，而這個疑惑千萬不能忽視，因為其是學(xué)生認(rèn)識單位圓的基礎(chǔ)，教師有必要向?qū)W生解釋——這是教學(xué)中的一個重要細(xì)節(jié)問題. 而有了這樣的鋪墊，當(dāng)單位圓成為學(xué)生熟悉的一個基礎(chǔ)時，任意角的三角函數(shù)構(gòu)建也就順利多了.

最后的一個重點就是讓學(xué)生適用弧度來表示函數(shù)值與定義域. 筆者注意到學(xué)生在此環(huán)節(jié)中表現(xiàn)出的學(xué)習(xí)困難主要在于角度制與弧度制的轉(zhuǎn)換的順利程度上，以及任意角的三角函數(shù)與單位圓的關(guān)系，也就是說學(xué)生還不大適應(yīng)在單位圓上構(gòu)建對三角函數(shù)的認(rèn)識. 筆者以為，這決定了在近期的教學(xué)中，單位圓都不能急于放掉，而這恰恰是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的一個容易忽視的地方，總認(rèn)為概念出來之后，概念形成的途徑就不再需要關(guān)注了.

[?] 教學(xué)反思中理解學(xué)生的學(xué)習(xí)過程

在課后的反思過程中，筆者進(jìn)一步分析學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，發(fā)現(xiàn)其中存在著一些在教學(xué)設(shè)計時沒有關(guān)注到的盲點. 如學(xué)生在從直角三角形向直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的時候，表現(xiàn)出來的不適應(yīng)，讓筆者有些著急，因為這個環(huán)節(jié)原本沒有設(shè)計太多的時間，但學(xué)生表現(xiàn)出來的困難如果不重視，那學(xué)生后面的學(xué)習(xí)又可能會出現(xiàn)“空中樓閣”的情形. 因此實際教學(xué)中只好慢下來，讓學(xué)生努力做好直角三角形向直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換. 后來想想，這與日常教學(xué)中沒有強調(diào)數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換可能有一定的關(guān)系. 直角三角形更多是以“形”的形式出現(xiàn)在學(xué)生的面前，而直角坐標(biāo)系雖然是一個圖形，但其實更多的是“數(shù)”的加工，難怪學(xué)生的學(xué)習(xí)會有困難. 后面在利用單位圓的時候，實際上也有這個問題. 因此筆者在教學(xué)中即時調(diào)整，強調(diào)讓學(xué)生形成數(shù)與形的認(rèn)識，讓他們知道數(shù)與形在此處都可以服務(wù)于任意角三角函數(shù)概念的建立. 而這樣的認(rèn)識對于高中生來說，理解上并沒有困難，甚至可以進(jìn)一步認(rèn)為，他們只是缺少這一理論上的指引.

進(jìn)一步反思，筆者以為高中數(shù)學(xué)教學(xué)重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，實際上是把握了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，也是抓住了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的細(xì)節(jié). 有了這個細(xì)節(jié)把握，真正的數(shù)學(xué)建構(gòu)就有可能高效發(fā)生，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也就有了堅實的基礎(chǔ).