求函數(shù)值域的問題

白燕峰

摘要：函數(shù)的值域是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，也是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)之一。求函數(shù)的值域在知識(shí)上，除涉及函數(shù)的所有知識(shí)外，還需要不等式等其他重要知識(shí)點(diǎn)；在解題方法上，具有較強(qiáng)的綜合性，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，函數(shù)是重要的內(nèi)容，既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：函數(shù)值域；解題方法；重要內(nèi)容；重點(diǎn)難點(diǎn)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）02-0107

求函數(shù)的值域是學(xué)生感到棘手的問題，它所涉及的知識(shí)面廣，方法靈活多樣，在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，若方法運(yùn)用得當(dāng)，就能起到化繁為簡(jiǎn)、事半功倍的作用。本文就函數(shù)值域的常用求法歸納如下，供參考。

其一，配方法：主要是針對(duì)二次函數(shù)或可化成二次函數(shù)型的最值及值域問題，可用此法。

例：1. 求函數(shù)y=-x2+2x+3的值域

解析：y=-（x-1）2+4，當(dāng)x=1時(shí)，y最大=4，所以，值域是（-∞，4]。

2. 求函數(shù)y=32x+2·3x-1在[0，1]上的最大值。

解析：令3x=t，則y=t2+2t-1=（t+1）2-2

x∈[0，1]，t∈[1，3]，當(dāng)t=3時(shí)，y最大=14

其二，換元法：若函數(shù)表達(dá)式中含有根式、分式、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式等，可考慮用此方法：

例：1. 求函數(shù)f（x）=x+2 的最大值。

解析：方法一：設(shè) =t t≥0，x=1-t2

y=-（t-1）2+2，當(dāng)t=1即x=0時(shí)，y最大=2

方法二：利用導(dǎo)數(shù)法，定義域是{x/x≤1}

f ′（x）=1- 由f ′（x）=0，得x=0

當(dāng)x<0時(shí)，f′（x）>0，f（x）為增函數(shù)

當(dāng)0

當(dāng)x=0時(shí)，f（x）最大=f（0）=2

2. 求函數(shù)y=x+y=x+ 的值域

解析：換元法 由4-x2≥0，知-2≤x≤2

設(shè)x=2cos，θ∈[0，π]，則y=2cosθ+ =2cosθ+2sinθ=22 （θ+ ）

∵θ+ ∈[ ， ]，∴sin（θ+ ）∈[ ，1]

∴y∈[-2，2 ]

其三，導(dǎo)數(shù)法（利用函數(shù)單調(diào)性）

函數(shù)y=ax+ （a>0，b>0）被稱為對(duì)勾函數(shù)，以此為背景的考題，曾是考試熱點(diǎn)。

例：談?wù)摵瘮?shù)f（x）=ax+ （a>0，b>0）的單調(diào)性

解析：f ′（x）=a- 令f ′（x）=0 ax2-b=0 x=±

當(dāng)f ′（x）>0 x> 或x<-

當(dāng)f ′（x）<0 -

f（x）在（-∞，- ]，[ ，+∞）上是增函數(shù)

f（x）在[- ，0），（0， ]上是減函數(shù)

2. 求函數(shù)f（x）=x+ 在[3，+∞]的最小值

解析：此函數(shù)是對(duì)勾函數(shù)，由其性質(zhì)，知f（x）在[3，+∞]上是增函數(shù)，所以，其最小值是 。

其四，分離常數(shù)法

例：1. 求函數(shù)y= 的值域

解析：y=2+ 其值域是{y/y≠2}

2. 求y= 的值域

解析：法一：分離常數(shù)法，y= 由2x-1>-1

知 <2或 >0，∴y>1或y<1

法二：反函數(shù)法2x= ，x=log2

由 >0，得y>1或y<-1。

3. 求函數(shù)y= （x>1）的最小值。

解析：∵x>-1，∴x+1>0

原式= =x+1+ +5≥2 +5=9

當(dāng)且僅當(dāng)x+1= ，x=1時(shí)，等號(hào)“=”成立

∴當(dāng)x=1時(shí)，原函數(shù)的最小值為9。（先分離常數(shù)，再用不等式法求最小值）

其五，不等式法

例：已知：x>0，y>0 ，且 + =1，求x+y的最小值。

方法一：把求二元函數(shù)f（x，y）=x+y，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)。由 + =1得y= =9+ ，由x>0y= >0得x>1

∵x+y=x+9+ =x-1+ +10≥2 +10=16當(dāng)且僅當(dāng)x-1= 即：x=4時(shí)，上式取“=”號(hào)

∴x+y的最小值是16。

方法二：對(duì)二元函數(shù)也可轉(zhuǎn)化為 + 型函數(shù)，然后再用均值不等式。

（上接第107頁）

∵ + =1∴x+y=（x+y）（ + ）=10+ + ≥16當(dāng)且僅當(dāng) = ，即：x=4，y=12時(shí)，上式取“=”號(hào)

∴x+y的最小值為16。

其六，線性規(guī)劃問題，求目標(biāo)函數(shù)的最值問題

例：已知x，y滿足約束條件x≥1x-3y≤-43x+5y≤30

①求目標(biāo)函數(shù)，y=2x+y的最值

②求y= 的取值范圍

③求y=x2+y2的取值范圍

其七，數(shù)形結(jié)合法，函數(shù)表達(dá)式具有明顯的某種幾何定義，如兩點(diǎn)距離、直線斜率等，用此方法會(huì)更加簡(jiǎn)單、一目了然。

例：1. 求函數(shù)y= + 的值域

解析：y=x-2+x+8可看成數(shù)軸上點(diǎn)x與點(diǎn)2與點(diǎn)-8的距離之和，∴y∈[10，+∞）

2. 求函數(shù)y= = 的值域

解析：上式可變形為：

y= -

= =

上式可看成在坐標(biāo)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到定點(diǎn)A（3，2）與B（-2，1），距離之差。

即：y=AP-BP

由AP-BP≤AB=

∴- ≤y≤

y∈[- ， ]

（作者單位：山西省忻州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 034000）