巧用正方體解決立體幾何計算題

李中花

【關鍵詞】 數學教學；正方體；立體幾何；計算題

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C

【文章編號】 1004—0463（2017）06—0124—01

立體幾何知識是高考考查的重點內容，但面對許多復雜的幾何計算問題，常讓人束手無策，找不到解題的突破口.正方體作為最基本的空間模型，包含了豐富的點、線、面的位置關系.若能巧妙地借助正方體解題，必然會得到“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的效果.下面，筆者舉例說明.

一、有關三視圖的一些問題

例如 ，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的所有棱中最長的棱的長度為多少？

解法一：將三視圖還原為三棱錐D-ABC（如圖1），

側面DBC⊥底面ABC

易知 側面DBC∩底面ABC=BC

AB⊥BC?AB⊥面DBC

?AB⊥BD

由側視圖可得，BD=2，BC=4，又AB=4，

則AC=4，AD=6，那么最長棱為AD=6.

解法二：根據三視圖借助一個棱長為4的正方體（如圖2），則三視圖對應的多面體為三棱錐，易得最長棱為AD=6.

評析：在第一種解法中，只根據三視圖本能地畫出幾何體，顯然其中的線面關系不好確定，并且運算量相對較大.而第二種解法中，借助正方體可以有效實現三視圖的還原，降低計算難度，提高解題效率.

變式：一個多面體的三視圖如下圖所示，則該多面體的體積是（ ）.

A. B. C.6 D.7

解：由三視圖中三個圖都是正方形可知該幾何體是棱長為2的正方體（如圖3），截去兩個小三棱錐后余下的部分，其體積V=8-2×××1×1×1=.故選A.

二、有關異面直線的一些問題

例如，直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于多少？

解法一：延長CA到D，使AD=AC，連結A1D，BD，則四邊形A1C1AD是平行四邊形，所以∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角.圖中BA垂直平分DC，得BD=BC.又直三棱柱中AB=AC=AA1，可得BC=BA1=AC1=A1D，則△A1DB是等邊三角形，∠DA1B=60°，即異面直線BA1與AC1所成的角是60°.

解法二：把該直三棱柱補成一個正方體，如圖5所示，借助正方體的性質，知AC1∥BD1，則就是異面直線BA1與AC1所成的角，A1B，DA1，BD三條線段都是正方體三個面的對角線，所以構成一個等邊三角形，因此異面直線BA1與AC1所成的角等于60°.

評析：對異面直線所成的角的問題，經常通過平移直線化異面為共面來解決.在解法一中構造了一個平行四邊形完成了平移直線的任務，但此法相對較難，不容易找到解題的突破口.在解法二中，借助正方體中直線的平行關系成功的將異面直線平移到了某一個三角形中，從而通過解三角形來求角.

變式：在三棱錐A-BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共斜邊，且AD=，BD=CD=1，側面ABC是正三角形，求異面直線AD與BC所成的角.

解：由已知可以得出，AC=AB=BC=，∠BDC=90°，根據正方體的棱長、面對角線長、體對角線長的關系，可以聯想到該三棱錐是棱長為1的正方體的一部分（如圖6所示），則AE⊥面CDBE，直線AD在面CDBE內的射影為ED，又ED⊥CB，根據三垂線定理得AD⊥CB，即它們所成的角是90°.

編輯：謝穎麗