例談化歸思想在初中數學中的應用

陳琪

[摘 要] 化歸是一種重要的數學思想，它的使用可以讓復雜問題簡單化，讓陌生問題熟悉化，讓一般問題特殊化，讓抽象問題具體化. 在初中數學教學中，教師要注意化歸思想的滲透教育，本文結合教學實踐，分析了化歸思想在初中數學中的常見應用.

[關鍵詞] 初中數學；化歸思想；常見應用

化歸思想廣泛地出現在初中數學的教學內容和一般問題之中. 教學中教師有意識地滲透這一思想，引導學生對其進行理解和感受，能有效提升學生的科學素養，發展學生的思維能力和問題解決能力，為他們后續的數學學習打下扎實的基礎.

將陌生問題化歸為熟悉問題

初中生在處理數學問題時找不到相應的解題途徑，往往是因為問題對他們來講太過陌生. 面對此種情形，可以設法將問題化歸為比較熟悉的問題，這樣他們就可以用自己掌握得最為扎實的知識和方法對其進行處理. 比如含有多個未知數的方程組，我們可以采用代入法或加減法對其進行消元處理，進而將其轉化為一元方程來進行求解；還有將單項式的乘除法運算轉化為有理數乘除法與同底數冪乘除法運算、將多項式與單項式的乘除法轉化為單項式的乘除法等. 這樣的處理手段符合人類認知的一般規律，是對學生遷移思維的訓練和發展，有助于學生對已有的認知進行深度理解和應用.

例1 如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD，BC為其上下兩底，AB=CD，兩條對角線AC和BD相互垂直，并相交于O點，已知上底AD長為3，下底BC長為5，求對角線AC的長度.

分析 在處理梯形的有關問題時，我們往往要構建輔助線，例如將腰或對角線進行平移，或是延長兩條腰等，由此構建三角形或是平行四邊形，將原問題轉化成我們所熟悉的三角形或平行四邊形問題來進行解決. 這是一個基本思路，而在具體操作中還要結合問題的具體特點來選擇合適的方法. 本題中有一個重要條件：兩對角線相互垂直，這很容易讓人想起直角三角形中特殊的邊長關系，是否可以這樣來實施化歸呢？進一步研究發現，我們可以將對角線AC平移到右側，即如圖1所示，過D點畫出AC的平行線，與BC的延長線交于E點，這就構成了一個等腰直角三角形，這樣我們就可以運用三角形的知識對問題進行處理.

在運用化歸思想來處理問題時，教師要指導學生找到恰當的化歸目標，這樣才能有助于降低問題處理的難度. 如果盲目地構建輔助線，隨意地對問題進行變化，只會讓問題更加復雜. 比如在對本題的處理中，如果是添加高或是將AC分解成OA與OC的和來計算答案，就使得問題的處理更加復雜.

將復雜問題化歸為簡單問題

將復雜問題進行簡單化處理也是數學問題處理的常見做法. 在初中數學學習中，通過觀察和研究，一個復雜而繁難的問題往往可以化歸為若干個較為簡單的問題，這種化整為零的方法易于學生步步為營、逐個擊破. 教師以這種方法來引導學生對問題展開分析，能夠降低對應問題的難度，從而有效對接學生的能力水平，同時使學生體驗問題由繁到簡的化歸過程，也將幫助他們積累繁難問題的處理方法，提升他們問題解決的能力. 比如初中數學中，我們經常將多邊形的問題化歸為三角形的問題就是這一思想的體現. 再例如，探索“一元一次方程的解法”時，教師先要引導學生由簡到繁地學習一元一次方程處理的基本步驟，在此基礎上明確方程變換的基本目的：無論多么復雜的一元一次方程，我們都要設法將其轉化為x=a的基本形式，這也就是方程的解. 而其他步驟都是為這最后一步服務，將復雜的方程逐步演化為其最簡單的形式. 當學生在探索的過程中能夠深刻領會一元一次方程不斷移項、變化的本質和目的，他們也將深刻理解方程求解的一般化規律，這比死記硬背方程求解步驟更容易為學生所接受.

例2 圖2為五個半徑都等于1的圓，其圓心分別為A，B，C，D，E，則圖中的五個扇形陰影區域的總面積為多少個平方單位？

分析 學生初次接觸這個問題時可能會感到無處著手，按照一般化的處理，學生可能會先求出單個扇形陰影區域的面積，然后對其進行相加來求出最后的結果，這是非常困難的. 但是進一步思考卻可以發現：因為圓的半徑是一個已知數據，聯系到扇形的面積計算公式，所以我們只要明確扇形所對圓心角的度數，即可確認答案的取值. 而且，我們還應該明確本題求解的是一個整體的結果，而并非單個扇形面積. 同時我們還可以發現這些扇形的圓心角正好是五邊形的外角，這些角度的總和正好等于360°，所以答案也就非常明顯了：圖中扇形陰影區域正好拼湊成一個完整的圓形，總面積為π.

將一般問題化歸為特殊問題

數學命題一般具有廣泛性，即它的成立是針對一般情形而言的，但是在解決實際問題時，學生發現一般化的問題往往難以找到問題解決的突破口. 這種情形下，教師可以引導學生將這些問題向特殊情形進行化歸，從而方便學生尋找問題的解決思路，這種化歸思想源于“特殊寓于一般”的客觀規律. 在特殊情形的問題解決之后，學生將從中受到啟發，并最終形成一般問題的處理方法. 例如在引導學生研究一元二次方程的求解方法時，教師都是先采用配方法來得到方程的求根公式，而這一結論又恰恰對一般化的方程具有普遍的適應性. 再例如我們將圓進行五等分處理，從而得到了正五邊形，在此基礎上我們推廣出結論：將圓進行n等分，可以得到正n邊形，這些內容都體現出“由特殊到一般”的化歸思想，通過這樣的處理方法能夠培養學生的創新意識和發散思維.

例3 圖3所示為n個邊長都等于1 cm的正方形，其中每一個正方形的中心恰恰落在另一個正方形的頂點上，求n個正方形的重疊區域的面積之和為多少？

分析 n個正方形對應著一種較為一般化的情形，初中生面對這種問題很難尋找到思路，教師可以啟發他們先從最特殊的方面入手：研究兩個正方形重疊區域的面積，如圖4所示，可以證得：△ADM≌△ACN，如此即可將重疊區域的面積轉化為△ACD的面積，也就是正方形面積的四分之一，以上就是從一般到特殊的轉化. 然后由特殊回歸一般的操作，學生將非常容易理解，單個重疊區域的面積為cm2，n個正方形可以形成n-1個重疊區域，因此最終的面積之和為cm2.

數與形之間的相互轉化

在數學問題處理的過程中，我們發現某些數學問題采用對應領域中的知識進行處理，方法將非常復雜，效率也大打折扣，但是采用其他領域的知識進行解決，就顯得很有技巧性，整個過程簡易而新穎. 數形結合的分析方法就是上述思想的重要體現，華羅庚先生就很推崇這種做法. 他指出，“數缺形時則少直覺，形缺數時難入微，數形結合百般好”. 在初中數學的教學過程中，教師要注意這一方面思想的滲透，比如采用函數圖像來研究函數性質，通過函數解析式來研究函數圖像，這些就是數形結合思想的顯著體現.

例4 方程-x2+5x-2=正根的個數為______.

分析 本題為一個分式方程，如果通過移項的方法將其化歸為整式方程，就會出現三次項. 這明顯超過學生理解的范圍，所以這不是一種合適的化歸. 那怎么處理這個問題呢？這就需要用到數形結合的思想了. 教師可以引導學生將“數”化歸為“形”來進行研究，具體的做法是將上述方程轉化成兩個函數：拋物線y=-x2+5x-2與雙曲線y=，分別構建它們的函數圖像，從圖5所示的情況可知，在x>0的范圍內有兩個交點，因此原方程有兩個正根.

綜上所述，化歸思想有著靈活多樣的應用形式，而且沒有一個固定的界限，只是在使用時各有側重. 而實質上，化歸思想只是我們換一個角度來思考和分析問題，讓思路朝著有利于問題解決的方向發展，這樣的處理是采用多種方法來對同一個問題進行演繹，也正是數學研究的魅力所在.