“勾股定理”在初中數學中的教學價值分析

戚華虹

[摘 要] 勾股定理是初中生必須學習的知識. 勾股定理是一種計算特殊的三角形（直角三角形）邊長、面積的方法，可以說，只要探討直角三角形，人們就要探討勾股定理. 本文研究了初中數學教師優化勾股定理教學的方法.

[關鍵詞] 勾股定理；初中數學；數學教學

勾股定理也可以視為一種特殊的三角函數，而三角函數與幾何問題、函數問題、解析幾何問題都有密切的關系，教師可以通過優化勾股定理教學，為學生學習后續的數學知識做好準備.

勾股定理在培養學生學習興趣

方面的應用

學生的好奇心強，他們對未知的東西容易產生興趣，容易對游戲產生興趣. 勾股定理是最有趣的數學問題之一，無數的數學家還在探索勾股定理的奧妙和證法. 教師可以引導學生了解勾股定理的奧妙，通過探索勾股定理讓他們對數學知識產生興趣. 下面以教師引導學生學習習題1和習題2為例.

習題1 如圖1，這是一棵勾股樹，如果圖1中正方形A，B，C，D的面積為3，5，2，3，試求正方形樹干E的面積.

解答 因為正方形F的面積=S+S=3+5=8，正方形G的面積=S+S=2+3=5，所以正方形E的面積=S+S=13.

圖1繪制的是勾股樹，學生如果學過勾股定理，便能很快應用勾股定理求出答案. 然而教師可以引導學生思考為什么勾股樹可以這樣證明，能不能提出勾股樹的證明方法. 學生如果要求出勾股樹的計算方法，就必須求證勾股定理. 當前勾股定理的證明方法已經超過了100種，教師可以從勾股定理引導學生了解數學變化的樂趣.

習題2 圖2是趙爽弦圖，它由四個全等的直角三角形及中間的小正方形構成. 直角三角形的兩條直角邊的長分別為2和4. 現在，如果把這幅趙爽弦圖當作飛鏢板，人們一鏢飛到中間小正方形的概率是多大？

解答 應用勾股定理可得大正方形的邊長為2. 依圖形相似的定理可知小正方形與大正方形的面積比為1 ∶ 5，即可知投擲到小正方形的概率為.

對于習題2，教師可以引導學生仔細觀察，問問學生習題2像不像七巧板拼出來的圖，然后可以引導學生依題意制作硬紙板拼圖，讓學生在拼接、實踐的過程中找到更多計算習題2的辦法. 學生在拼接中體驗數學知識的過程中，能發掘出更多的數學奧秘，找到更多計算或求證的方法.

數學知識非常奧妙，它涉及具體的數字、抽象的公式、奧妙的圖形，教師如果能讓學生體驗到數學知識變化的奧妙，學生就會更想了解數學知識. 勾股定理是一種非常奇妙的知識，它吸引著無數數學家去探索，教師也可以引導學生去探索，在探索中培養數學情感.

勾股定理在培養學生思維水平

中的應用

學生如果具有較高的思維水平，就能學好數學知識. 學生學習數學需要的思維能力包括發散思維能力、邏輯思維能力、空間想象能力等. 勾股定理是一種與多種數學知識有直接關系的知識，教師可以引導學生以勾股定理為核心，全面培養學生的思維水平，提高學生的思維能力. 下面以習題3為例.

習題3 如圖3，已知圓O與坐標軸交于A（1，0），B（5，0）兩點，點O的縱坐標為，求圓O的半徑.

解答 過點O作OC⊥AB于點C，于是有AC=BC. 由A（1，0），B（5，0）這兩點的坐標可知AB=4，于是可得AC=2. 在Rt△AOC中，因為點O的縱坐標為，所以OC=. 于是可得圓O的半徑OA===3.

部分學生看到習題3的解題步驟，覺得這一解法很神奇. 很多學生表示，假如我不會做習題3，那么怎么才會知道過點O作OC⊥AB于點C是解題的關鍵呢？教師可以引導學生思考：假如從處理幾何的問題來看，一般幾何問題要求的就是邊和角問題. 假如學生能把幾何問題變成勾股問題，學生是不是能夠結合勾股定理這一幾何圖形的計算公式計算出邊和角的問題？如果學生能明白幾何圖形的計算目的，并能以計算為方向應用勾股定理，學生就會理解作這一輔助線的原理. 教師可應用勾股定理培養學生以下思維能力：第一，可以引導學生從習題3出發，培養學生的發散思維能力. 教師可以讓學生看到，不是只有遇到了直角三角形，才應想到應用勾股定理，而是遇到了計算有關邊長與角的問題，就該思考能不能把數學問題變成勾股定理來解決. 第二，可以應用勾股定理培養學生的空間想象能力，如習題3中，雖然這一道題似乎沒有涉及勾股定理，但學生只要添上一條輔助線，就可以把它變成直角三角形問題，應用勾股定理來解決. 第三，可以培養學生的邏輯思維能力. 當學生應用輔助線，把圓的問題變成勾股定理問題以后，學生必須通過嚴謹的推理計算過程，才能得到正確的答案，學生在計算過程中，不能隨便創造已知條件，更不能主觀臆斷地獲得數學答案.

勾股定理是一種非常實用的數學定理，它被廣泛地應用于數學知識中. 教師可以通過引導學生學習勾股定理，從而全面培養學生的思維能力，使學生能夠從更宏觀的角度、更廣闊的幾何空間、更龐大的數學體系中理解數學知識.

勾股定理在培養學生實踐能力

中的應用

學生應該把數學知識融入生活，應用數學知識優化生活. 提高數學實踐能力，是新課改提出的教學目的之一. 勾股定理是一種非常實用的數學知識，教師可以引導學生在生活中發現勾股定理問題，應用勾股定理來解釋及解決生活問題. 下面以習題4為例.

習題4 有一個長3米的梯子AB，斜靠在一豎直墻AO上，此時AO的距離為2.5米. 如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，那么梯子底端B是向外滑了0.5米嗎？

解答 可依題意畫出示意圖4，在Rt△OAB中，OB2=AB2-AO2，于是可得OB=≈1.658. 同理，在Rt△OCD中，應用勾股定理可得OD=≈2.236. 于是可求得BD=OD-OB≈0.578. 于是可知，實際上點B外移了約0.578米.

部分同學在做這道習題時很少去思考墻壁、墻角中還存在勾股定理的知識，但通過這道習題，學生會發現原來生活中處處都有勾股定理的影子. 通過這次學習，學生還發現了勾股定理應用的原理——通過計算三角形的邊是否滿足勾股定理，從而了解角度的正確性. 依此原理，如果學生要在生活中釘一個椅子角，想了解椅子角是不是90°，便可以應用勾股定理來驗證及矯正. 如果要了解一面墻的角度對不對，也可以應用同樣的方法來矯正.

習題5 有一塊直角三角形綠地，現已知兩直角邊的長分別為6米和8米，現要將綠地擴充成等腰三角形，并且擴充部分是以8米為直角邊的直角三角形，求擴充后等腰三角形的周長是多少.

剛開始，學生認為直角三角形改造成等腰三角形綠地的方法只有一種，圖5是同學們提出最多的一種改造方法. 然而，也有部分學生提出了圖6和圖7的改造方法. 同學們總結了這三種改造方法后，計算出了三種改造后綠地的周長.

解答 由條件知AC=8，BC=6，在Rt△ABC中容易求得斜邊AB=10. 如圖5，現讓AB=AD=10，那么可知CD=CB=6，于是△ABD的周長為32米. 如圖6，現讓BD=AB=10，那么可得CD=4，由勾股定理可得AD=4，從而可得△ABD的周長為（20+4）米. 如圖7，當AB為底時，設AD=BD=x，那么可得CD=x-6，由勾股定理可得x=，于是可得△ABD的周長為米.

在這次實踐中，學生了解了在思考數學問題時，不能主觀臆斷，不能應用錯誤的思維創造已知條件或限制已知條件，而要全面理解數學問題，客觀地應用數學知識來解決數學問題.

當然，學生在生活中應用勾股定理的范圍不止于此，教師還可以應用其他教學方法讓學生發現更多勾股定理的應用方法. 比如，教師可以引導學生應用勾股定理來計算高坡的海拔、窗口的高度、旗桿的長度等，讓學生進一步體驗勾股定理的應用方法. 當學生在生活中應用大量勾股定理的知識以后，便會以勾股定理的知識為范例，思考其他數學知識能不能也應用在生活中，從而慢慢找到其他數學知識的應用案例.

學生在實踐中會發現一些生活中不曾想過的數學問題，會遇到在數學理論學習中不曾預知的學習障礙. 學生在實踐中可以一邊吸收理論知識，一邊應用數學實踐克服各種學習難題. 教師可以應用勾股定理的學習，引導學生進行各種數學實踐活動.

總結

勾股定理可以視為一種特殊的三角函數知識，它是學生進一步認識三角形邊、角問題的知識基礎. 教師可以在勾股定理教學中培養學生的數學興趣，提高學生的思維水平，增強學生的實踐能力，為學生學好后續的數學知識打好堅實的基礎.