高中數列概念教學中的邏輯與直覺

戴蓓蓓

[摘 要] 數列是高中數學的重要知識，數學概念的構建需要重視學生的直覺思維與邏輯思維. 利用數學故事創設學習情境的關鍵，是體現其中的思維特征，因此對于學生熟悉的故事可讓他們自己去表述，以推動他們進一步自覺運用不同的思維方式；概念構建的過程中要注意邏輯思維的運用，而數列問題解決的過程中，則需要強化直覺思維決定解題方向，邏輯思維決定解題過程與結果的意識.

[關鍵詞] 高中數學；數列概念；概念教學；思維方式

數列是高中數學教學的重要內容，在數學教學中可以發現，學生的思維往往受邏輯思維與直覺思維的支配，但由于這兩種思維方式有時協調不是太好，因此無論是在新知構建過程中，還是在利用數列知識解題的過程中，總不能表現出很強的技巧，這也給數學教師帶來了困擾，不知道怎樣的教學才是有效的. 當然，面對這一困難，同行們作出的探討也很多，筆者本文試圖從學生的思維方式的角度提出自己的見解.

從思維角度來尋找數學教學中出現的問題的解法，其在筆者看來是一種費力但很直接的方式，因為學生在數學學習中最需要的就是思維的支撐，數學本身也是思維的產物，尤其是高中數學，如果忽視了思維那將寸步難行. 但如果任憑學生的原有思維去自然發揮作用，其與數學學習的要求往往又是不匹配的，因此研究思維方式，更多的是研究其如何促進學生的數學學習. 數列對于高中學生來說，既好玩，又難學，唯有梳理好思維，才能讓學生學習的思路更為清晰.

[?] 直覺思維打破學生的認知平衡

在數列學習的最初階段，教師總喜歡用一些數學故事來作為引入，而筆者在對相關文獻作了簡單的統計之后，發現最常用的數學故事有兩個：一是數學家高斯小時候計算“1+2+3+4+…+100=？”的例子；二是一個國王賞賜立功大臣大米的例子，即在棋盤上按第一格放1粒大米，第二格放2粒大米，第三格放4粒大米，第四格放8粒大米……以此類推，直至棋盤放滿. 應當說這樣的例子之所以得到教師的喜愛，其中重要的原因就是這些例子不僅與數學知識密切相關，而且能夠迅速激發學生的學習興趣，應當說同時具備這兩個功能的數學例子還不多見，因此其受到歡迎也就順理成章了.

但是在實際教學中筆者卻注意到另一種現象，那就是對這些例子的使用其實并沒有達到更好的境界，這就使得這些例子的作用沒有能夠全部發揮. 這就如同中醫治病一樣，因為火候不夠，使得中藥的功能不能全部發揮，這顯然是一件非常可惜的事情. 為什么筆者這么認為呢？原因一，不少學生其實是聽說過這兩個數學故事的，對于高中數學教學來說，如果僅滿足于故事的直接呈現，那么對學生的興趣激發的作用其實是非常有限的；另一個更重要的原因是，如果只滿足于簡單呈現這兩個事例，而沒有學生的思維參與，那么對其后的數列知識的構建也是沒有效果的.

那么，對于這兩個事例，如何有效地滲透思維含金量呢？筆者以為，或許可以這樣進行：

其一，不妨讓學生來敘述這兩個數學故事. 學生不是知道這兩個故事嗎？不是在教師呈現這兩個故事的時候，有學生總表現出因為已知而有些不屑一顧嗎？那就讓學生來說. 這倒不是為了與學生較勁，而是教師必須知道，如果讓學生來敘述這兩個故事，那他們一定就要確保自己講的這個數學故事具有邏輯特征！這是最為關鍵的一點，這就意味著他們要通過思維的加工確保自己所說的故事在邏輯上是自洽的. 這對于學生來說就是一個挑戰了，因為此前他們聽故事時只是一種低水平的直覺思維，所得到的感覺也就是好玩；而現在需要邏輯思維的加工，需要他們對故事中的計算過程有所預測，這時就邏輯思維起作用了. 而且在實際教學中有一個技巧，那就是要給出一定時間讓所有學生進行思考，不能急于叫某個學生起來回答，否則其他學生就會選擇不思考了. 本環節的設計，要的就是全員思考的效果.

其二，讓學生去比較兩個故事中的素材與計算過程的異同. 比較思維一定是學生學習中需要且必須常用的思維，因為很多結論其實都是比較的結果. 通過對這兩個數學故事的比較，學生可以發現高斯這個事例中所呈現的數的規則是自然數1至100的累加，是等差數列；而下棋事例中的數字則是一個等比數列. 盡管此時等差數列與等比數列的概念還沒有出現，但本身這個比較的過程作為思維的一種方式，其就是服務于學生建構這兩個數列概念的（兩個數列概念建立之后再分別實施教學）.

在這樣的過程中，將學習的主動權交給了學生，而學生通過將低水平的直覺思維轉換為高水平的邏輯思維之后，他們就會在尋求邏輯自洽的過程中發現自己原來所了解的其實只是故事的情節，與數學無關，而正是這種感覺會讓學生的認知失去平衡，從而驅動他們進一步思考以尋求新的平衡. 正是因為這個過程，使得學生在建構數列基本概念的時候能形成一個較好的基礎.

[?] 邏輯思維撬動數列的有效建構

在上面的闡述中其實已經涉及了邏輯思維，這也是沒有辦法的事，因為在學生的思考中，確實是做不到將不同的思維方式截然分開的. 但這里筆者還是想將其中的邏輯思維提取出來，以研究其對數學概念建構的作用.

在上面的兩個例子打開了數列的大門之后，教師有必要告訴學生：在數學中按一定順序排列的數就被稱為是數列. 而對數列的研究，可以讓數學的內涵更為豐富. 這樣的簡單敘述基礎上，當然必須讓學生接觸更多的數列——事實上，上面的闡述已經暗示了自然界里存在的按一定順序排列的數是多樣的. 這里可以設計一個教學環節，即讓學生去尋找生活中存在的數列.

這個環節的實質是讓學生通過邏輯推理的方式，由數列的定義出發建構新的數列理解. 于是有學生提出：將1至100倒過來排列，那同樣可以得到一個數列；將1至100前面增加一個負號，也可以得到一個數列. 于是自然也就有人會問：這些數列相同嗎？教師則可以反問：這些數列是不是相同，不是教師說了算的，那要通過自己的思考去判斷！在這個要求的驅動之下，學生會進一步思考：自己面前的這三個數列，要么從數的構成上來看是不一樣的，要么排列順序是不一樣的，這種不一樣其實體現為數列中的某種規律不一樣，但是這種規律是什么呢？在學生思維到這一步的時候，他們往往是無法突破的，這個時候就需要教師提供幫助了. 筆者在這個時候，就是提醒學生：數列中的一些數常常表現出某種規律性，因此在表達數列的時候也常常會有一些具體的技巧，這種技巧就是用符號來表示數列，在此基礎上教師向學生提供首項、通項等概念，并從集合與函數的角度來給數列以進一步的定義. 待到這一定義出現之后，學生發現原來數列還可以進行這種高度概括性的表述，于是對數列的理解就進入了一個新的層次.

在此時，一個不可忽視的教學環節應當是給點讓學生去反思，新的數列理解是如何形成的，必須要讓學生認識到在剛才的學習過程中其實已經經過了一番復雜的邏輯思考，因為自己的思維在不知不覺當中已經從幾個特殊的數列例子，變成了對數列的一般性描述，而這種從特殊到一般的思路，正是高中數學學習的重要方式. 對于高中數學教學而言，這樣的總結時間是必要的，是提升學生數學學習品質的一個關鍵.

當然，此過程中用到的具體的邏輯思維的方式是不必明示的，因為思維本身通常就是數學教學的暗線，只需要學生在用這種思維方式即可.

[?] 問題解決中多思維的共同運用

數列教學中遇到的另一個挑戰就是問題解決中相關知識的運用，要讓學生在新知學習中形成的知識體系與能力有效地遷移到問題解決過程中去，這需要教師在精選習題以作為學生思維臺階的基礎上，進一步綜合學生的思維方式，以形成合力效果. 這里僅就邏輯思維與直覺思維作一闡述，至于另一種重要的思維方式——形象思維，則不贅述.

數列概念構建完畢之后，最適宜呈現的自然就是與概念直接相關的數學問題. 比如，可以選擇這樣的一道習題：已知某等差數列{an}滿足a1+a2=10，a4-a3=2，求{an}的通項公式. 這樣的試題在教學中主要起的作用就是鞏固概念并向高層次問題過渡，通常不需要太多的時間，但不能忽視在問題解決過程中對學生思維的關注. 筆者通過觀察發現，此時學生遷移困難主要體現在通項公式的假設上，這是一個看起來奇怪但很正常的現象，因為不少學生確實缺少根據數學概念形成數學問題解決思路的能力，而筆者之所以強調思維方式，其實也就是強調這個過程中能力的形成. 教師必須讓學生知道，因為題目中明確指出了這是等差數列，因此我們（學生）的思維出發點，就應當是等差數列的通項公式，只有將題目中出現的信息與通項公式聯系起來時，才會有清晰的解題思路.

顯然，這種聯系必須是一種直覺思維，而后的計算等則是邏輯推理的結果，這樣的闡述背后，是直覺思維與邏輯思維在問題解決過程中的同時存在，前者決定解題方向，后者決定解題正確性. 再想想，是不是幾乎所有的數學問題都是這樣的？良好的解題一定是直覺思維決定方向，邏輯思維決定過程與結果，明白了這一點，以后的數學問題解決教學的思路也就清晰了.