芻議高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)“變”的魅力

邱明朗

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題話題的探討，學(xué)生解題能力的提升是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要目標(biāo)，本文以高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)為載體，重點(diǎn)從“一題多解、一題多變、多題一解”三個(gè)方面進(jìn)行分析，旨在體現(xiàn)變式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)解題中的有效運(yùn)用.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；變式

高中數(shù)學(xué)涵蓋的知識(shí)點(diǎn)多，題型多變，如何提高學(xué)生的解題能力，使學(xué)生做到舉一反三，掌握解題的技巧與方法，在各類考試中迅速找到解題思路，是一線數(shù)學(xué)教師關(guān)注的重點(diǎn). 變式教學(xué)有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)題目的本質(zhì)，將其應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，可提高解題速度及正確率；筆者根據(jù)自身教學(xué)實(shí)踐，側(cè)重于探討如何在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中靈活運(yùn)用變式教學(xué)的具體手段與措施，以饗讀者.

[?] 變式教學(xué)之“一題多解”

高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，部分學(xué)生感覺數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)多而零碎，甚至較為抽象，無法掌握正確的解題方法，失去數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣. 針對(duì)這一情況，教師可以結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，注重從學(xué)生角度看待問題，將變式教學(xué)法應(yīng)用到教學(xué)實(shí)踐中. 一題多解意在培養(yǎng)學(xué)生深入分析數(shù)學(xué)題目的能力，從不同的角度入手進(jìn)行解題，正所謂殊途同歸，使學(xué)生根據(jù)自身數(shù)學(xué)水平掌握其中一種解題方法即可，以滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求. 同時(shí)，一題多解一定程度上增加了數(shù)學(xué)解題的趣味性，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣. 因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)立足教學(xué)實(shí)際，注重一題多解變式教學(xué)法的應(yīng)用.

案例1：試求函數(shù)y=的值域.

該題目難度一般，在測試中一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，因此，如何采取正確的方法迅速解題，縮短解題時(shí)間尤為關(guān)鍵. 為使不同學(xué)生均能迅速解題，教師可運(yùn)用多種解法對(duì)其進(jìn)行講解，具體如下：

解法1：y==3-，由于-1≤cosx≤1，則y的值域?yàn)?/p>

-2，

.

解法2：將原式等價(jià)變形為cosx=，由于-1≤cosx≤1，則y的值域?yàn)?/p>

-2，

.

以上兩種解題方法均能得出正確答案，其中解法1很多學(xué)生都能想到，而且計(jì)算較為簡單；解法2只有部分學(xué)生能夠想到，其巧妙地利用了三角函數(shù)的值域，另辟蹊徑. 本題給我們的教學(xué)啟示為：遇到y(tǒng)=或y=形式的題目求解值域時(shí)，應(yīng)注重將分子進(jìn)行分離或借助三角函數(shù)的值域進(jìn)行求解.

一題多解變式教學(xué)法體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)題目深度的考查，要想做到一題多解，必須吃透題目，熟練掌握題目涉及的知識(shí)點(diǎn). 一題多解對(duì)學(xué)生分析問題、解決問題的能力要求較高，教學(xué)實(shí)踐中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘題設(shè)條件，認(rèn)真、冷靜審題，切勿心煩氣躁，防止不加思考就動(dòng)筆，一動(dòng)筆就出錯(cuò)的現(xiàn)象出現(xiàn).

[?] 變式教學(xué)之“一題多變”

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生思維定式給解題帶來的影響較大，對(duì)于教師講解過的題目，稍微改變其條件，部分學(xué)生仍采用以往的解題方法，導(dǎo)致解題出錯(cuò). 高中數(shù)學(xué)考查形式多變，綜合性較強(qiáng)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生，在關(guān)注數(shù)學(xué)題目“形”的同時(shí)，還要注重?cái)?shù)學(xué)題目“質(zhì)”的把握；教師可以靈活運(yùn)用一題多變的變式教學(xué)方法，使學(xué)生做一道題會(huì)一類題，切實(shí)提高數(shù)學(xué)解題效率.

案例2：已知△ABC中，B，C的坐標(biāo)分別為（0，6），（0，-6），其他兩邊的斜率之積為，試求A點(diǎn)的軌跡方程.

在實(shí)際課堂教學(xué)中，教師為了幫助學(xué)生掌握此類題目解題的規(guī)律，提高解題的效率，創(chuàng)設(shè)如下變式：

變式1：已知雙曲線方程-=1上的一動(dòng)點(diǎn)P，C與C′為雙曲線上的兩個(gè)定點(diǎn)且滿足kPC·kPC′=，求證：C與C′兩點(diǎn)關(guān)于雙曲線中心對(duì)稱.

變式2：已知雙曲線方程-=1，斜率為k的直線l與其中一分支相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，連接OM，直線OM斜率為kOM，求證：k1·kOM=.

顯然，變式1與變式2難度較例題有很大的提高，教師應(yīng)在講解例題的基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)案例生思考變式1與變式2，該如何解答. 通過分析不難得出，求解兩個(gè)變式與例題所用的解題思路相同；可見，在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，有效運(yùn)用一題多變的變式教學(xué)方法，可以從簡單題目入手，逐漸進(jìn)行變化，難度逐漸提高，讓學(xué)生嘗試到學(xué)習(xí)的成就感，逐漸培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.

[?] 變式教學(xué)之“多題一解”

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些數(shù)學(xué)問題盡管形式以及考查的內(nèi)容不同，但應(yīng)用的解題思路相近或相同. 當(dāng)學(xué)生掌握一種解題思路，便可順利地解答出類似的題目，可謂是“多題一解”，進(jìn)而提升解題教學(xué)效率. 高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)該靈活運(yùn)用多題一解的變式教學(xué)方法，逐步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一些數(shù)學(xué)題目的特點(diǎn)與規(guī)律，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)與反思，從而避免學(xué)生走進(jìn)題海戰(zhàn)術(shù)的誤區(qū)，鼓勵(lì)學(xué)生將遇到的數(shù)學(xué)題目分門別類，將運(yùn)用同一種解題思路的題目歸類，切實(shí)掌握多題一解的變式教學(xué)方法.

案例3：已知sinα=+cosα

0<α<

，試求：的值.

案例4：已知0<α<，-<β<0，cos

+α

=，cos

-

=，試求：cos

α+

的值.

案例5：已知sin

+θ

=，試求：sin2θ的值.

在案例3中求解的值是比較復(fù)雜和煩瑣的，本題可以結(jié)合題目特征，采取“先化角，再化名”（先將復(fù)雜式子角轉(zhuǎn)化為簡單式子的角，再將三角函數(shù)名轉(zhuǎn)化成簡單式子的三角函數(shù)名）的原則，即將兩個(gè)式子的角度均轉(zhuǎn)化為α-，三角函數(shù)名轉(zhuǎn)化為sin

α-

；通過分析不難發(fā)現(xiàn)，案例4和案例5均可使用“先化角，再化名”的思路進(jìn)行順利求解，在案例4中，觀察發(fā)現(xiàn)幾個(gè)角之間存在

+α

-

-

=

α+

的關(guān)系（“化角”即可實(shí)現(xiàn)），再用余弦的兩角差公式展開即可完成“化名”過程；在案例5中，2θ轉(zhuǎn)化為+θ的形式（化角），思考2

+θ

=+2θ即可聯(lián)想運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解.

通過分析不難發(fā)現(xiàn)，案例4和案例5均可使用解決案例3的思路進(jìn)行順利求解，教學(xué)實(shí)踐中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)相關(guān)題型的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，采取多題一解變式教學(xué)方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)效率的提升. 當(dāng)然，教師除注重典型例題講解外，還應(yīng)注重多題一解變式教學(xué)法的應(yīng)用技巧與注意事項(xiàng)，防止學(xué)生對(duì)多題一解產(chǎn)生依賴，應(yīng)做到具體問題具體分析，結(jié)合數(shù)學(xué)題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).

總而言之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，靈活運(yùn)用“一題多解、一題多變、多題一解”的變式教學(xué)方法是新課改發(fā)展的必然要求. 作為一線的高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該根據(jù)不同的變式類型，結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，選取典型試題進(jìn)行講解，提高數(shù)學(xué)解題教學(xué)的針對(duì)性，改變學(xué)生傳統(tǒng)的通過多做題學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的觀念，引導(dǎo)其做題的針對(duì)性和高效性，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成自己“編寫”數(shù)學(xué)題目的意識(shí)和能力，讓學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)題目理解與掌握的同時(shí)，不斷提升處理問題的綜合能力.