以“圓錐曲線”為例談高中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)

何燕萍

[摘 要] 概念是表征數(shù)學(xué)問題、導(dǎo)出數(shù)學(xué)原理的邏輯基礎(chǔ)，也是建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系的中心環(huán)節(jié)，是解決數(shù)學(xué)問題的基本前提，因此高中數(shù)學(xué)教師要重視學(xué)生的概念建立. 本文以“圓錐曲線”的概念教學(xué)為例，探討了引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的基本策略.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；基本策略

概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)所在，高中數(shù)學(xué)教師在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)概念時(shí)，務(wù)必要講究教學(xué)策略. 下面筆者就以“圓錐曲線”的概念教學(xué)為例，談?wù)劰P者在這一方面的思考.

[?] 精心創(chuàng)設(shè)問題情境，幫助學(xué)生開啟研究

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，合理而科學(xué)的問題情境，能夠有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的熱情，并激起學(xué)生的探究欲望，進(jìn)而在課堂營造自主探究、合作學(xué)習(xí)的氛圍. 優(yōu)秀的情境創(chuàng)設(shè)除了帶有趣味性和質(zhì)疑性等特點(diǎn)之外，筆者認(rèn)為它還應(yīng)該具有以下兩方面功能，其一是它應(yīng)該讓學(xué)生盡快完成學(xué)習(xí)者和研究者的角色切換，其二是能讓學(xué)生對本課的核心問題進(jìn)行探索和研究的過程中體驗(yàn)到成功的喜悅.

筆者在本課教學(xué)中是這樣來創(chuàng)設(shè)情境的：天文學(xué)的研究表明，行星的繞轉(zhuǎn)軌道為橢圓，彗星的運(yùn)行軌跡可以為橢圓，也可能為雙曲線或拋物線，除了天體運(yùn)行存在如此特殊的運(yùn)動(dòng)軌跡，日常生活中還有別的物體的運(yùn)行軌跡或形狀是雙曲線、拋物線和橢圓，請大家進(jìn)行舉例說明.

設(shè)計(jì)目的：從學(xué)生已經(jīng)熟悉的天體運(yùn)動(dòng)出發(fā)，逐步引入即將探索的主題；然后將學(xué)生的思路拉回到自己的生活情境，讓學(xué)生感受到這些曲線和我們的距離并不遙遠(yuǎn)，進(jìn)而激起學(xué)生探索的欲望.

提出問題：如果用一個(gè)平面來截圓柱體，會(huì)產(chǎn)生哪些圖形？

設(shè)計(jì)目的：通過最簡單的操作讓學(xué)生能夠直擊橢圓的產(chǎn)生，而且學(xué)生在操作和探索中必然會(huì)發(fā)現(xiàn)，由圓到橢圓的演變過程，這為學(xué)生研究橢圓的概念奠定了基礎(chǔ).

課堂效果：幾乎所有的學(xué)生都能在操作中經(jīng)歷水平截面到傾斜截面的演變過程，進(jìn)而非常直接地獲得圓與橢圓兩種曲線.

提出問題：如何來定義橢圓呢？

這是本課的核心概念之一，也是學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)之一，這需要教師精心設(shè)計(jì)一系列問題，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)，逐步深入地研究橢圓的概念和特征. 而且以問題為引導(dǎo)，學(xué)生還將逐層進(jìn)行分解，進(jìn)而讓問題的解決更加順利.

問題點(diǎn)撥1：在平面內(nèi)，到某定點(diǎn)的距離等于等長的點(diǎn)的集合即為圓.圓上任意一點(diǎn)的基本特點(diǎn)：到圓心的距離都相等，我們是否可以采用類似的方法來探求橢圓的定義，即橢圓上的各個(gè)點(diǎn)是否存在共同的特征？

問題點(diǎn)撥2：在剛才的操作過程中，由圓逐漸過渡為橢圓，是否可以將橢圓視為圓在某一方向上經(jīng)過拉伸而形成的結(jié)果？怎么拉伸的？

問題點(diǎn)撥3：為了更加形象地揭示橢圓的形成過程，我們可以設(shè)想在截面上下兩側(cè)各有一個(gè)與截面以及圓柱體相切的球體. 開始時(shí)切面是水平的，這兩個(gè)球分別與截面相切，且切點(diǎn)重合；當(dāng)截面的切斜角度發(fā)生改變時(shí)，切點(diǎn)逐漸分開，如圖1所示對應(yīng)為點(diǎn)F1和點(diǎn)F2，當(dāng)截面確定時(shí)，存在哪些恒量？

[G1][G2][G3][N][F1][F2][P][M]

圖1

問題點(diǎn)撥4：假設(shè)點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)任意點(diǎn)，問與P點(diǎn)相關(guān)的幾何量中存在哪些恒定量？

問題點(diǎn)撥5：截面確定，球體確定，PF1和PM都是球體的切線，則PF1=PM. 同理還有結(jié)論P(yáng)F2=PN，而PM+PN=MN是定值，因此有PF1+PF2=MN也是定值，因此這就是橢圓上各個(gè)點(diǎn)共同的特點(diǎn).

至此學(xué)生將對橢圓的形成過程和基本概念形成初步了解，也掌握了用“距離之和”來定義橢圓的方法.

在上述教學(xué)設(shè)計(jì)中，我們采用問題串來引導(dǎo)學(xué)生來逐步認(rèn)識(shí)橢圓的概念，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，筆者還有以下思考：教材中有關(guān)橢圓的形成是從圓錐面開始的，但是有關(guān)圖形相對比較復(fù)雜，特別是圓錐頂角位置的內(nèi)切球是否存在且是否唯一，這些問題都是學(xué)生在理解過程中較為困難的地方. 事實(shí)上，從學(xué)生在課后的反饋情況來看，學(xué)生對本設(shè)計(jì)中所涉及的圓柱體內(nèi)切球的存在以及唯一性問題也存在一定的理解難度. 因此，如果采用更加復(fù)雜的圖形來處理將給學(xué)生造成更大的困難，簡化處理能讓問題的研究更加直接、更容易上手. 那么拋物線和雙曲線的教學(xué)又如何進(jìn)行引入呢？筆者將把這些內(nèi)容放在學(xué)生完整地、嚴(yán)格地掌握好橢圓的概念之后再來進(jìn)行研究，這樣的處理能彌補(bǔ)學(xué)生思路中可能存在的脫節(jié)問題，也能確保教學(xué)宏觀層面問題串的遞進(jìn)性關(guān)系.

[?] 巧用正反論證，幫助學(xué)生鞏固概念

學(xué)生結(jié)合實(shí)例以及操作所形成的結(jié)論一般都比較粗糙，且比較片面，還需要進(jìn)行深層次的加工，教師需要指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)方法對其進(jìn)行正反兩面的證明和論證，以實(shí)現(xiàn)去偽存真的效果，幫助學(xué)生真正地理解和掌握相關(guān)概念. 為此，教師在上課之前應(yīng)該對問題形成充分的認(rèn)識(shí)，一方面逐字逐句地對定義進(jìn)行研究，比對其內(nèi)涵及外延，從而做出有著確定依據(jù)的科學(xué)結(jié)論；另一方面，教師要有一個(gè)較為全面的課前預(yù)設(shè)，要設(shè)想學(xué)生在探索中可能遇到的每一個(gè)問題，并探求相應(yīng)問題的最佳引導(dǎo)方案.

例如在引導(dǎo)學(xué)生對橢圓的概念進(jìn)行定義時(shí)，筆者就充分進(jìn)行了預(yù)設(shè)，并將其運(yùn)用于課堂實(shí)踐，具體情形如下：

生1：我們可以這樣來定義橢圓，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于某一定值的點(diǎn)的集合即為橢圓.

師：很好，我們對比一下橢圓與圓的定義，圓的定義著眼于“到一個(gè)定點(diǎn)的距離”，而橢圓的定義著眼于“到兩個(gè)定點(diǎn)的距離”，這兩個(gè)定點(diǎn)就叫作橢圓的“焦點(diǎn)”.

（這里師生對話的目的在于引導(dǎo)學(xué)生回顧橢圓定義的形成過程，強(qiáng)調(diào)“距離之和”是定義的關(guān)鍵詞.學(xué)生的回答和筆者課前的預(yù)設(shè)相吻合. 于是筆者用下面一個(gè)實(shí)驗(yàn)來趁熱打鐵，鞏固學(xué)生對橢圓定義的認(rèn)識(shí).）

師：之前我們已經(jīng)為每一個(gè)學(xué)習(xí)小組提供了圖釘、細(xì)線、白紙，請相互配合，在紙上畫出一個(gè)橢圓.

各個(gè)小組紛紛開始思考、討論并操作，最終都在紙上畫出了一個(gè)橢圓.

師：你們畫橢圓時(shí)運(yùn)用了哪些原理？

生2：我們是從橢圓的定義出發(fā)，具體操作時(shí)兩枚圖釘確定好焦點(diǎn)的位置，然后用細(xì)繩套住鉛筆來劃線，鉛筆經(jīng)過位置到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和始終等于定值——細(xì)線的總長.

師：很好，我們從橢圓的定義出發(fā)，還可以得到橢圓上各點(diǎn)的基本性質(zhì)，即只要這個(gè)點(diǎn)在橢圓上，那么這個(gè)點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的和就等于常數(shù)，在剛才的操作中你們對此也有所體會(huì). 那么到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的集合就一定是一個(gè)橢圓嗎？

筆者提問時(shí)，在最后強(qiáng)化了疑問的語氣，學(xué)生的思維也被徹底激活，思維活躍的學(xué)生迅速指出：應(yīng)該是橢球，原本關(guān)于橢圓的定義必須加上限定“在平面內(nèi)”.

師：講得不錯(cuò).橢圓就是一個(gè)平面圖形，本來截線也就在截面內(nèi).

教師用手指一指圓柱面的截面操作，稍稍停頓后，繼續(xù)追問：在同一個(gè)平面中，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和等于定值的點(diǎn)的集合就一定是橢圓嗎？

這個(gè)問題對學(xué)生顯得比較突然，學(xué)生稍微遲疑后，紛紛投入實(shí)驗(yàn)、畫圖等探索過程中，很快就有學(xué)生示意得到了答案.

生3：當(dāng)這個(gè)定值正好等于定點(diǎn)之間的距離時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是一條線段，因此橢圓定義中必須強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，即距離之和所等于的那個(gè)定值必須要大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離.

到此為止，學(xué)生通過正反論證，基本上對橢圓的定義以及橢圓上各點(diǎn)基本性質(zhì)實(shí)現(xiàn)了掌握.

[?] 通過類比、聯(lián)想、發(fā)散等方法，促進(jìn)學(xué)生完善概念體系

教學(xué)過程中，當(dāng)學(xué)生對重點(diǎn)知識(shí)和方法已經(jīng)有所了解之后，他們也就初步具備了研究一類問題的能力，在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過類比、聯(lián)想、發(fā)散等方法，由此促進(jìn)他們對概念體系的完善.

例如當(dāng)學(xué)生已經(jīng)對橢圓的相關(guān)概念形成認(rèn)知之后，我們可以讓學(xué)生通過類比和聯(lián)想等手段，來促進(jìn)學(xué)生對其他兩種圓錐曲線進(jìn)行研究和分析.

提出問題：用一個(gè)平面來截圓柱面可以得到橢圓，那么用一個(gè)平面去截怎樣的曲面，可以得到另外兩種曲線呢？

設(shè)計(jì)目的：由圓柱面到圓錐面，這可以幫助學(xué)生從字面上來認(rèn)識(shí)圓錐曲線的意義，進(jìn)而幫助學(xué)生系統(tǒng)化地認(rèn)知解析幾何中的幾個(gè)重點(diǎn)圖形，這有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念形成系統(tǒng)化的認(rèn)識(shí).

上述問題貌似較難，但是學(xué)生不難做出判斷，因?yàn)樗麄円簿徒佑|過球面、圓柱面以及圓錐面等幾類曲面，稍加篩選就有答案. 結(jié)合學(xué)生的作答，教師再通過課件來演示數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生形成更加清晰的認(rèn)識(shí). 當(dāng)然更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍钚纬桑€需要學(xué)生認(rèn)真閱讀教材，最終實(shí)現(xiàn)知識(shí)體系的完整建構(gòu).

綜上所述，在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念時(shí)，教師一定要巧妙設(shè)計(jì)情境，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與熱情，讓學(xué)生在觀察、操作、分析、類比、聯(lián)想等一系列探究活動(dòng)中，獲取認(rèn)知、提升能力.