何燕萍

[摘 要] 概念是表征數(shù)學問題、導出數(shù)學原理的邏輯基礎，也是建立數(shù)學知識體系的中心環(huán)節(jié)，是解決數(shù)學問題的基本前提，因此高中數(shù)學教師要重視學生的概念建立. 本文以“圓錐曲線”的概念教學為例，探討了引導學生建構數(shù)學概念的基本策略.

[關鍵詞] 高中數(shù)學；概念教學；基本策略

概念教學是高中數(shù)學的基礎所在，高中數(shù)學教師在引導學生建構概念時，務必要講究教學策略. 下面筆者就以“圓錐曲線”的概念教學為例，談談筆者在這一方面的思考.

[?] 精心創(chuàng)設問題情境，幫助學生開啟研究

高中數(shù)學教學中，合理而科學的問題情境，能夠有效調動學生的熱情，并激起學生的探究欲望，進而在課堂營造自主探究、合作學習的氛圍. 優(yōu)秀的情境創(chuàng)設除了帶有趣味性和質疑性等特點之外，筆者認為它還應該具有以下兩方面功能，其一是它應該讓學生盡快完成學習者和研究者的角色切換，其二是能讓學生對本課的核心問題進行探索和研究的過程中體驗到成功的喜悅.

筆者在本課教學中是這樣來創(chuàng)設情境的：天文學的研究表明，行星的繞轉軌道為橢圓，彗星的運行軌跡可以為橢圓，也可能為雙曲線或拋物線，除了天體運行存在如此特殊的運動軌跡，日常生活中還有別的物體的運行軌跡或形狀是雙曲線、拋物線和橢圓，請大家進行舉例說明.

設計目的：從學生已經熟悉的天體運動出發(fā)，逐步引入即將探索的主題；然后將學生的思路拉回到自己的生活情境，讓學生感受到這些曲線和我們的距離并不遙遠，進而激起學生探索的欲望.

提出問題：如果用一個平面來截圓柱體，會產生哪些圖形？

設計目的：通過最簡單的操作讓學生能夠直擊橢圓的產生，而且學生在操作和探索中必然會發(fā)現(xiàn)，由圓到橢圓的演變過程，這為學生研究橢圓的概念奠定了基礎.

課堂效果：幾乎所有的學生都能在操作中經歷水平截面到傾斜截面的演變過程，進而非常直接地獲得圓與橢圓兩種曲線.

提出問題：如何來定義橢圓呢？

這是本課的核心概念之一，也是學生學習難點之一，這需要教師精心設計一系列問題，引導學生循序漸進，逐步深入地研究橢圓的概念和特征. 而且以問題為引導，學生還將逐層進行分解，進而讓問題的解決更加順利.

問題點撥1：在平面內，到某定點的距離等于等長的點的集合即為圓.圓上任意一點的基本特點：到圓心的距離都相等，我們是否可以采用類似的方法來探求橢圓的定義，即橢圓上的各個點是否存在共同的特征？

問題點撥2：在剛才的操作過程中，由圓逐漸過渡為橢圓，是否可以將橢圓視為圓在某一方向上經過拉伸而形成的結果？怎么拉伸的？

問題點撥3：為了更加形象地揭示橢圓的形成過程，我們可以設想在截面上下兩側各有一個與截面以及圓柱體相切的球體. 開始時切面是水平的，這兩個球分別與截面相切，且切點重合；當截面的切斜角度發(fā)生改變時，切點逐漸分開，如圖1所示對應為點F1和點F2，當截面確定時，存在哪些恒量？

[G1][G2][G3][N][F1][F2][P][M]

圖1

問題點撥4：假設點P是橢圓上的一個任意點，問與P點相關的幾何量中存在哪些恒定量？

問題點撥5：截面確定，球體確定，PF1和PM都是球體的切線，則PF1=PM. 同理還有結論PF2=PN，而PM+PN=MN是定值，因此有PF1+PF2=MN也是定值，因此這就是橢圓上各個點共同的特點.

至此學生將對橢圓的形成過程和基本概念形成初步了解，也掌握了用“距離之和”來定義橢圓的方法.

在上述教學設計中，我們采用問題串來引導學生來逐步認識橢圓的概念，結合教學實踐，筆者還有以下思考：教材中有關橢圓的形成是從圓錐面開始的，但是有關圖形相對比較復雜，特別是圓錐頂角位置的內切球是否存在且是否唯一，這些問題都是學生在理解過程中較為困難的地方. 事實上，從學生在課后的反饋情況來看，學生對本設計中所涉及的圓柱體內切球的存在以及唯一性問題也存在一定的理解難度. 因此，如果采用更加復雜的圖形來處理將給學生造成更大的困難，簡化處理能讓問題的研究更加直接、更容易上手. 那么拋物線和雙曲線的教學又如何進行引入呢？筆者將把這些內容放在學生完整地、嚴格地掌握好橢圓的概念之后再來進行研究，這樣的處理能彌補學生思路中可能存在的脫節(jié)問題，也能確保教學宏觀層面問題串的遞進性關系.

[?] 巧用正反論證，幫助學生鞏固概念

學生結合實例以及操作所形成的結論一般都比較粗糙，且比較片面，還需要進行深層次的加工，教師需要指導學生運用嚴謹?shù)臄?shù)學方法對其進行正反兩面的證明和論證，以實現(xiàn)去偽存真的效果，幫助學生真正地理解和掌握相關概念. 為此，教師在上課之前應該對問題形成充分的認識，一方面逐字逐句地對定義進行研究，比對其內涵及外延，從而做出有著確定依據(jù)的科學結論；另一方面，教師要有一個較為全面的課前預設，要設想學生在探索中可能遇到的每一個問題，并探求相應問題的最佳引導方案.

例如在引導學生對橢圓的概念進行定義時，筆者就充分進行了預設，并將其運用于課堂實踐，具體情形如下：

生1：我們可以這樣來定義橢圓，到兩個定點的距離之和等于某一定值的點的集合即為橢圓.

師：很好，我們對比一下橢圓與圓的定義，圓的定義著眼于“到一個定點的距離”，而橢圓的定義著眼于“到兩個定點的距離”，這兩個定點就叫作橢圓的“焦點”.

（這里師生對話的目的在于引導學生回顧橢圓定義的形成過程，強調“距離之和”是定義的關鍵詞.學生的回答和筆者課前的預設相吻合. 于是筆者用下面一個實驗來趁熱打鐵，鞏固學生對橢圓定義的認識.）

師：之前我們已經為每一個學習小組提供了圖釘、細線、白紙，請相互配合，在紙上畫出一個橢圓.

各個小組紛紛開始思考、討論并操作，最終都在紙上畫出了一個橢圓.

師：你們畫橢圓時運用了哪些原理？

生2：我們是從橢圓的定義出發(fā)，具體操作時兩枚圖釘確定好焦點的位置，然后用細繩套住鉛筆來劃線，鉛筆經過位置到兩個焦點的距離之和始終等于定值——細線的總長.

師：很好，我們從橢圓的定義出發(fā)，還可以得到橢圓上各點的基本性質，即只要這個點在橢圓上，那么這個點到兩個焦點距離的和就等于常數(shù)，在剛才的操作中你們對此也有所體會. 那么到兩個定點距離之和為定值的點的集合就一定是一個橢圓嗎？

筆者提問時，在最后強化了疑問的語氣，學生的思維也被徹底激活，思維活躍的學生迅速指出：應該是橢球，原本關于橢圓的定義必須加上限定“在平面內”.

師：講得不錯.橢圓就是一個平面圖形，本來截線也就在截面內.

教師用手指一指圓柱面的截面操作，稍稍停頓后，繼續(xù)追問：在同一個平面中，到兩個定點距離之和等于定值的點的集合就一定是橢圓嗎？

這個問題對學生顯得比較突然，學生稍微遲疑后，紛紛投入實驗、畫圖等探索過程中，很快就有學生示意得到了答案.

生3：當這個定值正好等于定點之間的距離時，動點的軌跡就是一條線段，因此橢圓定義中必須強調這一點，即距離之和所等于的那個定值必須要大于兩個定點之間的距離.

到此為止，學生通過正反論證，基本上對橢圓的定義以及橢圓上各點基本性質實現(xiàn)了掌握.

[?] 通過類比、聯(lián)想、發(fā)散等方法，促進學生完善概念體系

教學過程中，當學生對重點知識和方法已經有所了解之后，他們也就初步具備了研究一類問題的能力，在此基礎上，教師可以引導學生通過類比、聯(lián)想、發(fā)散等方法，由此促進他們對概念體系的完善.

例如當學生已經對橢圓的相關概念形成認知之后，我們可以讓學生通過類比和聯(lián)想等手段，來促進學生對其他兩種圓錐曲線進行研究和分析.

提出問題：用一個平面來截圓柱面可以得到橢圓，那么用一個平面去截怎樣的曲面，可以得到另外兩種曲線呢？

設計目的：由圓柱面到圓錐面，這可以幫助學生從字面上來認識圓錐曲線的意義，進而幫助學生系統(tǒng)化地認知解析幾何中的幾個重點圖形，這有助于學生對數(shù)學概念形成系統(tǒng)化的認識.

上述問題貌似較難，但是學生不難做出判斷，因為他們也就接觸過球面、圓柱面以及圓錐面等幾類曲面，稍加篩選就有答案. 結合學生的作答，教師再通過課件來演示數(shù)學實驗，讓學生形成更加清晰的認識. 當然更加嚴謹?shù)母拍钚纬桑€需要學生認真閱讀教材，最終實現(xiàn)知識體系的完整建構.

綜上所述，在引導學生建構數(shù)學概念時，教師一定要巧妙設計情境，充分調動學生的參與熱情，讓學生在觀察、操作、分析、類比、聯(lián)想等一系列探究活動中，獲取認知、提升能力.