例析變式練習教學

謝菊連

摘 要：高中數學內容非常抽象深奧，學習起來十分困難。作為老師應該從不同的角度、不同的方面，不同的層次來表現知識的核心思想，因此可以通過變式教學來加深學生對知識的理解和掌握的程度。

關鍵詞：變式教學 變式練習 高中數學

變式教學就是抓住知識的核心思想不變，利用不同的方式將它表現出來。通過變式教學有意識地引導學生從“變中”發現“不變”的東西，從“不變”中探索“變”的規律。在變式過程中體會如何去變，除了能解決“變”出來的問題，更要思考還可以怎么去變。透過現象看本質，這就是變式教學。

一、變式練習教學在函數單調性上的體現

例：已知函數f（x）=x3-ax-1

若函數f（x）在R上為增函數，求實數a的取值范圍。

分析：由于是三次函數，與單調性有關，所以可以利用導數來解決。

解： 由求導可得，f，（x）=3x2-a，因為f（x）=x3-ax-1在R上為增函數，所以

f，（x）=3x2-a≥0在R上恒成立，即a≤3x2在R上恒成立，只需a≤（3x2）min即可

又因為（3x2）min=0，所以a≤0。

變式一：f（x）表達式不變，條件改為：若函數f（x）在（-1，1）上為減函數，求實數a的取值范圍。

解：由題意可知，因為函數f（x）在（-1，1）上為減函數，所以

f，（x）=3x2-a≤0在（-1，1）上恒成立，即a≥3x2在（-1，1）上恒成立，只需a≥（3x2）max即可，又因為（3x2）max=3（取不到），所以a≥3。

變式二：f（x）表達式不變，條件改為：若函數f（x）的單調遞減區間為（-1，1），求實數a的取值范圍。

分析：說明（-1，1）是最大的遞減區間，即（-1，1）使f，（x）=3x2-a<0的解集。

解：由題意可知，f，（x）=3x2-a，當a≤0時，f，（x）=3x2-a≥0，所以函數f（x）在R上為增函數，不合題意，因此a>0，令f，（x）=3x2-a<0，得函數f（x）的單調遞減區間為， 又因為函數f（x）的單調遞減區間為（-1，1），所以

變式三：f（x）表達式不變，條件改為：若函數f（x）在區間（-1，1）上不單調，求實數a的取值范圍。

分析：什么是不單調？在（-1，1）上有增有減。

解：由題意可知，f，（x）=3x2-a，當a≤0時f，（x）=3x2-a≥0，所以函數f（x）在R上為增函數，不合題意，因此a>0。令f，（x）=3x2-a=0解得因為函數f（x）在區間（-1，1）上不單調，所以f，（x）=0在（-1，1）上有解，需為所求。

當然我們也可以改變函數表達式，比如變成二次函數（一定要引起足夠的重視）

變式四：f（x）表達式改為：二次函數f（x）=ax2-4x+2，在區間[1，2]上單調遞增，求實數a的取值范圍。

分析：二次函數的單調性問題一般使用結論法，抓住開口方向與對稱軸來解題。

解：由題意可知，的對稱軸是，當a>0時，要使二次函數f（x）=ax2-4x+2在區間上[1，2]單調遞增，只需，又因為a>0，所以a≥2為所求。

當a<0時，要使二次函數f（x）=ax2-4x+2在區間[1，2]單調遞增，只需，又因為a<0，所以這樣的a不存在。綜上a≥2為所求。

函數單調性是多年來高考重點考察的內容。本題以單調性為載體考察了三次，二次，對數型，三角函數型四類函數模型，通過變式練習教學可以層層推進知識的發生發展過程，符合學生的認知規律，使學生在知識和能力上有一定的收獲和提高。

二、變式練習教學在排列組合上的體現

例：3男4女，全體排成一排，有幾種排法？

解：屬無條件限制的排列問題

所以N=種為所求。

變式一：3男4女，全體排成一排，甲只站中間或兩端，有幾種排法？

解：甲有條件限制，優先考慮甲，有3種排法，其余6人是無條件限制的排列問題

所以N=3種為所求。

變式二：3男4女，全體排成一排，甲乙必須在兩端，有幾種排法？

解：甲乙有條件限制，優先考慮甲乙，有2種排法，其余5人是無條件限制的排列問題

所以N=2種為所求。

變式三：3男4女，全體排成一排，男生必須在一起，有幾種排法？

解：相鄰問題捆綁法，先把男生捆在一起看成一個整體與剩余4個女生做全排列有種排法，后相鄰男生自排有種排法，所以N=種為所求。

變式四：3男4女，全體排成一排，男女各站在一起，有幾種排法？

解：相鄰問題捆綁法，把男、女生各自捆在一起看成二個整體有種排法，相鄰男生自排有種排法，相鄰女生自排有種排法，所以N=種為所求。

上面排列組合幾道變式練習教學不僅使學生產生“有梯可上，步步登高”的成功感，而且讓學生始終處于愉快的探索狀態，學習積極性很高，思維活躍，數學能力得以提高。

著名教育學家波利亞曾說：“好問題跟某種蘑菇有些像，它們都成堆生長，找到一個以后，應該在周圍再找找，很可能附近就有好幾個。”變式練習教學就好比這蘑菇，用的好可以使課堂變得生動活潑、使學生愛學、使老師愛教、使數學問題由抽象變具體。這樣我們的學生不僅可以做到舉一反三，在解題中靈活運用所學知識，避免無意義的重復做題，而且可以深入的理解與掌握知識，培養自己的創新能力。

參考文獻

[1] 謝景力. 數學變式教學的認識與實踐研究[D]. 湖南師范大學， 2006.endprint