“比的定義”的解讀、思考與啟示

呂強(qiáng)

【摘要】本文從審慎研讀、多向?qū)Ρ龋鞔_外延、精準(zhǔn)釋疑和拓展概念、消除歧義三方面論述“比”的概念，指出了生活中常用的“比”只歸屬第一種外延，即同量數(shù)求比的情況。

【關(guān)鍵詞】比的定義 解讀與思考 生活經(jīng)驗(yàn) 對(duì)比 反思

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）07A-0070-01

在生活體驗(yàn)中，“比是同一種數(shù)集的算術(shù)劃分”的觀念深入人心，這與數(shù)學(xué)上對(duì)“比”的定義有出入。在感知經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知觀念相悖的情形下，教師對(duì)教材的解讀以及針對(duì)教材內(nèi)容拓展的教學(xué)實(shí)踐普遍感到困惑。筆者也發(fā)現(xiàn)部分老師對(duì)“比的定義”有些偏頗：路程和時(shí)間的比不是同類(lèi)量求比，那么算數(shù)學(xué)范疇內(nèi)的一個(gè)“比”嗎？若是，比的定義里并沒(méi)有“單位”這個(gè)定義項(xiàng)，路程/時(shí)間的單位是km/h或者m/s。比值的大小是唯一的，但是卻可以因?yàn)椴捎玫膯挝徊煌貌煌臄?shù)值表示（如1km/h=m/s，1m/s=3.6km/h）；競(jìng)技對(duì)抗比賽的比分是一個(gè)數(shù)學(xué)比嗎？若是，那么比的后項(xiàng)可以為0，顯然違背了除數(shù)不能是0的公理；不同類(lèi)量求比，能否賦予數(shù)學(xué)意義和價(jià)值？這些圍繞“比的定義”產(chǎn)生的疑慮，值得教師鉆研和反思。

一、審慎研讀，多向?qū)Ρ?/p>

1.教材對(duì)比——不同版本教材對(duì)比定義的異同對(duì)比。人教版是“兩數(shù)相除又叫做兩數(shù)的比”；蘇教版是“兩個(gè)數(shù)的比表示兩個(gè)數(shù)相除”；而北師大版定義為“兩數(shù)相除，又叫做兩個(gè)數(shù)的比”。比較這三種版本的教材，我們不難發(fā)現(xiàn)，“兩數(shù)相除”是內(nèi)涵精義。其外延囊括了同類(lèi)量求比和不同類(lèi)量求比兩種情況。

2.論述對(duì)比——數(shù)學(xué)論述上，到底怎樣定義“比”呢？一些數(shù)學(xué)權(quán)威專(zhuān)著對(duì)比的定義大同小異，除了個(gè)別語(yǔ)詞有細(xì)微差別，結(jié)構(gòu)含義基本相同。追根溯源，“比”早期只有狹義定義即是同量數(shù)之比，表示若干個(gè)同量數(shù)之間的相除關(guān)系。隨著歷史演進(jìn)和比的語(yǔ)義的不斷豐富，慢慢出現(xiàn)了不同類(lèi)量的比的情況。綜合兩種情況，比才有了相對(duì)廣義的定義：“兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。”由此可見(jiàn)，非同類(lèi)量的兩個(gè)數(shù)相除，也能構(gòu)成比。有的文獻(xiàn)明確指出：“比是兩個(gè)數(shù)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系的聯(lián)合直觀反映，根據(jù)情境的不同，對(duì)應(yīng)關(guān)系主要有四類(lèi)：一是組合關(guān)系，兩個(gè)量按一定倍數(shù)關(guān)系組合成有機(jī)整體，如1個(gè)茶壺和3個(gè)茶杯組成一套茶具；二是從屬關(guān)系，一個(gè)量屬于另一個(gè)量，如30個(gè)患者中有5個(gè)患的是禽流感；三是兌換關(guān)系，兩個(gè)量按一定價(jià)值比進(jìn)行等價(jià)兌換，比如匯率；四是濃度關(guān)系，根據(jù)概念定義項(xiàng)的認(rèn)知度要高于被定義項(xiàng)的規(guī)則，用兩個(gè)已熟知的不同類(lèi)的具體量的倍數(shù)關(guān)系來(lái)反映和描述同一種物體的另一個(gè)抽象量。”

3.跨域?qū)Ρ取谧匀粚W(xué)科中，還有類(lèi)似于密度、壓強(qiáng)等概念。把物質(zhì)的質(zhì)量和其體積的比值定義為密度，用力與面積的比值定義為壓強(qiáng)，這些都是不同類(lèi)量相除的形式。

二、明確外延，精準(zhǔn)釋疑

綜上所述，可以明確數(shù)學(xué)中“比的定義”的外延應(yīng)包括兩個(gè)子集，即同類(lèi)量和不同類(lèi)量的兩數(shù)相除的形式。也就是說(shuō)，路程和時(shí)間的比確鑿無(wú)疑是一個(gè)“比”，那么如何解釋單位名稱(chēng)和值不唯一呢？我們可以這樣理解：路程除以時(shí)間的商有單位，這個(gè)單位是由前兩個(gè)量的單位共同作用決定產(chǎn)生的，這與“比值”沒(méi)有關(guān)系；路程單位的多樣化與時(shí)間單位的多樣化直接導(dǎo)致速度單位的多樣化。如：1km∶1h=1km/h=m/s，1m∶1s=1m/s=3.6km/h。如果考究其意義，那么嚴(yán)格來(lái)說(shuō)速度是一個(gè)數(shù)值比與單位比的組合體，即1∶1=1；km∶h=km/h，組合起來(lái)為1km/h。這種組合體與另一種組合體兌換時(shí)，也有一定的“比例”，即1km/h=m/s，1m/s=3.6km/h。數(shù)學(xué)和生活密切相關(guān)，但是數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與生活的形象并非一一照應(yīng)，數(shù)學(xué)概念的表述必須符合嚴(yán)肅性、學(xué)術(shù)性，生活經(jīng)驗(yàn)的表述更多趨向于感性形象，應(yīng)該嚴(yán)格加以區(qū)分。把球賽比分4∶0看成數(shù)學(xué)比，是將生活表達(dá)和學(xué)術(shù)表達(dá)混為一談，但從“兩數(shù)相除叫做兩個(gè)數(shù)的比”這個(gè)概念出發(fā)，4÷0毫無(wú)意義。因此，4∶0不是數(shù)學(xué)比，僅僅是比分書(shū)寫(xiě)的一種形式，它的意義更多地在于表現(xiàn)“差值”而不是“商值”。

三、拓展概念，消除歧義

數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的許多概念與生活表述不完全一致，教師該如何正確看待這個(gè)特殊現(xiàn)象呢？數(shù)學(xué)概念的定義是以多種生活經(jīng)驗(yàn)為感性材料，抽象概括而成的，具有普遍意義。

例如，“角”的數(shù)學(xué)定義是：“有共同端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫角。”角的度數(shù)可以大于360°，也可以小于0°。這與人們“角的度數(shù)不大于180°也不能是負(fù)數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)感知不一致。這時(shí)教師不能否定和推翻教材中角的定義，而是要豐富和完善角的定義方式，在一個(gè)平面坐標(biāo)軸中重新拓展角的概念外延。

總之，當(dāng)生活感知和數(shù)學(xué)感知悖逆時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，理性區(qū)別生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)概念。

（責(zé)編 林 劍）endprint