讓思維可見 讓學習發生

張玉平

[摘 要]為了讓數學課堂體現數學的思維價值，為了讓學生的學習真正發生，教師要借助觀察、猜想以及操作等活動，幫助學生將機械的模仿記憶轉變為自我的實踐探索。以“圓的面積”的教學為例，通過比較、分析、概括等方式，使得學生經歷新知的推導過程，做到真學習。

[關鍵詞]圓的面積;數學思維;小學數學

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）26-0016-02

特級教師竇桂梅說過“教人語文，莫如以語文教人”，同樣的，我們也可以說：“教人數學，莫如以數學（思維）教人。”下面將以“圓的面積”這一課為例，談談什么樣的教學才是“數學（思維）教人”。

【片段一】

師（出示兩個圖形：一個是半徑為15cm的圓，另一個是邊長為30cm的正方形（正方形被報紙遮住了）誰來介紹一下這個圓？

生1：這是一個圓心為O，半徑為15cm的圓。

師：圓的直徑和周長各是多少？

生2：直徑為30cm，周長為94.2cm。

師：今天我們將要學習的是圓的面積。老師用報紙遮住了一個平面圖形，它與今天的學習內容有很大的關聯，你能猜出是什么圖形嗎？

生3：正方形。因為正方形里正好可以畫一個很大的圓。

師（揭開報紙，出示正方形）：看來正方形和圓果然存在一定的關系。這個正方形和圓的面積哪個更大？

生4：正方形，因為正方形里面正好可以畫一個圓。

師：顯然，正方形的面積大。能確定這個圓就是正方形里最大的圓嗎？為什么？

生5：不能，因為沒有寫出正方形的邊長是多少，所以不能比較它們的大小是否相等。

師：現在老師給出相應的數據，你能確定這個圓就是正方形里最大的圓嗎？

生6：圓的直徑是30厘米，正方形的邊長是30厘米，所以這個圓是正方形里最大的圓。

師（補充）：顯然，這個圓的面積比這個正方形的面積小。

【自悟：在“圓”這一章節的三節課里，“圓的面積”這節課我是最沒有把握的。因為我不知道學生該如何去認識圓的面積，又該如何推導圓的面積，他們是否能理解教材上給出的方法，等等，這一系列的問題一直困擾著我。因此，對于這節課的教學，我做的都是“軟設計”，就是跟著學生的思維走，隨時調整課堂教學的走向。于是，課始我用一個猜圖形的游戲，引導學生關注正方形與正方形內最大的圓的面積大小，為進一步推導圓的面積指明方向。】

【片段二】

師：我們已經知道這個圓是正方形里最大的圓，它的直徑是30厘米。假如沒有給出這個正方形邊長的具體數值，只知道正方形的邊長是d，那么正方形的面積是——

生1：d2。

師：還可以怎么說？

生2：4個r2。

師：我用虛線把r2標出來。

師：你覺得圖1中的圓的面積是多少？

生3：圓的面積比r2的3倍多一些。

生4：圓的面積比r2的4倍少一些。

師：我們知道C除以d就等于圓周率π，那么■=π嗎？

師：這個問號會是r2嗎？

【自悟：在圓內，r2是一個看不見也摸不著的東西，這給學生的理解造成很大的障礙。將正方形內最大的圓與該正方形的面積進行大小比較，就可以通過它們之間的關系把正方形的面積分為四塊r2，這為學生進一步理解r2打下了堅實的基礎，學生能從觀察與思考中猜想圓的面積是r2的三倍左右。同時，讓學生結合圓的周長公式猜想面積公式“C/d=π→S/r2=π”，能夠提升學生對圓周率的理性認識。】

【片段三】

師：想一想，平行四邊形面積公式是怎么推導出來的？

生1：先把平行四邊形拼成一個長方形。

師：三角形的面積公式是怎么推導出來的？

生2：也是通過拼的方法。

師：平行四邊形和三角形的面積公式都是利用已知圖形拼一拼、剪一剪后得到的，那梯形的面積公式是怎么推導出來的？

生3：也是通過拼的方法。

師：也就是說，我們總是把未知圖形轉化成已經學過的圖形來推導，今天我們繼續用這個方法來推導圓的面積公式。

師：前一節課我們知道把一個正方形對折，再對折，然后剪得的圖形會越來越接近一個圓，那么，怎么把圓進行剪和拼才能夠得到我們學習過的圖形？

生4：對折兩次后再剪。

生5：對折四次后再剪。

師：有剪刀的同學請試著操作，請先剪那個16等分的圓，不要剪32等分的圓。剪了以后想一想，我們怎么拼才能得到一個以前學過的圖形？

（學生操作）

師：請拼出平行四邊形的同學描述是怎么拼出來的。

生6：把圓平均分成16份，可以將16個扇形拼成一個平行四邊形。

師：平均分成16份，剪出扇形，這兩種顏色（黃色和粉色）的扇形應該怎么拼？

生7：黃色扇形的尖朝上，粉紅色扇形的尖朝下。

師：將兩種顏色間隔排列，的確可以拼成一個近似的平行四邊形。

師：有同學拼成長方形，請說說是怎么拼出來的。

生8：用15個三角形先拼成一個近似的平行四邊形，剩下的一個一分為二，拼在兩邊，就得到一個近似的長方形。

師：這個近似的長方形的長和寬與圓有什么關系？

生8：寬是圓的半徑，長是半圓的周長。

生9：應該說長方形的長是圓周長的一半。endprint

師：說得很準確，應該是圓周長的一半，不是半圓的周長。如果把圓平均分成32份、64份、128份……拼成的圖形是不是越來越接近長方形？那么圓的面積公式能推導出來了嗎？

生10：圓周長的一半是πr，再乘以r，就是πr2。（教師板書：S=πr2）

師：我們還可以把剪出來的扇形看成是一個三角形，三角形的面積是底乘高除以r2。沿著這個思路能不能推導出圓的面積公式？

生11：可以。一個小三角形的面積是16分之2πr，將其乘以r再除2，也就是πr2/16，再乘以16就是πr2。

師：現在請大家求出黑板上這個圓的面積。

生12：15×15×3.14=706.5（cm2）。

師：這是一個圓心為O，半徑為15cm，直徑為30cm，周長為94.2cm，面積為706.5cm2的圓。

【自悟：數學課程標準指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。”學生經歷了剪拼的過程，想象就有了根基，就能在不同的認知中把圓轉化為平行四邊形、長方形和三角形，從而極大地豐富了圓的面積公式的推導方式。正是在這樣多元的思考表達中，學生的思維進入了更深的層次，學習才真正發生。】

【片段四】

師：如果這個正方形的面積是100平方厘米，那么正方形里最大的圓的面積是多少？

生1：78.5平方厘米。

師：請說說你是怎么算的。

生1：正方形的面積是100平方厘米，正方形的邊長就是10厘米，那么圓的直徑也是10厘米，半徑就是5厘米，圓的面積等于πr2 ，所以就得到π乘5的平方，就是78.5平方厘米。

師：如果這個正方形的面積是10平方厘米，那么正方形里最大的圓的面積是多少？

生2：正方形的面積是10平方厘米，那么邊長是……（學生說不出來）

師：能用其他方法解決嗎？

生3：圓的面積是7.85平方厘米。

師：請說說理由。

生4：除以10就可以了，原來的面積是現在的10倍。

師：按原來的方法進行計算有一定的難度，而把數據縮小10倍就能得到答案了。（教師板書：3.14×（10÷4）=7.85）

師：這里的“10÷4”是什么？與r2 有什么關系？

生5：正方形的面積是10，那么10÷4=2.5，2.5就是r2 。

師：也就是說，我們在計算圓的面積時，不是一定要知道圓的半徑是多少，只要知道半徑的平方是多少就可以了。這真是“思路一轉天地寬”呀！

【自悟：對于學生來說，求圓的面積要按公式來套，也就是要先知道圓的半徑或直徑，這樣的認知很容易造成學生思維的定式。通過兩個不一樣的題目，引發學生的認知沖突，讓學生有了進一步學習的欲望，因為之前有了對r2的深入認識，學生能想到用整體思維去解決問題，這樣的問題能引領學生對整個知識進行回顧，培養學生不斷挑戰和探索的科學精神。】

總之，教師在教學中要引導學生經歷觀察、猜想、操作、驗證等過程，讓學生通過知識遷移，主動將新知與舊知進行聯系，通過比較、分析、概括等方式，自主經歷新知的推導過程，這才是真正的讓思維可見、讓學習發生。

（責編 童 夏）endprint