幾何畫板在高中數(shù)學(xué)習(xí)題課中的應(yīng)用

董正武

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué)；幾何畫板；應(yīng)用

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標(biāo)識碼】 A

【文章編號】 1004—0463（2017）14—0113—01

引例：設(shè)x，y滿足約束條件x+y-2?0，

x-2y-2?0，

2x-y+2?0，若z=y-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為？

變式1.求z=（x+3）2+（y-3）2的取值范圍。

變式2.求在可行域內(nèi)整點（橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）的個數(shù)。

一、幾何畫板課件的制作

（1）制作可行域。繪圖?定義坐標(biāo)系?繪制新函數(shù)?輸入-x+2?邊界x+y-2=0。分別輸入x-1與2x+2，繪制邊界x-2y-2=0與2x-y+2=0。

（2）依次兩兩選中邊界，構(gòu)造交點，度量坐標(biāo)，依次選擇三個交點，構(gòu)造三角形內(nèi)部。

（3）按照“文件?文檔選項?增加頁?復(fù)制”的流程，將第一頁復(fù)制，得到課件的第二、三、四頁。打開第二頁，在x軸上構(gòu)造點D，過D做x軸的垂線j，在j上構(gòu)造點E， 隱藏j， 構(gòu)造線段DE，度量E點縱坐標(biāo)，將標(biāo)簽設(shè)置為a。同法構(gòu)造線段FG及G的縱坐標(biāo)z。在第二頁中按照“繪制新函數(shù)?輸入ax+z”的流程，得到y(tǒng)=ax+z的圖象，構(gòu)造y=ax+z與y軸的交點H。如圖1所示。

二、幾何畫板的使用

1. 引例的解決（截距模型與斜率模型相結(jié)合）。z=y-ax中的z為直線y=ax+z的縱截距，a為斜率。在第二頁課件中，上下拖動點E改變a，發(fā)現(xiàn)直線繞著H旋轉(zhuǎn)。特別地，當(dāng)a<0時，直線為一、三象限走向，從左往右呈上升趨勢，當(dāng)a<0時，直線為二、四象限走向，從左往右呈下降趨勢，當(dāng)a增大時，直線繞著H逆時針旋轉(zhuǎn)。上下拖動點G改變z，發(fā)現(xiàn)直線在上下平行平移，特別地，當(dāng)z增大時，直線向上平移，當(dāng)z減小時，直線向下平移。

首先拖動點G，使直線平行平移經(jīng)過B點，此時z達到了最大值，即點B為z取得最大值的最優(yōu)解，此時最優(yōu)解是唯一的。其次拖動點E，當(dāng)a=-1或a=2時，直線y=ax+z分別與邊界x+y-2=0或2x-y+2=0重合，z在線段AB或BC上的任意點處取得最大值，從而最優(yōu)解為無數(shù)個，不唯一。

2. 變式1的解決（距離模型）。方程z=（x+3）2+（y-3）2表示以（-3，3）為圓心（-3，3），半徑為的圓或點（-3，3）。打開課件的第三頁，構(gòu)造點I（-3，3），選中“圓工具”，以I為圓心構(gòu)造圓，拖動控制圓大小的點J，發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓I與邊界2x-y+2=0相切時，半徑最小；當(dāng)圓I經(jīng)過點當(dāng)圓A時，半徑最大。于是分別利用點到線或點到點的距離公式，知（）min=，（）max=，所以?z?34。如圖2所示。

3. 變式2的解決。打開課件的第四頁，分別構(gòu)造點（-2，0），（-1，0），（0，0），（1，0），（2，0），并過這些點構(gòu)造x軸的垂線，再構(gòu)造點（0，-1），（0，-2），（0，1），（0，2）并過這些點構(gòu)造y軸的垂線，發(fā)現(xiàn)這些垂線之間形成了若干個交點（整點），發(fā)現(xiàn)共有9個整點在可行域中。如圖3所示。

三、使用幾何畫板的利與弊

1. 節(jié)約時間的同時忽略了數(shù)學(xué)思維過程。教師使用幾何畫板進行教學(xué)，可將在黑板上畫可行域的時間調(diào)整到課前，分散了教師的負擔(dān)與工作量，有效節(jié)約了時間，提高了課堂效率。但如果用幾何畫板直接給學(xué)生呈現(xiàn)畫好的可行域，會讓學(xué)生忽略了構(gòu)造可行域的數(shù)學(xué)過程，所以對于初學(xué)者，教師最好在利用幾何畫板時展現(xiàn)畫可行域的過程，而對于高三備考的學(xué)生而言，可直接呈現(xiàn)最終畫好的可行域。

2. 有助于提供思路但不能代替動手計算。在本節(jié)課的教學(xué)中，通過對參數(shù)的控制，達到了動態(tài)的視覺效果，使學(xué)生很容易地觀察到“平移、旋轉(zhuǎn)、擴大”與參數(shù)的關(guān)系，從而使學(xué)生很容易地得到諸如“距離最大、截距最大”等問題的條件。然而，最大（小）值是多少，這需要學(xué)生的計算能力，所以不能因為利用幾何畫板的輔助功能而忽略對數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。

3. 幾何畫板的使用建立在對數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ)上。首先，課件的制作需要較為深厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。其次，幾何畫板將代數(shù)問題幾何化，這就要求我們明確問題中量的幾何意義。最后，“存在即合理”，要充分重視“數(shù)”與“形”的高度統(tǒng)一，要將觀察的圖形，能夠進行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理。

編輯：謝穎麗endprint