數形結合方法在高中數學解題中的應用

幸建

摘 要：數形結合方法是高中數學解題的重要方法，它貫穿高中數學學習的全過程，在解決數學問題時把“數”和“形”有機結合起來，就可以使抽象的代數問題和復雜的幾何問題容易解決，掌握數形結合方法能提高解題效率。本文對數形結合方法在解題中的應用方法進行了深入探究。

關鍵詞：高中數學 數形結合方法 數學解題

數形結合方法是高中數學解題的重要方法，其核心就是把抽象的代數式子和直觀形象的幾何圖形結合起來研究和解決數學問題，其應用重點就是把代數問題與幾何問題進行相互轉化，從而把抽象復雜的數學問題輕松解決。利用數形結合方法解題，主要分兩種形式：一是 “以形助數”，把某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數學問題的本質；二是“以數定形”，把直觀圖形數量化，使形更加精確。筆者結合教學實踐，對數形結合方法在高中數學解題中的應用談幾點體會。[1]

一、數形結合方法在解三角函數題中的應用

對于某些三角函數的定義域、值域問題用直接法求解比較麻煩時，如果運用數形結合的方法，把函數問題轉化成幾何圖形問題來解決，就可以方便地找到解決問題的方法。

例1、已知三角函數y=（cosθ+4）/（sinθ-5）求其值域。

解題分析： 對于這樣的函數問題，如果直接來求其值域，比較麻煩不易求解。根據直線的斜率公式K=（y-y0）/（x-x0），把三角函數變形為：y=[cosθ-（-4）]/（cosθ-5），這樣就能把三角函數y看成是過一個固定點P（5，-4）和一個動點M（sinθ，cosθ）這兩點之間的直線的斜率k。通過轉化就把“數”的問題變成了“形”的問題。如果假設X=sinθ，y=cosθ，運用sin2θ+cos2θ=1這個三角函數的公式，就能得出：x2+y2=1，此時可求出動點M的運動軌跡是半徑為1的圓。這樣就把所求問題變成求定點P和單位圓上的任意一點M連線斜率k的取值范圍問題。可把直線的方程表示為y+4=k（x-5），整理方程可得：Kx-y-5k-4=0，然后再根據根據圖1可得出：圓心到直線的距離小于等于1，列出式子{|-5k-4|/[k2+（-1）2]開方}≤1，這樣求出k的值即為函數的值域。通過運用數形結合的方法，問題就能輕松解決。[2]

二、數形結合方法在圓錐曲線解題中的應用

由于圓錐曲線的定義是用數和形結合的方法來對曲線下的定義，在解析幾何解題中數形結合的方法應用非常廣泛，也是解決這類題目的最好方法。在這部分內容的教學時，要讓學生從數和形兩個方面來認識和理解曲線問題，這樣就能讓學生對題目有直觀形象的認識的同時，還能掌握問題的數量關系，使問題容易解決。

例2、已知一個動圓C與一個定圓C1：（x+4）2+y2=100相內切，與加一個定圓C2：（x-4）2+y2=4相外切，求：這個動圓的圓心的軌跡方程。

解題分析：要求解出這個動圓的軌跡方程，可以運用數形結合的方法，借助圖形的直觀性，根據題目所給的條件畫出圖形，通過畫輔助線，假設圓心是P，從圖形關系中就能求出圓C的軌跡是一個橢圓。

假設動圓的圓心為P（x，y）其半徑為r。因為定圓C1的圓心是（-4，0），半徑r1=10；定圓C2的圓心是（4，0），半徑r2=2。由于圓C和圓C1內切、和圓C2外切，可由此得出（C1P）=10-r，（C2P）=2+r，（C1P）+（C2P）=12，，從圖中看出動點到兩個 定點的距離的和為定值12，所以a=6，c=4，由此可求出b2=a2-c2=20。最后求出動點的軌跡方程是X2/36+y2/20=1

三、數形結合方法在不等式解題中的應用

在求解不等式問題有時難以找到思路或者計算過程比較麻煩，如果運用數形結合的方法就能形象直觀地解答問題或容易找到解題思路。在利用該方法解題時：首先要求出不等式表示的函數，然后畫出函數的圖像，再通過函數圖像和坐標軸的交點或圖像之間的交點來解不等式問題。

例3、某旅行社想租用A、B兩種型號的客車為來安排900名客人去旅行。A型客車能載客36人，租金為1600元/輛；B型客車能載客60人，租金為2400元/輛。旅行社要求租車的總數不超過21輛，而且B型車不多于A型車7輛，求：最少的租金是多少？

解題分析：可假設旅行社租用A型車x輛，B型車y輛，總租金為z元。則可以列出題目所給的線性約束條件是x+y≤21，y-x≤7，36x+60y≥900，并且x≥0，x∈N；y≥0，y∈N，所求的目標函數是≤。畫出這幾條直線的圖形就可以看出，符合要求的區域范圍，從圖中可以看出：目標函數z=1600X+2400y在經過M（5，12）點時，能取得最小值，把A點的坐標值代入z函數中，可求出z=1600x+2400y=1600*5+2400*12=36800（元）。用這種方法把不等式問題進行轉化，就可以把問題容易解決。

總之，數形結合的方法對高中數學解題非常有幫助，教師在教學中應注重對數形結合的思想和方法的運用，讓學生掌握其本質并能靈活加以運用，就能提高數學解題效率。[3]

參考文獻

[1]楊建珍.淺談數形結合在高中數學中的應用技巧[J].科學咨詢.2016 （08）

[2]孔令偉.數形結合思想方法在高中數學教學與解題中的應用[J].遼寧師范大學. 2012 （08）

[3]陸一冰.試論數形結合思想在高中數學解題中的應用[J].中國培訓.2016 （22）endprint