淺析三角恒等變換

李孝德??

摘要：高中三角函數(shù)內(nèi)容是高考的熱點(diǎn)之一，一方面它是初中三角知識(shí)的引申和推廣，另一面也為后續(xù)大學(xué)課程中高等數(shù)學(xué)的冪級(jí)數(shù)特別是傅里葉級(jí)數(shù)內(nèi)容做鋪墊。三角函數(shù)知識(shí)占整個(gè)高中數(shù)學(xué)的全部分值大約為13%。由于三角恒等變換是運(yùn)用三角知識(shí)解題的基礎(chǔ)，從而考點(diǎn)主要集中在三角恒等變換上，這在歷年高考和自主招生試題中屢見(jiàn)不鮮，三角恒等變換主要考查考生的邏輯推理和運(yùn)算求解能力，難度在中、低檔之間。

關(guān)鍵詞：三角恒等變換；高中三角函數(shù)；數(shù)學(xué)教學(xué)

由于三角恒等變換公式較多，現(xiàn)將主要公式羅列如下：

兩角和與差公式：cos（α±β）=cosα·cosβsinα·sinβ；sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ；tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）；tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）

倍角公式：sin（2α）=2sinα·cosα；cos（2α）=cos2（α）-sin2（α）=2cos2（α）-1=1-2sin2（α）；tan（2α）=2tanα/[1-tan2（α）]

三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin3（α）；cos3α=4cos3（α）-3cosα

半角公式：sin2（α/2）=（1-cosα）/2；cos2（α/2）=（1+cosα）/2；tan2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）；tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα

萬(wàn)能公式：sinα=2tan（α/2）/[1+tan2（α/2）]；cosα=[1-tan2（α/2）]/[1+tan2（α/2）]；tanα=2tan（α/2）/[1-tan2（α/2）]

積化和差公式：sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]；cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]；cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]；sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]

和差化積公式：sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]；sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]；cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]；cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

輔助角公式：acosA+bsinA=xsin（A+M）

以上公式需熟練掌握，并會(huì)靈活應(yīng)用。下面就三角恒等變換談兩點(diǎn)應(yīng)用：

1. 角代換

將未知角用已知角表示出來(lái)，使之能運(yùn)用公式，稱之為角代換。這是一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)計(jì)算技巧與方法。常見(jiàn)的幾種角代換有：α=（α+β）-β；α=β-（β-α）；α=12[（α+β）+（α-β）]等。

【例1】已知tan（α-β）=12，tanβ=-17且α，β∈（0，π），求2α-β。

分析：若單獨(dú)分別求出α，β的具體值是比較困難的，考慮到2α-β=（α-β）+α，α-β的正切值是已知的，而α=（α-β）+β，根據(jù)題意α-β，β的正切值是已知的。故先由角代換tanα=tan[（α-β）+β]=tan（α-β）+tanβ1-tan（α-β）tanβ=13，再由角代換：tan（2α-β）=tan[（α-β）+α]=tan（α-β）+tanα1-tan（α-β）tanα=12+131-12×13=1。最后結(jié)合α，β的范圍可確定2α-β=-34π。

2. 積化和差

和差化積公式大多數(shù)學(xué)生都比較熟悉，但公式的逆用相對(duì)而言比較陌生，也容易被忽視。而公式的逆用和變形則更能開(kāi)拓思路，培養(yǎng)學(xué)生從正向思維到逆向思維的轉(zhuǎn)換的能力。下面結(jié)合例子說(shuō)明如下：

【例2】已知sinα+cosβ=35，cosα+sinβ=45，求sinαcosβ。

分析：由三角恒等變換中的積化和差公式：sinαcosβ=12[sin（α+β）+sin（α-β）]，對(duì)題設(shè)中的兩式平方后相加有：sin（α+β）=-12；同理對(duì)題設(shè)中的兩式平方后相減有：cos2β-cos2α+2sin（α-β）=-725，即2sin（α-β）[sin（α+β）+1]=-725，解得sin（α-β）=-725，代入有sinαcosβ=-39100。

可見(jiàn)，三角恒等變換公式的應(yīng)用，特別是逆用對(duì)解題的重要性。

3. 綜合應(yīng)用

輔助角，二倍角結(jié)合三角函數(shù)圖形的性質(zhì)（單調(diào)性、周期性、最值等）是高考的熱點(diǎn)，特別是最近幾年的全國(guó)各地的考題。

【例3】函數(shù)f（x）=sinx+π3cosx-3cos2x+34，x∈R。

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在區(qū)間-π4，π4上的最值。

分析：由三角恒等變換中的和差化積和二倍角公式：

f（x）=sinxcosπ3+cosxsinπ3cosx-31+cos2x2+34=14sin2x-34（1+cos2x）+34=12sin2x-π3，

所以f（x）的最小正周期為T(mén)=2π2=π；∵x∈-π4，π4，∴2x-π3∈-5π6，π6，

故f（x）的最大值為14，最小值為-12。

以上是對(duì)三角恒等變換的三點(diǎn)淺析，要對(duì)其熟練掌握，三角恒等變換公式必須能靈活應(yīng)用，并具備較好的邏輯推理與運(yùn)算能力。endprint