高中數學課堂滲透中國數學史的實踐研究

吳俊杰++鄒燕麗

摘 要：數學史特別是中國數學史在高中數學教科書中出現內容較多，怎樣將相關中國數學史融入到高中數學課堂，使教學既能激發學生的興趣，培養學生的愛國主義熱情，又能體現中國數學史的文化價值，還能有效培養學生的數學意識和數學思維。本文以“祖暅原理”為例，通過闡述“祖暅原理”的由來列舉經典例題進行說明。

關鍵詞：高中數學；中國數學史；祖暅原理

教育部頒發的《高中數學課程標準》（實驗）中，對高中數學課程提出了十條要求，其一便是要充分體現出數學的文化價值。數學是人類文化的重要組成部分，數學課程應該適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢等等，高中數學課程應當幫助學生了解數學在人類文明發展中的重要作用，逐步形成正確的數學觀。

數學史融入高中數學教學是高中數學課程標準的一個重要性突破，數學史特別是中國數學史在高中數學教科書中出現內容較多（以普通高中課程標準實驗教科書人教A版為例），包含大量中國數學歷史名人和影響深遠的公式、結論等。本文僅以“祖暅原理”為例簡單談談，僅供參考。

一、 “祖暅原理”的由來

“祖暅原理”出現在普通高中課程標準實驗教科書人教A版必修二第一章《空間幾何體》的《探究與發現》中。《探究與發現》首先簡單介紹了祖暅為著名數學家、天文學家祖沖之之子及原理內容，高中數學教師可以進一步去挖掘原理的由來。“祖暅原理”，歷史上也稱“祖氏原理”，“冪勢既同，則積不容異”，“勢”即是高，“冪”是面積。其意為：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面面積總相等，那這兩個幾何體的體積就相等。其發現起源于劉徽發現的《九章算術》中球的體積公式是錯的，劉徽通過構造“牟合方蓋” 證明了他的結論，然而“牟合方蓋”的體積怎么求，劉徽最終未能解決。兩個世紀后，祖暅沿用劉徽的思想，將目標轉為求一個立方體與其內切牟合方蓋的差的部分，再把“差”自然分成相等八份，每份成為“小方蓋差”，把問題轉成立方體的八分之一和其“小方蓋差”的關系，最后正確求得球體積公式。通過挖掘這些素材，讓學生理解劉徽的構造性思維和創新思想及祖暅的奇思妙想，對“創新”有進一步的體會；有助于培養學生敢于懷疑與批評、尊重事實，實事求是的數學理性精神，激發學生的愛國熱情，同時鼓勵學生在以后的求學道路上要敢于發現問題，認真思考，永不放棄，最終解決問題。然而可惜的是“祖暅原理”卻沒有盡早被西方所知，很重要的一個原因便是當時的數學語言很不規范，沒有嚴格的證明，也沒有達到嚴格的演繹，從而導致此原理沒有得到廣泛的傳播。作為數學教師，要在平時的教學中幫助學生形成嚴謹的數學語言，讓他們注重數學語言的規范化，也讓學生感悟數學語言的無限魅力。

二、 “祖暅原理”的應用與推廣

推論1：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積比總為m：n， 那么這兩個幾何體的體積之比亦為m：n；推論2 ：夾在兩條平行線間的兩個平面圖形，被平行于這兩條平行線的任意直線所截，如果截得的兩條線段的長度之比總為m：n，那么這兩個平面圖形的面積之比亦為m：n.利用祖暅原理及其推論可以求一些旋轉體的體積及平面圖形的面積。

【例1】 數學家祖暅（公元前5～6世紀）提出：“冪勢既同，則積不容異。”這句話的意思是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平面所截，如果截得的兩個截面的面積總是相等，則這兩個幾何體的體積相等.設：由曲線x2=4y和直線x=4，y=0所圍成的平面圖形，繞y軸旋轉一周所得到的旋轉體為F1；由同時滿足：

x≥0，x2+y2≥0，x2+y2≤16，x2+（y-2）2≥4，x2（y+2）2≥4的點（x，y）構成的平面圖形，繞y軸旋轉一周所得到的旋轉體為F2。根據祖暅原理等知識，通過考查F2可以得到F1的體積為（ ）

A. 16π B. 32π

C. 64πD. 128π

【解析】 兩圖形繞y軸旋轉所得的旋轉體夾在兩相距為8個單位的平行平面之間，用任意一個與y軸垂直的平面截這兩個旋轉體，設截面與原點距離為|y|，所得截面面積

S1=π（42-4|y|），S2=π（42-y2）-π[4-（2-|y|）2]=π（42-4|y|）

∴S1=S2，由祖暅原理知，兩個幾何體體積相等，

∵F2=12×4π3×（43-23-23）=2π3×48=32π，∴F1=32π。故選：B

題目來源于泉州市2013屆高三3月質量檢查文科數學，主要考查祖暅原理的應用，求旋轉體的體積的方法，體現了等價轉化、數形結合的數學思想。

【例2】 求曲線y=2x2與x軸、直線x=2所圍圖形的面積；

【解析】 將曲邊三角形ABC沿垂直于其所在平面的方向平移一個單位，得到幾何體ABC-A1B1C1，為求該幾何體構造正四棱錐S-MNPO，使得兩幾何體等高，底面在同一平面，且底面積相同，即AC=OS=2，SMNPQ=8。用平行于底面ABB1A1的截面去截它們，分別得到矩形DEE1D1和矩形M1N1P1P1. 設它們距CC1，S所在平面的距離為x0，顯然SDEE1D1=2x02，而

SM1N1P1Q1=x024SMNPQ=2x02，由祖暅原理知VABC-A1B1C1=SMNPQ=163，

SABC=VABC-A1B1C1AA1=163。

此題若用定積分知識也可容易求出所圍圖形的面積。筆者提供的這種解法把“非標準”平面圖形通過空間平移轉化為“非標準”幾何體，通過祖暅原理求出該幾何體的體積，然后由體積公式求出該平面圖形面積。這種構造思想不僅可以用來求曲邊三角形的面積，也可以應用于一些其他平面圖形的面積。

【例3】 求橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的面積；

解：圓O的方程為x′2+y′2=a2（a>0），作沿平行于y軸方向的均勻壓縮變換x′=x

y′=aby，代入圓O的方程就得橢圓方程。由于橢圓與圓都夾在兩條平行線l1與l2之間，且PP″l1″l2，利用“祖暅原理”推論2得S橢圓S圓=2MN2PN=yy′=ba，所以S橢圓=S圓·ba=πa2·ba=πab。

圓是同學們熟悉的平面圖形，其面積公式大家耳熟能詳，但對于橢圓的面積公式，書本并未給出。利用“祖暅原理”推論將橢圓的面積與圓的面積公式聯系起來，很容易可以求出橢圓的面積，在整個過程中，有效激發了學生探究的精神。

在高中數學課堂滲透中國數學史，讓廣大中學教師有力把握中國數學史在高中數學中的重要地位及其作用，有利于數學老師更加全面、更加深刻地理解數學，提高他們的專業水平及素養，進而提升教學能力；同時有助于活躍數學課堂氣氛，使數學教學更加高效，對日常的數學教學起到十分積極的作用。從而，也可以調動學生學習數學的積極性，激發學習興趣，加深學生對數學本質的理解；有利于學生系統地掌握數學知識，擴大知識面和視野；有助于培養學生的創新能力，培養學生愛國主義熱情，有效地體現數學的文化價值。

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