高中不等式恒成立問題的解題策略之我見

丘啟柱

摘 要：高中不等式恒成立問題在高考中涉及甚多，占據(jù)了不菲的分值，對于學生而言是必須要掌握的重要知識點。本文針對高中不等式恒成立問題，提出了一些解題的策略方法，希望可以對高中數(shù)學教學起到一定的參考幫助。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；不等式恒成立；解題策略

從實際教學來看，能夠解決不等式恒成立問題的方法其實是比較多的，變量分離、數(shù)形結(jié)合、判別式法、導數(shù)法等都是有效的解題手段，針對不同類型的不等式恒成立問題具有顯著的解答效果。

一、 數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合的解題思想是一種最為常見的解題策略，這種思想的根本在于將數(shù)學式子和圖形結(jié)合起來，或者是將數(shù)學式子演化成具體的圖形，通過在圖形上尋找規(guī)律，從而得出解答題目的關(guān)鍵。比如針對方程根的個數(shù)的判別，就可以通過畫出方程圖像，找出其和x軸的交點個數(shù)，從而得出其根的個數(shù)。運用這種思想方法，需要注意幾個要點原則：第一，要結(jié)合題意畫出適當?shù)膱D形。第二，在圖形的繪制上，一定要反映出不等式中的關(guān)鍵信息，比如交點、位置關(guān)系等。第三，要將圖形和不等式聯(lián)系起來進行解題，不可單獨看其中一個。在高中數(shù)學教學中，需要對數(shù)形結(jié)合的方法進行重點講解，尤其是結(jié)合實例作出分析非常必要。因為這種解題思想方法在諸多問題的解答中都非常實用，可以大大提高解題效率和正確率，讓學生在最短的時間內(nèi)完成解題。

二、 變量分離

變量分離這種方法也被稱之為參數(shù)分離，就是將不等式中所包含的不同變量進行分離，分別移動到不等式的左右兩邊，然后將恒成立轉(zhuǎn)化為一個最值問題或是單調(diào)性問題進行求解。在這類不等式問題中，往往存在兩個變量，其中一個變量是已知的，另一個變量是未知的，將兩個變量分別移到不等式的兩邊之后，就可以通過已知變量來求出未知變量，進而實現(xiàn)求解不等式的目的。在高中數(shù)學教學中，對變量分離這種方法進行講解是很有必要的，因為除了不等式恒成立問題之外，在一些其他問題中也可以使用這種方法。

對于這個題目，通過解析過程可以看出，運用變量分離的思想，現(xiàn)將原本的不等式進行轉(zhuǎn)化，然后再對轉(zhuǎn)化后的不等式進行變量分離，將x和a分離成兩個函數(shù)，通過對相關(guān)條件的考量，就可以得出最終的答案。在數(shù)學教學的過程中，教師一定要把握住變量分離思想的重點，一是先將不同變量從不等式中分開，分別移動到不等式的兩端。二是將不等式轉(zhuǎn)化為兩個不同的函數(shù)，通過一定的數(shù)值關(guān)系求解不等式恒成立的條件。

三、 函數(shù)性質(zhì)

不等式相關(guān)問題在解答過程中往往和函數(shù)具有密切的聯(lián)系，兩者之間往往會進行相互轉(zhuǎn)化，由此就得出了一種解題方法，即運用函數(shù)性質(zhì)進行不等式恒成立問題的解答。函數(shù)性質(zhì)本身是對函數(shù)特征的一種表現(xiàn)和展示，能夠顯露出函數(shù)的特點，通過將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，就可以憑借函數(shù)的特點性質(zhì)解出使不等式成立的相關(guān)條件。所以，在不等式恒成立問題的教學中，教師就可以將函數(shù)性質(zhì)引入其中，引導學生學會利用函數(shù)的性質(zhì)解答相關(guān)問題。其中，函數(shù)單調(diào)性是最為常見的一種形式，下面就結(jié)合具體例題進行分析。

綜合上述三個結(jié)論進行分析，就可以得出實數(shù)m的取值范圍是m≥-12。對于這個題目，其包含了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)和特點，在進行解答的過程中，需要使用到函數(shù)性質(zhì)進行綜合分析。單調(diào)性只是函數(shù)性質(zhì)的一個方面，上述題目正是運用了這一點。而除了單調(diào)性之外，函數(shù)還存在最值、對稱性等多個方面的特點性質(zhì)，在不同的題目中，可以對這些特點性質(zhì)進行區(qū)別利用，達到解題的目的。

四、 集合思想

集合在高中數(shù)學中也是一個知識點，其雖然難度不高，但是相關(guān)思想?yún)s可以在諸多題目的解答中進行應用，對于不等式恒成立問題也是如此。在集合思想中，主要分為補集和子集這兩個思想。根據(jù)集合的定義來看，集合是一些個體的整體，將這些個體按照不同的標準進行分類，又可以得出子集，也就是說子集屬于集合，子集所包含的元素集合肯定也包含，集合所包含的元素子集不一定包含。補集和子集都是集合中的基本概念，二者存在相對關(guān)系。從實際來說，子集和補集元素互異，各不相同。對于不等式恒成立問題，這一思想特點就能成為解題的關(guān)鍵。

結(jié)束語

不等式恒成立問題的解法多樣，思想各不相同，除了文章所提到了數(shù)形結(jié)合、變量分離、函數(shù)性質(zhì)和集合思想之外，還可以通過絕對值、函數(shù)構(gòu)造等手段實現(xiàn)相關(guān)問題的解答。這些解題方法都需要教師在課堂上通過實際案例作出分析，讓學生形成直觀了解。endprint