探討高中數學中解三角形的非常規思路

馮厚發

摘 要：使用正弦、余弦定理實現邊、角互化，是高中數學中解三角形的常規思路。但部分解三角形題目，也可采用非常規思路進行解答。因此，教學實踐中，教師應注重傳授解三角形的非常規思路，達到簡化計算，提高解題效率的目的。

關鍵詞：高中數學;解三角形;思路;探討

中圖分類號：G633.63????????? 文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2018）20-053-1

不可否認，正、余弦定理是解三角形的重要知識點，可解答出較多的三角形問題。但其并不是解三角形的唯一方法，甚至用于部分題目解答中會增加解題難度，因此，教學實踐中，教師應注重講解相關例題，傳授解三角形的非常規思路，進一步拓展學生思維，使學生能夠靈活解答各種解三角形類的題目。

一、平面向量法解三角形

平面向量是高中數學的基礎知識，常被用作解答平面、立體幾何問題的工具。在一些解三角形題目中，使用正、余弦定理雖然能夠解答出來，但計算較為繁瑣，而使用平面向量進行求解，可大大簡化計算過程，獲得事半功倍的解題效果，因此，教學實踐中，教師應注重引導學生嘗試運用平面向量法解三角形。

例1 如圖所示，在三角形ABC中，BC邊上存在一點D，滿足BD=2DC，其中∠BAC=π3，AB、AC的長分別為4、3，則AD的長是多少？

分析：該題目是解三角形的常規題型，學生并不陌生。使用正、余弦方法求解需要考慮兩個問題：其一，解題過程中涉及兩個三角形，列出的方程較多，而且計算量較大。其二，選擇三角形時容易搖擺不定，浪費解題時間。而利用平面法，可有效避免上述問題，做到盡快解題，即，利用向量知識，使用AB、AC表示AD，不難得出：AD=13AB+23AC利用題干及向量數量積，將上式兩邊平方可得出AD=2193。

點評：使用向量法解三角形，雖能簡化解題過程，但技巧性較強，如不能準確找到已知量與未知量間的向量關系，仍不能迅速解題，因此，為使學生熟練掌握這一解題思路，教學實踐中，教師應引導學生多進行相關題型的訓練，使學生能夠準確找到已知量與未知量間的關系，巧妙利用向量知識進行求解。

二、數形結合法解三角形

數形結合法是解答數學試題的常用方法，將數轉化至直觀的圖形中，通過分析圖形便可得出結果，明顯提高解題效率。部分解三角形試題采用常規方法，列出的數學式復雜，解答難度較大，部分學生甚至不知如何下手。考慮到三角形與圓有著密切的關系，因此，遇到解三角形題目時，可通過構造圓，利用數形結合法進行求解。

例2 已知三角形ABC中，AC的長為3，∠B=π3，△ABC面積的最大值是多少？

分析：該試題情景較為簡單，部分學生思維定勢，使用正弦、余弦定理、不等式等知識點進行求解，雖然能夠求出結果，但花費時間較長，解題效率較低。教師可引導學生將該三角形放入圓中，通過簡單分析便可得出結果。如圖所示：

根據已知條件，不難求出圓的半徑為1，利用圓的“等弦對等角”性質可知，點B在圓上運動均符合題干情景。顯然當點B移動至最高點時，三角形ABC的面積達到最大，不難求出三角形ABC的最大面積S=34×（3）2=334。

點評：運用數形結合法解三角形題目時，常借助三角形的外接圓、內切圓求解。為保證解題正確性，教師應引導學生回顧初中學習的有關圓的知識，結合題干進行分析。同時，教師可推導出三角形各邊與內切圓、外接圓半徑關系的公式，在解題中方便學生直接應用。

三、解析幾何法解三角形

解析幾何法是一種將圖形中的長度關系轉化為單純的代數，借助直角坐標系，對數進行計算實現解題的一種方法。利用解析幾何法解答數學問題時，將圖形中的關系通過坐標表示出來，只需進行計算即可。部分解三角形題目，運用解析幾何法可避免運用正弦、余弦定理時繁瑣的計算，提高解題正確率。

例3 已知三角形ABC，其中AB、BC、AC的長分別為3、13、4，求AC上的高。

分析：該題目難度不大，常規方法求解時仍需應用正、余弦定理，計算繁瑣，出錯率較高。根據題干中三角形各邊長度，構建平面直角坐標系，進行簡單計算便可得出結果。根據已知條件，在平面直角坐標系中畫出三角形ABC（如圖所示）。

可知A（0，0），B（4，0），設B（x，y）（y>0），以點A、點B為圓心，以AB、BC長為半徑，看做兩個圓，顯然x2+y2=9，（x-4）2+y2=13，聯立解得，x=32，y=332，即，AC上的高為332。

點評：利用解析解法解三角形，只需根據題干描述正確找到坐標，并合理設置未知參數，通過已知參數求出未知參數即可，整個解題思路清晰、明了，不容易出錯，因此，教學實踐中，教師應多講解相關題目，提高學生應用解析幾何法解三角形的意識。

總之，解三角形是高中數學的重點知識，是高考的必考內容，如何提高學生的解題效率，關系著學生的考試成績，因此，教學實踐中，教師除認真講解正弦、余弦定理知識，使學生熟練掌握常規解題思路外，還應傳授一些非常規解法。