高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的思考

承彥人

[摘 要] 有效的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，一定是基于對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過程的研究的. 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，一定程度上代表著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律所在. 研究學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)過程中的規(guī)律，可以讓教師更好地看清學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，可以讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更為有效，當(dāng)然也可以促進(jìn)教師自身的專業(yè)成長. 在經(jīng)驗(yàn)積累的過程中借鑒相關(guān)的教育理論，可以使教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程把握得更為清晰與準(zhǔn)確.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；學(xué)習(xí)過程

無論是此前的有效教學(xué)的討論，還是現(xiàn)在核心素養(yǎng)及其培養(yǎng)的討論，實(shí)際上指向都是一樣的，那就是對(duì)學(xué)生的指向，但矛盾的是，真正的教學(xué)過程中，教師往往又是不太關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，而是更關(guān)注自己的教學(xué)過程. 但教學(xué)與學(xué)習(xí)畢竟主體不同，過程也不同，因此從真正有效的角度來看，還是研究學(xué)生的學(xué)習(xí)過程對(duì)教師的教學(xué)來說更有意義，而事實(shí)上這也是“以學(xué)定教”的真實(shí)含義. 而將教學(xué)研究的視角轉(zhuǎn)移到學(xué)生的學(xué)的過程中時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)真的是一個(gè)非常復(fù)雜的過程，有時(shí)即使積累了經(jīng)驗(yàn)，也難以從理論上尋找到很好的解釋，這就使得對(duì)高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的研究出現(xiàn)了一些挑戰(zhàn)，而面對(duì)這些挑戰(zhàn)并提出自己的一些樸素觀點(diǎn)，是可以促進(jìn)教師自身的專業(yè)成長的. 本文試以高中函數(shù)概念的教學(xué)為例，談?wù)勔恍┕P者的淺顯觀點(diǎn).

[?] 學(xué)生真的學(xué)懂了函數(shù)嗎

筆者曾經(jīng)做過試驗(yàn)，在函數(shù)知識(shí)教完一段時(shí)間之后去問學(xué)生“何為函數(shù)”，而學(xué)生的回答則比較一致：他們都是通過舉例，如相對(duì)熟悉的一次、二次函數(shù)，與高中學(xué)的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等. 為什么都是用舉例的方式來證明自己對(duì)函數(shù)的理解呢？

至少從課程、教師的角度來看，對(duì)函數(shù)的理解不是通過例子來進(jìn)行的，甚至是在函數(shù)概念構(gòu)建的起始課上，教師也常常是從數(shù)學(xué)模型等角度引入的，是用集合和對(duì)應(yīng)法則來定義函數(shù)的，盡管這與真正的數(shù)學(xué)意義上的函數(shù)理解還有一定距離（教科書的定義方式與學(xué)生的學(xué)習(xí)層次與能力相關(guān)），但學(xué)生所理解的函數(shù)還是脫離了這一基本面，還是從具體的函數(shù)例子角度建立理解的. 從某種程度上來講，這也是學(xué)習(xí)的必然結(jié)果，事實(shí)上成人的每一個(gè)知識(shí)的學(xué)習(xí)其實(shí)最牢固的“拋錨”基礎(chǔ)就是例子，因此學(xué)生通過例子來闡述自己對(duì)函數(shù)的理解是必然的. 但這種必然其實(shí)又是一種低水平的必然，說明學(xué)生并沒有真正把握住函數(shù)的基本要義，再加上日常的訓(xùn)練都是以具體的習(xí)題來作為訓(xùn)練的，不同的習(xí)題對(duì)應(yīng)著不同的具體的函數(shù)例子，因此對(duì)函數(shù)的理解水平就定格于這樣的水平，也就是自然而然的結(jié)果.

當(dāng)然，我們又不能認(rèn)為學(xué)生這樣就是不懂函數(shù)，因?yàn)樵诤瘮?shù)知識(shí)的運(yùn)用與解題中，學(xué)生所形成的關(guān)于函數(shù)的認(rèn)識(shí)也許是默會(huì)的，其也能在學(xué)生的生活中發(fā)揮作用，這也算是懂函數(shù)的；但可以認(rèn)為，這樣的懂是一種類似于默會(huì)的懂，至少從數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建的角度來看，還不是真正的懂. 因?yàn)閷?duì)函數(shù)的描述，至少也應(yīng)當(dāng)是從一個(gè)統(tǒng)一定義的角度進(jìn)行的，不同的函數(shù)的例子應(yīng)當(dāng)是這個(gè)定義的衍生，建立這種從基本定義向具體事例的發(fā)散的函數(shù)理解，才是真正的函數(shù)理解.

[?] 學(xué)生怎樣才能學(xué)懂函數(shù)

真的從這個(gè)角度來讓學(xué)生懂函數(shù)，并不是一件輕而易舉的事情. 函數(shù)其實(shí)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中最為難懂的概念之一，也是諸多數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生聯(lián)系的重要“結(jié)點(diǎn)”. 目前對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的心理機(jī)制據(jù)說研究還不夠深入，已有的理念也多是管中窺豹，但這樣的努力已經(jīng)足以讓普通數(shù)學(xué)教師有所收益了.

我國著名數(shù)學(xué)教育家章建躍先生在引用Schoenfeld等人的研究成果時(shí)，提到了知識(shí)獲取的四種水平：在模式水平上知識(shí)的宏觀結(jié)構(gòu)；知識(shí)要素的具體界定、特例分析以及對(duì)某些限制條件等——對(duì)知識(shí)的細(xì)節(jié)處理；與支持知識(shí)的上層結(jié)構(gòu)有關(guān)系——對(duì)知識(shí)聯(lián)系性的處理；在超出熟悉情境和個(gè)體建構(gòu)在水平3上看到的概念要素的時(shí)候——知識(shí)綜合的、創(chuàng)造性的應(yīng)用.

從學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)的角度來看這四種水平，是可以尋找到比較典型的痕跡的：在函數(shù)起初學(xué)習(xí)的時(shí)候，學(xué)生是將函數(shù)的概念建立在集合這一概念基礎(chǔ)之上的，事實(shí)上對(duì)應(yīng)法則在此之前遇到很少，也只有在函數(shù)概念建立的時(shí)候，才對(duì)其有所強(qiáng)調(diào)，這就是在有認(rèn)知水平上的知識(shí)建構(gòu)；其后，一個(gè)具體函數(shù)的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生從各個(gè)角度、不同要素處構(gòu)建對(duì)函數(shù)的理解，這就是對(duì)知識(shí)細(xì)節(jié)的處理（實(shí)際上學(xué)生對(duì)函數(shù)理解的事例化，就是從此時(shí)開始的）；再然后，就是讓學(xué)生在各個(gè)具體函數(shù)的學(xué)習(xí)中形成一種對(duì)函數(shù)的整體認(rèn)知，尤其是對(duì)函數(shù)定義的理解的深入——這是傳統(tǒng)教學(xué)中容易忽視的，因?yàn)檎５慕虒W(xué)都是向“前”看的，很少有“回頭”反思基本定義的，但這個(gè)過程很重要，這是一個(gè)通過具體函數(shù)事例“反哺”函數(shù)基本定義的過程，是讓學(xué)生在通過具體事例深化了對(duì)函數(shù)定義的理解之后形成基本理解的過程，是學(xué)生真正懂得函數(shù)的深化之舉；而其后的第四步綜合性、創(chuàng)造性地運(yùn)用，則實(shí)際上是一個(gè)函數(shù)理論聯(lián)系實(shí)際的過程，傳統(tǒng)教學(xué)中已經(jīng)重視，不贅述.

從這個(gè)研究成果角度來看，函數(shù)概念的理解應(yīng)當(dāng)是建立在概念基礎(chǔ)之上的，也就是說不同函數(shù)例子應(yīng)當(dāng)是函數(shù)這個(gè)基本概念的衍生，理解函數(shù)應(yīng)當(dāng)從函數(shù)定義出發(fā)，從集合與對(duì)應(yīng)法則出發(fā)，從不同函數(shù)事例中提取出不同集合與對(duì)應(yīng)法則，才是理解函數(shù)的根本.

[?] 教師如何促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)

可以肯定的是，學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，自己是不可能生成讓自己理解函數(shù)的情境的，教師應(yīng)當(dāng)發(fā)揮主導(dǎo)作用. 那基于學(xué)懂函數(shù)概念的需要，教師如何促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)呢？筆者的經(jīng)驗(yàn)有三：

第一，重視函數(shù)概念的最初構(gòu)建. 事實(shí)上，高中階段對(duì)函數(shù)概念的教學(xué)采用過多種定義方式，今天的基于集合與對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)定義，是描述形式較為簡潔，理解起來較為簡單的一種方式. 可能很少有人意識(shí)到，其實(shí)函數(shù)的定義原本就是對(duì)各種具體函數(shù)進(jìn)行了分析綜合，進(jìn)行了抽象概括后的產(chǎn)物，將這種基于集合與對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)定義當(dāng)成整個(gè)函數(shù)體系知識(shí)學(xué)習(xí)的始祖，是數(shù)學(xué)課程專家思維的結(jié)晶，本來就應(yīng)當(dāng)是函數(shù)知識(shí)體系構(gòu)建的基點(diǎn). 但正是因?yàn)槠涮^基礎(chǔ)了，以至于在實(shí)際教學(xué)中常常忽視了它，再加上與之相關(guān)的試題較少也比較簡單，因此實(shí)際教學(xué)中又進(jìn)一步忽視了，如此遞進(jìn)式忽視，學(xué)生會(huì)引起重視那才是怪事. 而為了讓學(xué)生理解函數(shù)，筆者以為這里需要矯枉過正，需要真正從源頭處重視函數(shù)的教學(xué).endprint

第二，重視具體函數(shù)對(duì)函數(shù)概念的反哺. 在建立了函數(shù)概念之后，必然要進(jìn)行多種函數(shù)的學(xué)習(xí)，這些函數(shù)作為在更為具體的情境中集合與對(duì)應(yīng)法則的具體運(yùn)用，會(huì)有特殊的理解，這種理解對(duì)于學(xué)生而言，實(shí)際上是思維的延伸. 但教師要注意的是，在學(xué)生思維延伸的過程中需要重視“回頭看”，要能夠讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些具體函數(shù)與最源頭處的那個(gè)函數(shù)的定義有著什么樣的聯(lián)系，只有這種聯(lián)系被學(xué)生建立起來時(shí)，學(xué)生才能意識(shí)到函數(shù)的一般性定義與具體情境下的定義的關(guān)系. 這實(shí)際上是一個(gè)上位概念與下位概念的關(guān)系，這種從屬關(guān)系的建立，是學(xué)生理解函數(shù)的關(guān)鍵.

第三，重視綜合情境中函數(shù)概念的創(chuàng)新應(yīng)用. 數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中最為重視的內(nèi)容了，由于高考導(dǎo)向日趨科學(xué)，新的情境尤其是生活情境，常常出現(xiàn)在試題中，這就給學(xué)生將函數(shù)知識(shí)向生活延伸提供了可能. 這種延伸對(duì)于學(xué)生理解函數(shù)來說依然是重要的，尤其是學(xué)生在生活情境中發(fā)現(xiàn)集合的存在，發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)法則的存在，發(fā)現(xiàn)基于兩者的函數(shù)關(guān)系的存在，這往往可以給學(xué)生理解函數(shù)提供有效的錨點(diǎn)，這是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的，是得到多種不同學(xué)習(xí)心理理論支撐的.

函數(shù)教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中跨度很大，延續(xù)的時(shí)間也很長，在這個(gè)時(shí)間段里讓學(xué)生依據(jù)上述思路，織起一個(gè)關(guān)于函數(shù)的網(wǎng)（而不是一條線），可以很好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解.

[?] 在關(guān)注學(xué)習(xí)中研究教學(xué)

關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程對(duì)于教師來說是重要的，尤其是高中數(shù)學(xué)，忽視了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中邏輯的運(yùn)用，忽視了學(xué)生在運(yùn)用邏輯推理知識(shí)的時(shí)候用到哪些知識(shí)、忘記了哪些知識(shí)，都無法真正看懂學(xué)生是怎樣學(xué)習(xí)的. 函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)最核心的內(nèi)容之一，如果教師能夠以之為突破口，最大程度上弄懂學(xué)生在學(xué)習(xí)中的過程，就可以起到突破已有教學(xué)思路，抵達(dá)新的教學(xué)水平的作用.

當(dāng)然，這個(gè)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)可能還有些遙遠(yuǎn)，但可以肯定的是，在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)細(xì)節(jié)的關(guān)注，是可以尋找到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一些基本規(guī)律的. 如果在此過程中還能夠?qū)ふ业揭恍┙虒W(xué)理論來引導(dǎo)自身的實(shí)踐，那更是一件好事. 事實(shí)上，認(rèn)知發(fā)展心理學(xué)中的相關(guān)理論，對(duì)于解釋學(xué)生的學(xué)習(xí)過程還是有一定的積極作用的.

總的來說，在關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中研究教學(xué)，確實(shí)是一條把握學(xué)生學(xué)習(xí)過程，實(shí)現(xiàn)自身專業(yè)成長的途徑，沿著這條途徑，是可以窺得高中數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦的.endprint