一道高考題的新解與思考

趙家嗣+梅松竹+李建偉

【摘要】基于公平性和多樣性原則，高考命題思路靈活，為學生創造多種解法的可能途徑.本文以一題多解的范例，闡釋了同一法、斜率法、向量法、二次曲線第二定義法在證明三點共線問題中的妙用，為學生的數學綜合能力和核心素養的培養提供重要參考.

【關鍵詞】高考題；一題多解；數學思維；核心素養

考試，是人類特有的評價活動，具有“育才、選才、用才”之能，在當代考試與教育如影隨形[1].高考，在我國是最大規模的考試，受關注和監測的程度最高.正因為如此，高考試題必須是科學而有效的，同時為了兼顧考試公平性和多樣性，試題在命制時力求思路靈活、解法多樣，可以全面衡量考試的數學能力和核心素養.正如學者所言：當今數學教學的重要任務是在教學中培養學生的創新意識、創新思維、創新能力，而“一題多解”正是實現這一重要任務的有效途徑[2].下面，將以2010年全國高考卷Ⅰ理科第21題第一問為例，分析一題多解下的數學思考.

例1 （2010年全國高考卷Ⅰ理科第21題）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F.過點K（-1，0）的直線l與C交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點為D.證明：點F在直線BD上.

解題思路 證明“點F在直線上”，常規思路是將點的坐標代入直線方程中檢驗或證明直線恒過定點，解答如下：

此解法有兩點需要注意：一是l可能與x軸垂直，故設其方程為x=my-1（m≠0），二是利用根與系數關系將BD的方程進行化簡，并求得BD與x軸的交點即是拋物線的焦點.以上是常規解法，按部就班，適合大多數學生.其實，證明點在直線上，我們可以充分利用三點共線的證法，突破思維定式，充分挖掘問題的內涵，一定會得到更為巧妙的解法.

解題分析 本解法與法二利用共點兩直線斜率相等來證得三點共線有異曲同工之妙，過程看似相同，實則本法利用了平行向量的證明方法，即由兩向量坐標對應成比例得到平行關系，再結合兩向量的公共點得出它們共線.向量法是解決空間解析幾何的常用方法，值得考生們關注.

另證4 過點A，B做拋物線C的準線的垂線，垂足分別為E，G，EA的延長線交BF于點H.

解題分析 本解使用了統一法，證得所設點與所求點共點，這是典型的化歸思想.

本文列舉了七種解法，涵蓋了幾何和代數的多個解題方法，同時涉及多種數學思想.高考試題主要從數學史、數學精神、數學應用三個方面滲透數學文化.通過這種滲透，有效促進學生理性思維的發展[3].當前，基礎教育已進入到“內涵式”發展階段，尤其提倡學科素養以及創新和綜合能力.因此，在中學階段，熟練掌握多種數學方法，學會融會貫通，善用多類數學思想切入問題，及時總結和歸納典型題目的典型解法，對于學生的學習不無裨益，也將有益于學生的未來發展.

【參考文獻】

[1]梅松竹.國際視野下試卷質量評價研究：理論、方法與實踐[M].北京：科學出版社，2015.

[2]李文斌.從初中數學的一題多解談培養中學生創新思維能力[J].中國校外教育，2010（1）：54-57.

[3]陳昂，任子朝.突出理性思維 弘揚數學文化——數學文化在高考試題中的滲透[J].中國考試，2015（3）：10-14.