讓數學基本活動經驗落地生根

沈文漢 李賓

摘要：《義務教育數學課程標準（2011年版）》將基本活動經驗確定為重要的數學課程目標，成為“四基”之一，要讓數學基本活動經驗落地生根，不僅要明確什么是數學基本活動經驗，更要精心耕耘學生積累數學基本活動經驗的土壤，探索積累數學基本活動經驗的途徑和方法，通過落實過程性目標、轉變學習方式、豐富活動內涵、強化數學應用等措施積累數學基本活動經驗。

關鍵詞：數學基本活動經驗；過程性目標；數學應用；初中數學教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2018）11A-0062-04

《義務教育數學課程標準（2011年版）》課程目標中明確提出，通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗[1]。由于數學基本活動經驗具有“內隱性”的特征，所以它不像其他“三基”那樣“道得清、說得明”，它是看不見、摸不著的，有時很難用直觀語言表達，有時用傳統的評價方式無法考察、無法測量。如果我們不能從義務教育數學課程的培養目標出發，不能從學生的全面發展和終身發展出發，對“四基”各自的教育功能和教育價值沒有充分的認識，那么“數學基本活動經驗”就會成為一個“軟”目標，在實際教學中難以落實，最終不會落地生根。

一、數學基本活動經驗的內涵

數學基本活動經驗雖然是在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確了“四基”地位，但并不是這幾年才提出的一個概念，在《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》課程總目標中已經提出了通過義務教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學事實、數學活動經驗）以及基本的數學思想方法和必要的應用技能[2]。只不過當時是將數學活動經驗歸為數學知識的范疇。盡管這個概念提出的時間比較早，但關注的人不多，研究的人不多。由于大家對數學基本活動經驗的概念還比較模糊，理解還不到位，不少教師只是把它當成“數學活動”和“經驗”的復合詞，簡單地理解為“學生參與數學活動的經驗”，導致教師在平時的教學中落實不到位。那么什么是“數學基本活動經驗”？目前還沒有統一的說法，史寧中教授認為“數學基本活動經驗是學習主體通過親身經歷數學活動過程所獲得的具有個性特征的經驗”[3]。張奠宙教授認為“數學活動經驗是在數學目標指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識”[4]。重慶師大仲秀英教授認為“數學活動經驗是學生在經歷數學活動過程中獲得的對數學事實的理解，及在參與數學活動中形成的觀念、情感等內容構成的組合性經驗”[5]。盡管對數學基本活動經驗的界定眾說紛紜，但有些觀念是接近的或相同的，大家一致認為，數學基本活動經驗是“數學的”，是數學課堂教學中所從事的具有明確目標的數學活動；數學基本活動經驗是“經驗的”，一是獲得經驗的事物，二是獲得經驗的過程；數學基本活動經驗是“活動的”，這里的“活動”不僅僅是具體操作活動，還包含思維活動和探究活動。我們可以將數學基本活動經驗從形式、內涵和類型方面進行如圖1的概括：

二、積累數學基本活動經驗途徑和方法

數學基本活動經驗的積累不是一朝一夕就能夠完成的，需要一個長期的過程。它不是通過幾節課或一段時間強化訓練完成的，需要在平時教與學的全過程中、在每一節課的活動中、在活動的每一個環節中逐步孕育，逐步發展，逐步積累，逐步提升。它不是在某一種單一的活動中迅捷完成的，需要在操作活動中、在思維活動中、在探究活動中、在綜合應用中通過不斷積累來完成。

（一）落實過程性目標

《義務教育數學課程標準（2011年版）》將數學課程目標分為兩類：一類是結果性目標，另一類是過程性目標。結果性目標一般指向基礎知識與基本技能，而過程性目標更多是指向數學基本思想和基本活動經驗。所以我們平時的教學活動要更加關注“過程”，把數學基本活動經驗積累和過程性目標建立聯系，要從數學目標出發，從學生的已有經驗出發，組織開展有效的數學活動，使學生經歷操作實驗、觀察發現、猜想驗證、歸納證明、應用創新等過程。比如，在學習“確定圓的條件”這部分內容時，如果我們只是從知識和技能的層面去考慮，那只要讓學生知道“不在同一直線上的三點確定一個圓”這個結論，并會畫圖就行了。平時不少教師也只是做到了這一點。為了全面落實“四基”，落實過程性目標，我們可以安排數學實驗“最小覆蓋圓”，目的是讓學生經歷利用圓形紙片覆蓋線段、三角形、四邊形的過程，理解基本圖形的“覆蓋圓”和“最小覆蓋圓”的概念，探索基本圖形的最小覆蓋圓，進一步掌握確定圓的條件，并獲得和數學相關的數學活動經驗。

（二）轉變學習方式

數學課程目標由“雙基”變為“四基”，而“四基”的落實關鍵在課堂，為此我們要轉變教與學的方式。在學生掌握知識和運用知識的同時，教師要讓學生更多地經歷知識產生的過程，更多地關注探究的過程、思考的過程、抽象的過程、預測的過程、推理的過程、反思的過程，讓學生親自參與、主動實踐、深入探究，引導學生自己去收集資料，自己去設計方案，自己去發現問題，并綜合運用所學知識、方法和策略解決實際問題，積累豐富的數學基本活動經驗。

（三）豐富活動內涵

數學學習中的很多經驗是不可傳遞的，只能靠親身經歷來積累。我們在平時教學中，必須讓學生積極參與活動，引導學生經歷多樣化的數學活動過程，積累數學基本活動經驗。

1.豐富操作活動。學生在實際的、外顯操作活動中獲得的直接感受和體驗就是操作活動經驗。要獲得操作活動經驗，首先要有操作活動。操作活動包括幾何操作、數學表征工具的直接操作、數學公式和符號的直接操作。我們常用的剪、拼、折、平移、旋轉等操作活動就是幾何操作活動，使用示意圖、統計圖表、程序語言等表達數學內容的操作活動就是數學表征工具的直接操作，使用計算器、計算機等簡單的數學工具進行的操作活動就是數學公式和符號的直接操作。盡管數學操作活動在一般情況下不能直接解決問題，但它可以幫助學生加深對數學知識的理解，促進思維的發展，同時為探究問題奠定基礎。比如在探究角平分線的性質、等腰三角形的軸對稱性、等腰三角形“三線合一”等問題時，我們常常會讓學生經歷折紙等操作活動，探索相關性質，加深對知識的理解。

2.豐富思維活動。學生數學學習的過程是從感性認識逐步向理性思維發展的過程，學生在理性思維過程中形成的經驗就是思維活動經驗。思維活動經驗包括歸納的經驗，數據分析、統計推斷的經驗，幾何推理的經驗等。我們在平時的教學中，要引導學生經歷抽象概括的過程，在學生充分感知的基礎上，適時地引導學生觀察、發現、比較、思考，使他們學會從一些現象和事實中舍去個別的、非本質的屬性，通過抽象概括形成一般化的認識，加深對事物本質的把握，從而形成概念，得出規律，獲得感性經驗背后理性的、抽象的思維活動經驗。

案例1：把一張足夠長的紙條按同一方向對折，如圖2所示：

觀察：經過第1次對折后，折痕數與紙條的層數各是多少？

經過第2次對折后，折痕數與紙條的層數各是多少？

經過第3次對折后，折痕數與紙條的層數各是多少？

發現：每次對折后，折痕數與紙條的層數之間有什么關系？

猜想（驗證）：經過第4次對折后，折痕數與紙條的層數各是多少？

歸納：經過第n次對折后，折痕數與紙條的層數各是多少？

（通過觀察圖形和思維活動，從數和形兩個角度刻畫同一問題）

證明：提升策略性、方法性經驗，從而得到數學等式：1+2+22+…+2n-1=2n-1 。

應用（創新）：遷移到“拉面”等其他活動中去鞏固，并進一步發展獲取的數學活動經驗。

3.豐富探究活動。數學活動不僅僅是直觀、形象的“手指運動”，還應該有生動的思維活動，需要學生經歷具體問題數學化、數學問題具體化的過程，使得行為操作和思維操作相互作用、深度融合，形成探究活動經驗。

案例2：“最小覆蓋圓”教學片段

第一步，先設計“覆蓋兩點，直觀感受”的環節，目的是幫助學生把握線段最小覆蓋圓的特征。

第二步，設計“覆蓋三點，驗證歸納”的環節，目的是讓學生經歷歸納活動，獲得三角形的“最小覆蓋圓”應優先考慮以最長邊為直徑的圓，再考慮三角形的外接圓的經驗。

第三步，設計“覆蓋四點，理性分析”的環節，先從正方形、菱形等特殊四邊形開始，再到一般四邊形，滲透轉化思想、分類思想，同時也為進一步完善基本圖形的最小覆蓋圓尋找策略，積累具體問題抽象化、形式化的思維活動經驗。

在上述活動過程中，學生不僅經歷了外顯的操作活動（畫、量），還經歷了數學思考。

（四）強化數學應用，積累數學基本活動經驗

數學應用是學生運用數學知識、思想方法進行問題解決的過程，它是學生在發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程中獲得的經驗，應用意識的生成便是知識經驗形成的標志。

在學生學習了蘇科版數學九年級下冊“利用相似三角形解決問題”和“利用銳角三角函數解決問題”后，我們可以安排蘇科版數學實驗手冊中“測量旗桿的高度”這一數學實驗。

案例3：“測量旗桿的高度”教學片段[6]

首先，通過觀察、估計、求平均值等過程，估計旗桿的高度；其次，利用影長、標桿和測角儀等方法，用所學過的相似三角形、銳角三角函數等知識，求出旗桿的高度，這三種方案都需要在感性操作的基礎上回歸理性的計算，將動手測量與動腦思考相結合；最后，通過比較各種方案的優點和不足，優選測量工具，改進測量方案，使得測量更精確。

安排這樣的實驗課可以幫助學生深化對知識的理解，給學生提供一個對所學知識進行梳理、整合、內化的活動載體，讓學生體驗數學建模的過程，發展學生自主探索問題的意識和能力，積累學生應用數學知識、方法和策略對實際問題進行探索、思考、總結、推廣等方面的綜合應用經驗。

數學教學講究以學生為主體的“順水推舟”，這里的“水”是指學生已經具備的“數學活動經驗”；數學的學習也很講究“水到渠成”，而這里的“水”指的也是指“數學活動經驗”。學生積累一定的數學基本活動經驗，有利于理解知識的來龍去脈，有利于掌握數學思維方法，有利于體驗并領會數學思想的無窮魅力，從而形成比較完整的數學認知結構，有效提升數學素養，對后續學習和發展產生積極影響。為此，我們要精心耕耘學生積累數學基本活動經驗的土壤，讓數學基本活動經驗落地生根。

參考文獻：

[1]義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：8.

[2]全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M].北京：北京師范大學出版社，2001：6.

[3]史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012：120.

[4]張奠宙，竺仕芬，林永偉.基本數學經驗的界定與分類[J].數學通報，2008（5）：4-7.

[5]仲秀英.學生數學活動經驗的內涵探究[J].課程·教材·教法，2010（10）：52-56.

[6]董林偉.數學實驗手冊（九年級全一冊）[M].南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2015：41.

責任編輯：石萍