淺談代換法在高中數(shù)學解題中的靈活應用

趙靈瑤

【摘 要】 本文就主要從數(shù)學解題方式中的代換法入手，探討其在解決高中數(shù)學題目中的應用。

【關(guān)鍵詞】 代換法；高中數(shù)學；解題；應用方式

一、代換法概述

在數(shù)學解題方式中，代換法是極為有效的解題思路，可以解決數(shù)學問題中具有一定復雜性和含有多個未知條件的數(shù)學問題。在進行解題的過程中，可以適當利用知識間的內(nèi)在聯(lián)系，合理地轉(zhuǎn)化題目中的數(shù)量關(guān)系和變量條件，實現(xiàn)復雜問題的簡單化。而在解決數(shù)學題目的過程中，如果可以實現(xiàn)對數(shù)學解題代換法的靈活運用，不僅可以提高學生的數(shù)學思維能力，而且還可以提高學生的學習效率，對學生今后的學習有著一定的意義。

二、代換法在高中數(shù)學解題中的應用

（一）在概率問題中的等量代換的應用

高中時期的概率問題，通常要求一次解決實驗中全部可能存在的結(jié)果，會涉及到排列、組合方面的知識，這就增加了解決數(shù)學問題的難度。對此，就需要將復雜的概率問題進行簡化。比如“袋子中放置了8個紅球和4個白球，這些球除了顏色之外，其他特征都相同。若從袋子中隨機取出5個球，則取出紅球的概率是多少”。在解這一概率問題時，首先可以設未知量，如果使用x來代表取出紅球的數(shù)量，求p（x=3）的值。根據(jù)題意可得p（x=3）=CC/C=14/33≈0.42421，也就是說從袋子中取出的五個球中，約有0.42421的概率取出的是紅球。在這道概率題目中，這些球除了顏色之外都相同，并且在解題時使用了代換法，將個體間幾乎沒有區(qū)別的物品，假設為有區(qū)別的個體，然后對其進行計算，提高了解題的效率，同時也簡化了解題的復雜性。

（二）在函數(shù)變量問題中變量代換的應用

在解決高中數(shù)學函數(shù)變量問題時，有很多函數(shù)題是利用已知函數(shù)等式求出結(jié)果值的。但面對一些較為復雜和綜合性的問題時，使用以往按部就班的解題方法，通常難以解決問題，此時就可以使用變量代替法來簡化函數(shù)等式。比如：在解決“已知函數(shù)值f（1nx）=1-x，求f（x）的值”這一類似的問題時，就可以使用變量進簡化解題過程。在具體的解題過程中，首先假設n=1nx，再將變量n代入到已知函數(shù)中，得出f（n）=1-x，這樣就實現(xiàn)了函數(shù)的簡化，然后求出x值，并將值代入到原等式中，最終就可以求出f（x）的值。由此可見，將代換法應用在一些題目較為復雜的問題中，有助于簡化等式，進而提高數(shù)學的解題效率。

（三）三角代換法的應用

在解決高中數(shù)學問題時，三角代換法屬于一種應用較為廣泛的方法。并且在使用三角代換法時，簡化了問題的復雜性，經(jīng)常會取得事半功倍的效果。比如：在例題“是否存在實數(shù)x∈（-1，1），并且使得x為無理數(shù)，而2x2-1，4x3-3x和16x5-20x3+5x都是有理數(shù)”中，在解決這一問題時，可以首先假設存在x∈（-1，1）這一實數(shù)，令其中的x=cosθ，則可以得出cosθ為無理數(shù)，而由于2x2-1=cos2θ，4x3-3x=cos3θ，16x5-20x3+5x=cos5θ都屬于有理數(shù)，從而可以得出α=cosθ+cos5θ屬于無理數(shù)。另外，由于α=cosθ+cos5θ=2cos3θcos2θ還是兩個不同有理數(shù)的乘積，可以得出α是有理數(shù)，但這一結(jié)論與前一結(jié)論中的“α=cosθ+cos5θ屬于無理數(shù)”發(fā)生矛盾，因此不存在滿足x∈（-1，1）這一條件的實數(shù)。在解決這一問題時，使用cosθ代替x，并經(jīng)過代換的轉(zhuǎn)變，簡化了解題的過程，同時使原本較為抽象的問題轉(zhuǎn)變?yōu)楦泳唧w的解題過程，不僅提高了對問題的理解，而且還提高了解題的效率。

【參考文獻】

[1] 沈小芳. 代換法在高中數(shù)學解題中的應用[J]. 考試周刊，2015（25）.