例談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何巧設(shè)問(wèn)題鏈

戴慶志

摘 要：在新課程實(shí)施過(guò)程中，教師通過(guò)問(wèn)題的設(shè)置來(lái)開展教學(xué)目前還存在種種問(wèn)題。為了解決這些問(wèn)題，筆者認(rèn)為可以運(yùn)用設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈來(lái)進(jìn)行教學(xué)。本文通過(guò)舉例，著重探討了高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何巧設(shè)問(wèn)題鏈的方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；問(wèn)題鏈；方法

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）23-093-2

一、為自然地引入新概念或新方法設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈

在數(shù)學(xué)新概念或新方法的教學(xué)中，很多教師往往不注重概念或方法的形成過(guò)程，只重視概念或方法的運(yùn)用，忽視數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與形成的重要階段，強(qiáng)行地將一些數(shù)學(xué)新概念或新方法灌輸給學(xué)生，無(wú)從體現(xiàn)學(xué)生的主體性，影響了學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)理解，阻礙學(xué)生的能力發(fā)展。

例1 在“橢圓第一定義”的學(xué)習(xí)中，我們可以給出了以下問(wèn)題鏈：?jiǎn)栴}一、圓的定義是怎樣的？問(wèn)題二、圓還可以看作滿足什么條件的點(diǎn)的軌跡？（平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡；平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離的平方和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；平面內(nèi)到兩定點(diǎn)所得連線互相垂直的點(diǎn)的軌跡……），這個(gè)問(wèn)題的設(shè)置目的是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。問(wèn)題三、改變上述條件，你還可以提出哪些軌跡問(wèn)題？（學(xué)生提出：到兩定點(diǎn)距離這和為定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，到兩定點(diǎn)距離之差為定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，到兩定點(diǎn)距離平方差為定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡……），這個(gè)問(wèn)題的設(shè)置目的是培養(yǎng)學(xué)生的提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的實(shí)踐探索能力和分類討論思想。

然后請(qǐng)學(xué)生研究：求到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡。（實(shí)物演示、計(jì)算器或電腦畫圖等）

其余問(wèn)題作為研究性課題留給學(xué)生課后研究并寫出小結(jié)，再集中展示成果。（培養(yǎng)學(xué)生的探究能力）……

二、為分散難點(diǎn)作鋪墊而設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈

數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程是指導(dǎo)學(xué)生將新知識(shí)與原有認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)相互作用，以形成發(fā)展新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。有時(shí)為了解決一個(gè)難度較大或靈活性較強(qiáng)的問(wèn)題，往往需要為分散難點(diǎn)作鋪墊而設(shè)計(jì)一些循序漸進(jìn)的問(wèn)題鏈，通過(guò)一些中間問(wèn)題的過(guò)渡，使中間問(wèn)題的解決提供中間結(jié)果和解題方法，從而起到過(guò)渡作用。一般在給出問(wèn)題的大前提后，把問(wèn)題分成幾問(wèn)，再對(duì)各問(wèn)層層加深，不斷提高，而各問(wèn)題間既相對(duì)獨(dú)立，又具有或緊或松的聯(lián)系，通過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題鏈的探索、解決，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善。

例2 是否存在常數(shù)a，b，使函數(shù)f（x）=x（a+b2x-1）是偶函數(shù)。在這個(gè)問(wèn)題的研究中，我們可以作了如下鋪墊：

問(wèn)題1 判斷函數(shù)f（x）=12+12x-1的奇偶性。其目的是的：引導(dǎo)學(xué)生在遇到困難問(wèn)題時(shí)，先考慮特殊情況，讓問(wèn)題簡(jiǎn)化，再實(shí)現(xiàn)從特殊到一般的推廣。

問(wèn)題2 判斷函數(shù)f（x）=x（12+12x-1）的奇偶性。

學(xué)生既可用函數(shù)奇偶性的定義來(lái)解決，得出是偶函數(shù)，也可設(shè)g（x）=x，h（x）=x（12+12x-1），它們都是奇函數(shù)，所以f（x）=g（x）h（x）是偶函數(shù)。

問(wèn)題3 是否存在常數(shù)a，使函數(shù)f（x）=x（a+12x-1）是偶函數(shù)？

這是一個(gè)有一定難度的存在性問(wèn)題，原先學(xué)生不易解決，但這里受到上題的啟發(fā)，使他們看到：只要判斷是否存在使函數(shù)f（x）=12+12x-1為奇函數(shù)即可。這樣，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為使h（x）+h（-x）=0成立的常數(shù)a，即解方程（a+12-x-1）+（a+12x-1）=0即2a+2x1-2x+12x-1=0，即2a-1=0所以a=12。故當(dāng)a=12函數(shù)f（x）=x（a+12x-1）是偶函數(shù)。

最后在研究問(wèn)題4是否存在常數(shù)a，b，使函數(shù)f（x）=x（a+b2x-1）是偶函數(shù)。由于本例受上題的影響，己經(jīng)不再困難。

可見，為分散難點(diǎn)作鋪墊而設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈的方法是展示知識(shí)生成過(guò)程、培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)思維的過(guò)程，也是培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、解決問(wèn)題能力、促進(jìn)數(shù)學(xué)理解的過(guò)程。

三、為鞏固知識(shí)和技能而設(shè)計(jì)的問(wèn)題鏈

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，為了讓學(xué)生鞏固知識(shí)和技能、進(jìn)一步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，可以通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈的方法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)探索，而不是靠單純的模仿練習(xí)和機(jī)械記憶。在教學(xué)過(guò)程中，教師往往可以在學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，可以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行拓展、發(fā)散，實(shí)現(xiàn)提出問(wèn)題一解決問(wèn)題一提出新問(wèn)題的過(guò)程，各問(wèn)題可以從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，環(huán)環(huán)相扣，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)和技能的綜合鞏固。

例3 圓錐曲線的定義和解析法是解析幾何的重要知識(shí)和重要思想，為了讓學(xué)生更好的理解圓錐曲線的定義和解析法，在章節(jié)復(fù)習(xí)中，我們可以設(shè)計(jì)了以下問(wèn)題鏈：

問(wèn)題1 若在平面內(nèi)，|F1F2|=2，|PF1|+|PF2|=4，求P點(diǎn)的軌跡方程。

問(wèn)題2 若在平面內(nèi)，|F1F2|=2，|PF1|+|PF2|=2，求P點(diǎn)的軌跡方程。

問(wèn)題3 若在平面內(nèi)，|F1F2|=2，|PF1|-|PF2|=1，求P點(diǎn)的軌跡方程。

問(wèn)題4 若在平面內(nèi)，|F1F2|=2，|PF1|-|PF2|=2，求P點(diǎn)的軌跡方程。

問(wèn)題5 若在平面內(nèi)，三角形PF1F2中，|F1F2|=2，|PF1|+|PF2|=4，求P點(diǎn)的軌跡方程。

問(wèn)題6 若在平面內(nèi)，三角形PF1F2中，|F1F2|=2，|PF1|-|PF2|=1，求P點(diǎn)的軌跡方程。

問(wèn)題7 若在平面內(nèi)，|F1F2|=a，|PF1|=|PF2|，求P點(diǎn)的軌跡方程。

……

以上的問(wèn)題鏈，其知識(shí)覆蓋整個(gè)解析幾何乃至于初中幾何，數(shù)學(xué)方法與思想覆蓋整個(gè)高中數(shù)學(xué)。這樣對(duì)問(wèn)題鏈的研究，不但使學(xué)生對(duì)解析幾何一章的內(nèi)容有更深的理解，而且各方面的知識(shí)與能力也得到充分的提高。

數(shù)學(xué)在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題——解決問(wèn)題——再發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的不斷往復(fù)循環(huán)的過(guò)程中發(fā)展和前進(jìn)，而學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)體系、認(rèn)知結(jié)構(gòu)在不斷地發(fā)現(xiàn)矛盾和解決問(wèn)題，尋找缺陷和補(bǔ)證不足中逐步完善。所以，問(wèn)題鏈方法是一種以適應(yīng)客觀世界的運(yùn)動(dòng)變化和數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)邏輯性之需要為目的的辯證的動(dòng)態(tài)思維方法，是全面系統(tǒng)展示知識(shí)生成的過(guò)程，有益于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解。endprint