淺析高中數學解題中分類思想的應用

葉澤春??

摘要：分類思想作為探究并解決問題的一種常見的邏輯方法，同時也作為一種重要的數學思想，在高中數學解題過程中發揮了關鍵性的作用。分類可以看作是化整為零，再逐個擊破的過程。在數學解題中，分類可以化復雜為簡單，化難為易，在幫助學生解題時，進行分類的思維過程中他們歸納、總結的能力也同時得到了鍛煉與提高。本文主要針對分類思想在高中數學解題過程中的具體應用進行分析、探討，希望能為高中生提供一些有價值的參考。

關鍵詞：高中數學；解題；分類思想

一、 數學解題中分類思想的重要性

有些數學問題，其答案并不是確定而唯一的，當我們進行到某一個步驟時，

往往發現問題中其實含有幾種情況，此時并不能將幾種情況一概而論，而要捕捉到影響條件分支的重要因素，在一定的范圍里，根據題目的要求，將情況分類成不同條件再進行討論，如此才能真正探究出問題的解決思路。

在面對數學題時，要保持清醒的分類意識，仔細閱讀題目，明確此時的情況是否需要分類，在確定分類后，要找出題干中的關鍵信息，根據給出的條件進行正確的分類，堅守一個標準原則，不重復統計某一種情況，也不漏掉任何一種情況，分好類后，要順著這個類別的樹干往下延展出枝葉來，順著思路分類討論以后要對所有的情況進行整理，歸納總結出最后的結果。

數學解題中，分類思想在不同類型的問題中都有其重要的應用，例如函數、概率、數列、解析幾何等問題中往往都需要用到分類思想。高中生熟練運用分類思想后，不僅可以在解數學題時游刃有余，對于自己思考問題的邏輯性，理清思路的條理性和整合答案的概括性都有非常大的幫助。

二、 分類思想在數學解題中的實際應用

（一） 合理分類，逐層討論

在數學解題中，運用分類思想時，一定要嚴格按照題目已知的數據，給出的條件明確討論的參數，然后再來科學地分類。分類討論時，一定要一層一層地分析，不要盲目跳層而出現不該有的失誤。

例題1已知函數y = x2-4x+3，x∈[-1，a]，求函數的最小值。

解析：這是二次函數求最值中比較常見的定軸動區間的值域問題。根據已有知識，解答時，學生會首先算出這個函數的對稱軸是直線x=2，但由于x處于動區間[-1，a]，所以我們要對對稱軸x=2是否在[-1，a]中分類進行運算。在運算過程中，根據題目給出的條件，我們進行如下分類討論：當a≥2時，則函數在[-1，2]上呈單調遞減趨勢，在[2，a]上呈單調遞增趨勢，當x=2時，y得到最小值-1，當-1≤a≤2時，函數在[-1，a]上呈單調遞減趨勢，則當x=a時，y取得區間[-1，a]內的最小值a2-4a+3。

從例題1中的分類思想下的解題過程可以觀察出，分類要在一個標準的前提下，嚴格根據題目已知條件與給出的數據，一個層次接一個層次地來討論，不重復討論情況，也不漏掉每一種情況，全面地思考解答問題，避免失誤。

（二） 進行正確的分類

高中數學題目中的分類思想往往要遵循著已有的公式和相關的定理，這些公式和定理通常會對分類的范圍做出限定，而學生解題的過程，絕不能脫離出限定范圍，否則就走入了誤區。所以在解答相關數學題時，一定要仔細審題，熟練地運用相關的公式、定理，作出正確的分類。

例題2存在二次函數y=（m-2）x（n+1）+x2+1，試求m和n的取值范圍。

解析：解答這個問題時，一定要熟悉二次函數的性質定理，題目已經明確指出這是一個二次函數，所以x的指數不可能超過2。所以（n+1）的取值就有3種可能：①n+1=2；②n+1=1；③n+1=0，n的取值范圍只能在這三種可能下進行討論，m的取值范圍也是同理作出相應的分類。因此，想要合理應用分類思想，必須熟練地掌握牢記基本的數學定理及公式，才能根據條件做出正確的反應，在解答問題上也不會誤入歧途。

（三） 明確題意，層層解答

隨著分類思想被不斷地加以重視，相應的考題也變得越來越復雜，題目中往往會出現很多的未知數，容易使學生混淆，畏難而退。所以在面對相關問題時，不必一開始就感到緊張，仔細地觀察題目，正確理解題目意思后，再運用所學的知識來一步步解答問題。

例題3設函數f（x）=x2-ax+a+3，g（x）=ax-2a。若存在x0∈R，使得f （x0）<0與g（x0）<0同時成立，則實數a的取值范圍是什么？

解析：例題3由于參數較多，學生遇到這種問題時容易感到壓力而不知如何下筆作答。但我們仔細觀察題目會發現，這道題目融合了幾種數學知識，所以在解題過程中要明確地根據題目，一層一層地做出解答。根據題目信息，我們可以遵循二次函數的性質，主要從a=0，a<0和a>0這三種情況進行分類討論。

由f（x）=x2-ax+a+3可知f（0）= a+3，f（1）= 4，又存在x0∈R，使得f（x0）<0，知Δ=a2-4（a+3）>0即a<-2或a>6，另g（x）= ax-2a中恒過（2，0），故由函數的圖像知：①若a=0時，f（x）=x2-ax+a+3=x2+3恒大于0，

顯然不成立。②若a>0時，g（x0）<0，即x0<2，∵a>0，f（2）<0，

∴a>7。③若a<0時，g（x0）<0，即x0>2，此時函數f（x）=x2-ax+a+3圖像的對稱軸x=a/2<1，故函數在區間（a/2，+∞）上為增函數，又∵f（1）=4。

∴f（x0）<0不成立。故答案為：（7，+∞）。

（四） 具體情況，具體分析

雖然很多數學題目中都會用到分類思想，但有些題目是可以用更簡便的方法來解答的，所以不必要在看到含有未知參數的數學題目時就第一時間想到用分類思想。要根據題目的具體內容，做出合理的預判，找到最省時省力的方法解答題目。各種數學思想，都要在合適的條件下，才能最大限度地體現其方便性，因此，在數學解題中，切忌盲目使用分類思想。

三、 合作鞏固分類思想的運用

作為高中數學解題中重要的一環，分類思想的作用不可小覷。為加強學生實際應用分類思想的能力，可以在教學過程中，讓學生以小組合作模式互幫互助，在團體中交流自己的想法與經驗，集中對不同題型中分類思想的運用進行討論，對所學知識和概念加深印象并鞏固。教師也可以根據課程的推進，整合學過的知識點，挑選一些稍有難度的經典題目，分給每個小組進行探究，讓學生們互相展示自己的成果，表達自己的觀點。通過小組成員之間的互相促進，加強學生自主學習的能力，使他們印象里的分類思想，不僅停留在解題工具的層面上，而且增添一些趣味，使分類思想滲透在他們的學習和生活中。在這個鍛煉過程中，學生的思維也會逐漸變得靈活、敏捷。潛移默化的影響下，既可以讓他們的數學成績得到有效提升，思考問題的能力也會產生質的改變。

四、 結語

分類思想對于高中生解答數學問題有著巨大的幫助，同時，分類思想的靈活運用與否也對高中生的思維敏捷性與細致性作出了考驗。高中生在平常的學習中，需要累積經驗，對運用到分類思想的數學問題做出歸納與總結，再遇到類似問題時，便可以輕松應對。對于相關的數學問題，在解答時，要善于觀察題干給出的關鍵性信息，作為解題線索，按照相應的數學定理或公式進行正確的分類，分類過程也要仔細，不重復不遺漏，按著對應的層次一步一步作答，最后進行整合與總結，做出正確的作答。

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作者簡介：

葉澤春，福建省福安市，福建福安市高級中學。endprint