轉化與化歸思想在高中數學中的應用

牟振華++高淑娟

摘 要：進入高中學習階段后，相較于初中時候的計算和證明，高中數學更加注重數學的思維應用，加之題干材料較為繁雜、冗長，學生在面對這樣的難題往往會容易失分。如果掌握好一定的數學方法，就能夠解答相應的題目。在數學試題中，試題的形式往往是由一些簡單的內容復合或者經過演化而成的，如果學生能夠適當地予以拆分或化簡為簡單的形式，那么就能正確的解答試題，這種解題的思路就稱為轉化與化歸思想。

關鍵詞：高中數學；轉化與化歸；應用

轉化與化歸的思想是數學思想的根本，只有掌握了這種思想，學生才能夠從根本上解決數學問題，靈活地運用數學知識，提升自己的數學思維。常用的轉化與化歸思想有題干材料的等價轉化、換元法、函數和方程的思想、數形結合的思想等。本文就下面幾種方法為例，闡述轉化與化歸思想的具體應用。

一、 等價轉化思想的應用

等價轉化是指將未知的數學難題轉化為能夠解決的問題，通過轉化的過程，將復雜的材料轉化為簡單的問題，這種思想在歷年的考試試題中屢見不鮮，教師應當在日常授課中注重訓練學生的這種意識，使其遇到此類問題時能夠自然地想到等價轉化思想，從而快速、準確地解答試題。

例 若x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求1x-1

1y-11z-1的最小值。

解析：解題的關鍵是合理的變形，即等價轉化。

1x-11y-11z-1=1xyz（1-x）（1-y）（1-z）=1xyz（1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz）=1x+1y+1z-1≥331xyz-1=33

xyz-1≥3x+y+z3-1=8。

通過將式子進行等價變化，即先進行通分、再整理公式、最后再拆分。將問題化為求1x+1y+1z-1的最小值，最終能夠簡單地解決。

二、 換元法思想的應用

換元法也是數學思想中的一項重要組成內容。通過換元方法，學生可以將高次方程化為低次方程、將分式化為整式、將無理式化為有理式等，最終達到由繁入簡的目的。

例 求函數y=（4-3sinx）（4-3cosx）的最小值。

解析：我們可以假設t=sinx+cosx，其中t∈[-2，2]，得到y關于t的函數表達式，最終求得它的最小值。

三、 函數與方程思想的應用

函數與方程思想就是根據題干中的材料來構造函數或者方程，對問題進行正確的解答，通過設置未知量來求取未知量。在授課過程中，教師要注重這種思想的傳授，讓學生能夠熟練掌握這種思想進行分析、解題，從而求得正確的答案。

例 設函數f（x）的定義域為R，對于任意的實數α，β，有f（α）+f（β）=2fα+β2fα-β2，且fπ3=12，fπ2=0。求證：f（-x）=f（x）=-f（π-x）。

解析：（1）∵fπ3+fπ3=2fπ3f（0），且fπ3=12，∴f（0）=1。

又f（-x）+f（x）=2f（x）f（0），∴f（-x）=f（x），

∵f（x）+f（π-x）=2fπ2fx-π2，且fπ2=0，∴f（x）=f（-x）=-f（π-x）。

四、 數形結合思想的應用

在高中試題中，有的題干看起來難以理解，但是如果畫出它的圖形，就會顯得較為容易理解，這就是數形結合的思想。數形結合的思想能夠將抽象的問題變得更加直觀和形象，從而簡化計算的過程，使解題方法更加簡單、直接。

例 求函數f（x）=2-sinx2+cosx的值域。

解析：函數f（x）=2-sinx2+cosx可視為點（2，2），（-cosx，sinx）兩點連線的斜率。點（-cosx，sinx）的軌跡為x2+y2=1。

函數值域即為（2，2）與單位圓x2+y2=1上點連線斜率的范圍，過（2，2）且與單位圓相切的斜率存在，我們不妨設為k。

∴切線方程為y-2=k（x-2），即，kx-y-2k+2=0，

∴滿足|2-2k|1+k2=1，解之得k=4±73。函數f（x）的值域為4-73，4+73。

總之，廣大數學教師應當重視轉化與化歸思想，幫助學生掌握這種思想，使其能夠在解題中熟練運用，最終取得較好的分數。

參考文獻：

[1]陳偉蘭.議轉化與化歸思想的幾種方法[J].數學學習與研究，2017（7）.

[2]肖春仔.高中數學中轉化與化歸思想的應用[J].數學學習與研究，2017（10）.

作者簡介：牟振華，高淑娟，黑龍江省大興安嶺區，黑龍江省大興安嶺實驗中學。endprint