構造法在高中數學解題中的應用方法

王競

【摘要】解決數學問題的方法有很多，其中構造法就是一種較為有效的解題思路。顧名思義，構造法的本質在于“構造”，要求學生熟練掌握知識點的基礎結構、體系、概念和規律。總的來講，構造法幾乎適用于每一種題型，包括數列、函數、曲線、幾何、代數等，旨在考察學生觀察問題與數學聯想性思維。文章結合本校高二數學教學實際，以圓錐曲線一些疑難題目的解題技巧為主要研究方向，淺談一些高中數學解題與構造法的科學思路與運用經驗。

【關鍵詞】構造法 高中數學 圓錐曲線

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）48-0146-01

一、數學思維與構造

數學是高中學習中的一門關鍵學科，無論是對于文科生來說還是對于理科生來說，均富有較強的挑戰性。與其他學科相比，由于高中數學分數占比較大，再加上很容易與其他同學拉開分差，所以成為了絕大部分學生的主攻課程。然而，還是那句老話“會的不難，難的不會”。對于大部分處在中下等水平的學生而言，學起來的確很吃力。實際上這種學習層面和數學能力上的差距是全方位的，并不存在所謂的一知半解，因為真正能掌控數學解題空間的學生，并不會頻繁犯錯。與之相反，其他部分學生經常處在“會與不會”的尷尬境地，而多次的考試測評成績則可以說明一切。

如上，盡管如此，對于數學水平非拔尖的大部分學生而言，幫助他們拓寬數學問題的思考空間，多提供一些解題思路和技巧，對于遇到一些新穎的考試題目時很有大幫助。更重要的是，在顯著提升學生成績的同時，更側重于對絕大部分學生思維的再創造、再塑造，這才是新課標的教育理念和育人目標。具體來看，構造法側重培養學生們的逆向思維，即相對于定向思維而來。當定向思維難以有效解決問題的時候，要求學生立即轉變關注問題的視角，用新的觀點來觀察、分析，并嘗試著理解。根據題設條件和結論的特征，構造出相關的滿足條件。包括由已知結果來構造有依據的過程思路，或者反推等。

二、圓錐曲線解題中合理運用構造法

如上述所言，構造法是對于定向思維解題思路而言。簡言之，就是基礎解法的升級和靈活變通。何為基礎解法，以圓錐曲線這一章節為例。在教學中，最開始方法傳授均是從基礎解法開始。教師考慮到學生剛接觸新知識，首要解決的任務就是讓學生先行了解，掌握簡單的解題思路。到了后期，隨著學生內心知識體系成熟之后，包括題目的難度以及解題的思維思路，均可再次提升層次。所以，基礎解法就是要求學生運用概念來解題，也可以利用性質來解題。構造法則是基于上述的拓展延伸，最終實現巧妙解題。

1.構造圖形法

例題1：設F1、F2 分別是某橢圓的兩個焦點，假設在此橢圓上存在點P ，且∠F1PF2為直角，求離心率e 的范圍。

對于此類題目，并不能結合已知的部分條件直接獲取答案，所以，更側重于考查對學生的基礎知識掌握程度，以及拓展訓練的水平。此類題目一般需要學生自主創設出有利條件。相對而言，通過構造幾何圖形更加直觀有效。故解題思路：已知點P在橢圓上，并且∠F1PF2為直角，故可得知F1、P、F2屬于直徑為F1F2的同一個圓上。由此進一步得出，圓的半徑大于等于橢圓短半軸，一般被表示為c≥b ，所以c2≥a2-c2， 最終得出 e2≥1/2，所以離心率e 的取值范圍在/2 和1之間，即/2 ≤e<1 。

如上，在筆者看來，無論是從單純的思維視角來看，還是考慮到時間成本，均需要一切圍繞著如何解題簡單就如何推進。但是，仔細觀察一番不難發現，這道題目并非表面看上去那么簡單，并且上述提到的概念、性質解題思路也很難快速有效推進。故此，遇到困惑時學生應當多聯系其他方法，尤其是課堂上老師傳授的各類巧妙解題思路。再次多觀察10-20秒的時間，會有新發現，題目可直接構造應用。

2.構造方程法

構造圖形法的本質屬于簡易的證明，以證求證。

例題2：已知三角形ABC的頂點A和B在某橢圓上，橢圓方程為x2+3y2=4。其中，另一個頂點C 則處在直線L 上，直線L方程為 Y=X+2 ，且L與直線AB平行，問：當∠ABC為直角時，且斜邊AC的長度最大，求AB兩點所在直線L1的方程表達。

結合筆者所在幾個班級學生的實際情況來看，對于大部分學生來說，當看到此類題目時，會在短短的10-20秒時間內找尋出最有利的一條信息，那就是直線L 。所以，首先要把握的就是直線L在整個坐標系空間內的位置。所以，會直接將該問題項轉化為代數方程。通過這種問答關系的轉變，可直接將問題簡單化。

首先需要確定的就是L的位置，把握住直線L與圓點的垂直距離。確定直線L 的位置后，假設AB兩點所在直線方程為Y=X+M 。由于只知道直線L1與直線L是平行的關系，所以需要借助其他條件來進一步求證。設方程組，可將AB兩點的距離求出，即|AB|的值，（計算過程略）求出結果為/2。順勢再次求出BC的長度，然后借助勾股定理求出AC的長度。此刻，假設AC斜邊最長，最終求出AB所在直線L1的方程式，即Y=X-1 。

3.討論

熟練掌握基礎知識的學生，不一定能考高分，但考高分的學生一定是熟練掌握基礎知識。因為優秀（以130分為標準）學生、中等學生（以110分為標準）、單科弱差生（低于80分）彼此間的差距，恰恰是基于基礎知識點的延伸能力與拓展能力。比如常見的一些難題、復雜題目，有的同學很輕松解決，而其他的同學大半天都毫無頭緒。故此，基礎知識靈活掌控的基礎上，更在于高中生的創新能力和數學思維。如何打破傳統學習認知與創造性思維，相當程度上還是要取決于我們現有的教學體制和課堂施教觀念。學習興趣培養是前提也是其次，如何快速的找尋出包括等差數列在內的各知識考查題目的解題規律，則屬于高中新課改的永恒話題。

參考文獻：

[1]馮旭明. 淺談構造法在高中數學解題中的應用[J]. 數理化解題研究， 2017（7）：37.

[2]何憶捷， 熊斌. 中學數學中構造法解題的思維模式及教育價值[J]. 數學教育學報， 2018（2）.