如何在幾何教學(xué)中提升學(xué)生的發(fā)散性思維

王育超

摘要：在我國對幾何數(shù)學(xué)教學(xué)的模式，通常都是以教材為主，這種固定的教學(xué)模式不利于提升學(xué)生的創(chuàng)新能力，以及培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，因此，教師就需要對幾何問題存在的內(nèi)在規(guī)律進(jìn)行把握，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.本文主要通過對幾何知識(shí)中存在的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行探究，對學(xué)生的認(rèn)知領(lǐng)域進(jìn)行擴(kuò)展，從而提升學(xué)生的發(fā)散性思維.

關(guān)鍵詞：幾何教學(xué)；發(fā)散性思維；提升

一、前言

發(fā)散性思維，就是在思考問題的時(shí)候不受固定理念的局限，從不同的角度與方向進(jìn)行思考問題，探究新知識(shí)，對問題的多個(gè)答案進(jìn)行尋求的一種思維方法.長久以來，幾何教學(xué)中都是通過集中思維，按照教材中的方法，以及相關(guān)材料中的方法進(jìn)行教學(xué)，而學(xué)生也習(xí)慣于按照常規(guī)的方法與思路對問題進(jìn)行解決，雖然能夠很好的掌握基礎(chǔ)知識(shí)，卻不利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，以及促進(jìn)學(xué)生的智力發(fā)展.因此，在幾何教學(xué)中教師需要對學(xué)生的發(fā)散性思維進(jìn)行培養(yǎng)，通過與教學(xué)實(shí)踐相結(jié)合，從而有效提升學(xué)生的發(fā)散性思維.

二、一題多解，激發(fā)學(xué)生探知思維

在對學(xué)生發(fā)散性思維培養(yǎng)的時(shí)候，最主要的影響因素就是學(xué)生對問題思考的思維被固化，形成一種循規(guī)蹈矩的思維模式，對學(xué)生思維積極的促進(jìn)，有利于提升學(xué)生的發(fā)散性思維.對學(xué)生積極性的激發(fā)，主要是在幾何教學(xué)課堂上進(jìn)行引入，也就是運(yùn)用阻礙性、問題性、趣味性等，以此對學(xué)生的學(xué)習(xí)中的新方法以及新知識(shí)的探知思維進(jìn)行激發(fā)，從而使學(xué)生能夠在幾何學(xué)習(xí)中的求知欲望得以有效激發(fā)[1].同時(shí)，教師在對學(xué)生的一題多解的能力進(jìn)行培養(yǎng)的時(shí)候，主要表現(xiàn)在以下幾方面.（1）教師需要對相關(guān)的教學(xué)例題進(jìn)行科學(xué)的選擇，主要是大多數(shù)例題的解題方式比較單一，如果對單一解題方式的例題進(jìn)行選取，教師就無法對一題多解進(jìn)行教學(xué).因此，教師需要對多種解題方式的例題進(jìn)行選取，以此對學(xué)生的解題能力進(jìn)行培養(yǎng).（2）教師需要在課堂上，根據(jù)一題多解的角度，為學(xué)生進(jìn)行示范，通過對學(xué)生的引導(dǎo)以及鼓勵(lì)，讓學(xué)生對例題尋找多種的解題方式，讓學(xué)生的思維得到充分的發(fā)散，從而對學(xué)生一題多解的能力進(jìn)行培養(yǎng).學(xué)生在對幾何學(xué)習(xí)，對相關(guān)幾何問題進(jìn)行解決的時(shí)候，需要教師進(jìn)行正確的引導(dǎo)，讓學(xué)生能夠在發(fā)現(xiàn)問題、思考問題的基礎(chǔ)上，解決問題.例如，2017年紹興市中考中22題：定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形.

（1）如圖1，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°.

①若AB=CD=1，AB∥CD，求對角線BD的長.

②若AC⊥BD， 求證： AD=CD.

（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，點(diǎn)P是對角線BD上一點(diǎn)，且BP=2PD，過點(diǎn)P作直線分別交邊AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE的長.

本題主要是對四邊形的綜合題進(jìn)行考察，在（1）①中只要證明ABCD為正方形就可以解決問題；在②中，只要證明所以△ABD≌△CBD即可.而在（2）中，如果EF⊥BC，那么AE≠EF，BF≠EF，可知ABFE是等腰直角四邊形不符合條件；如果EF與BC不垂直，不論是AE=AB，還是BF=AB都可以推出ABFE是等腰直角四邊形.

解：（1）①因?yàn)锳B=CD=1，AB//CD， 所以四邊形ABCD是平行四邊形.

又因?yàn)锳B=BC，所以□ABCD是菱形.

又因?yàn)椤螦BC=90度，所以菱形ABCD是正方形.

所以BD=2

②如圖1-1，連結(jié)AC，BD

因?yàn)锳B=BC，AC⊥BD，所以∠ABD=∠CBD，

又因?yàn)锽D=BD，所以△ABD？△CBD，

所以AD=CD.

（2）若EF與BC垂直，則AE≠EF，BF≠EF， 所以四邊形ABFE不是等腰直角四邊形，不符合條件；若EF與BC不垂直時(shí)：

方法一：當(dāng)AE=AB時(shí)，如圖2-1，此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形.

所以AE=AB=5.

方法二：當(dāng)BF=AB時(shí)，如圖2-2，此時(shí)四邊形ABFE是等腰直角四邊形.

所以BF=AB=5.

因?yàn)镈E//BF，所以△PED～△PFB，

所以DE：BF=PD：PB=1：2，

所以AE=9-2.5=6.5.

綜上所述，AE的長為5或6.5.

三、轉(zhuǎn)換角度，擴(kuò)展學(xué)生思維

對于初中幾何數(shù)學(xué)知識(shí)而言，其具有較大的抽象性，學(xué)生在進(jìn)行解題的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)遇到許多公式以及定理，教師需要對學(xué)生解題的思維模式進(jìn)行啟發(fā)，從而使學(xué)生解題的靈活性得以確保.在對學(xué)生發(fā)散性思維培養(yǎng)的過程中，最重要的就是轉(zhuǎn)變學(xué)生的傳統(tǒng)學(xué)習(xí)思維模式，也就是教師需要從不同的角度，以及不同的方位對幾何習(xí)題進(jìn)行思考，以此對學(xué)生求解思維的不同性進(jìn)行培養(yǎng).在對學(xué)生所具有的抽象思維能力培養(yǎng)的時(shí)候，最重要的就是培養(yǎng)學(xué)生求異性思維，讓學(xué)生通過不同的角度對幾何相關(guān)問題進(jìn)行分析，以此獲取一條便捷的解題思路[2].通常通過數(shù)形結(jié)合的方式，在相關(guān)函數(shù)中尋找關(guān)鍵點(diǎn)，之后通過方程組的方式對其驗(yàn)證.這樣學(xué)生在對幾何問題思考的時(shí)候，就會(huì)從不同的角度對其進(jìn)行思考，以此對學(xué)生的思維進(jìn)行拓展，從而使學(xué)生的發(fā)散性思維得以有效提升.例如，2017年紹興市中考中20題：如圖1，學(xué)校的實(shí)驗(yàn)樓對面是一幢教學(xué)樓，小敏在實(shí)驗(yàn)樓的窗口C測得教學(xué)樓頂總D的仰角為18°，教學(xué)樓底部B的俯角為20°，量得實(shí)驗(yàn)樓與教學(xué)樓之間的距離AB=30m.

（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）

（1）求∠BCD的度數(shù).

（2）求教學(xué)樓的高BD.

本題主要是通過直角三角形俯仰角的問題，對學(xué)生思維轉(zhuǎn)換解題能力進(jìn)行考察，也就是（1）中，C觀測D的仰角應(yīng)為CD與水平面的較小的夾角，即∠DCE；C觀測B的俯角應(yīng)為CB與水平線的較小的夾角，即為∠BCE，不難得出∠BCD=∠DCE+∠BCE；（2）易得CE=AB，則由直角三角形的銳角函數(shù)值即可分別求得BE和DE，求和即可.

解：（1）如圖1-1，過點(diǎn)C作CD⊥BD于點(diǎn)E，

則∠DCE=18°，∠BCE=20°，

所以∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°

（2）由已知得CE=AB=30（m），

在Rt△CBE中，BE=CE×tan20°≈30×0.36=10.80（m），

在Rt△CDE中，DE=CE×tan18°≈30×0.32=9.60（m），

∴教學(xué)樓的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4（m）.

答：教學(xué)樓的高為20.4m.

四、開放條件，誘導(dǎo)學(xué)生思維發(fā)散

提升學(xué)生的發(fā)散性思維，最重要的就是學(xué)生在思維的時(shí)候，不會(huì)受到解題模式的束縛，并在對幾何問題思考的時(shí)候，能夠?qū)ζ浯嬖诘墓残赃M(jìn)行探求，再尋求其變異，通過不同角度，不同層次，對問題進(jìn)行猜想、延伸，從而使學(xué)生的思維能夠更加活躍.想要使學(xué)生的發(fā)散性思維得以有效提升，就需要對其所具有的變形以及開放性等特點(diǎn)進(jìn)行充分理解.同時(shí)，初中幾何數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，需要對學(xué)生的思維興趣進(jìn)行培養(yǎng)，最重要的就是在課堂教學(xué)中確立學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，也就是在學(xué)習(xí)中順應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，以及學(xué)生心理的學(xué)習(xí)順序，而且教師需要指導(dǎo)學(xué)生對幾何所具有的邏輯順序進(jìn)行理順，以此確保學(xué)生的思維活動(dòng)的正常開展.對于幾何數(shù)學(xué)來說，由于其圖形具有較強(qiáng)的多變性以及多樣性，極其有利于對學(xué)生的發(fā)散性思維進(jìn)行提升[3].對于幾何問題而言，由于其所具有的規(guī)律性，在進(jìn)行解題的時(shí)候，就會(huì)有具有許多不同的解法.例如，2017年紹興市中考中23題：已知△ABC，AB=AC，D為直線BC上一點(diǎn)，E為直線AC上一點(diǎn)，AD=AE，設(shè)∠BAD=α，∠CDE=β.

（1）如圖1，若點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)E在線段AC上.

①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=°，β=°.②求α，β之間的關(guān)系式.

（2）是否存在不同于以上②中的α，β之間的關(guān)系式？若存在，請求出這個(gè)關(guān)系式（求出一個(gè)即可）；若不存在，說明理由.

本題主要是對三角形所具有的外角性質(zhì)進(jìn)行考察，其（1）（2）之間在解題技巧上存在類似之處，學(xué)生不能只局限于給定的條件進(jìn)行思考，也可以根據(jù)（1）當(dāng)中相關(guān)的解題技巧運(yùn)用在（2）中，從而使解題難度大大減少.（1）①在△ADE中，由AD=AE，∠ADE=70°，不難求出∠AED和∠DAE；由AB=AC，∠ABC=60°，可得∠BAC=∠C=∠ABC=60°，則α=∠BAC -∠DAE，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得β=∠AED -∠C；②求解時(shí)可借助設(shè)未知數(shù)的方法，然后再把未知數(shù)消去的方法，可設(shè)∠ABC=x，∠ADE=y；（2）有很多種不同的情況，做法與（1）中的②類似，可求這種情況：點(diǎn)E在CA延長線上，點(diǎn)D在線段BC上.

解：（1）①因?yàn)锳D=AE，

所以∠AED=∠ADE=70°，∠DAE=40°，

又因?yàn)锳B=AC，∠ABC=60°，

所以∠BAC=∠C=∠ABC=60°，

所以α=∠BAC-∠DAE=60°-40°=20°， β=∠AED-∠C=70°-60°=10°；

②如圖1，設(shè)∠ABC=x，∠ADE=y，

則∠ACB=x，∠AED=y， 在△DEC中，y=β+x，

在△ABD中，α+x=y+β，所以α=2β.

（2）如圖1-1，點(diǎn)E在CA延長線上，點(diǎn)D在線段BC上，

設(shè)∠ABC=x，∠ADE=y，則∠ACB=x，∠AED=y，

在△ABD中，x+α=β-y， 在△DEC中，x+y+β=180°

所以α=2β-180°

五、結(jié)束語

綜上所述，發(fā)散性思維最主要就是在對幾何問題進(jìn)行解決的時(shí)候，能夠依照自己已經(jīng)具備的條件與自身積累的經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)，從不同的角度對問題進(jìn)行思考與探究，從而獲得一種全新的方法對問題進(jìn)行解決.本文通過對一題多解進(jìn)行探討，以此激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的求知欲，通過對解題角度的不斷轉(zhuǎn)換，拓展學(xué)生解題的思維，從而使學(xué)生的發(fā)散性思維得以有效提升，以此提升學(xué)生創(chuàng)造思維的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬萬財(cái).初中幾何教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力[J].商情，2017，（4）：216.

[2]荊靈.初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中發(fā)散思維的訓(xùn)練[J].中外交流，2017，（8）：130.

[3]許才川.初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方法研究[J].課程教育研究，2016，（6）：166-167，168.

（作者單位：浙江省紹興市新昌縣七星中學(xué) 312500）