有趣的數學思維

摘 要 數學作為研究現實世界數量關系和空間形式的科學，以其高度的抽象性而著稱。由于抽象，致使思維對于數學有著特別重要的意義和作用。同時，數學也是培養人的思維能力的重要載體。

關鍵詞 數學思維;語言;推理

中圖分類號：G622????????????????????????????????????????????????????? 文獻標識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2018）18-0224-01

如美國數學家哈爾莫斯所說“問題是數學的心臟”，要開展思維，必須由數學問題開始，而一個好的數學問題，可以引出一串數學問題，即形成所謂的問題鏈。其次，對于數學問題，人們在思考分析的基礎上，通過一系列合情合理的方法，會形成對于該問題結論的某種猜想。數學問題在數學思維中具有首要性，由此我們應該對數學問題有個詳細的了解。合情推理雖然對于發現數學猜想具有重要作用，但由合情推理得到的數學猜想，畢竟是猜想。而猜想的正確性，則待于嚴密的數學證明。通過證明得到的數學結論，那就是數學定理。數學的結論性知識，基本上以定義、公里和定理的形式來表達。但這些定理、定義和公理都是數學中的一個個知識點，要把這些知識點串聯起來，形成一個知識系統，在數學中有一種特殊的方法，那就是公理化方法。這是數學特有的思維方法。數學建模是運用數學解決實際問題的有效方法，事實上，所謂數學建模就是建立起有關實際問題的相應數學模型，通過對數學模型的研究，達到解決實際問題的目的。

分析法、綜合法、抽象法和概括法是數學思維方法最基本的方法。數學語言的獨特性表現為它是一種獨一無二的語言，這是目前世界上唯一的一門描寫自然、社會和人類社會中數量關系、空間形式和抽象結構，表達科學思想的世界通用語言。不同母語的數學家，雖然他們的自然語言不同，在許多方面一時難以溝通，但一旦討論起數學問題，他們就有共同的語言，可以毫無障礙的進行溝通，共同來思維同一個對象。數學思維往往表現為是一種系統的綜合性思維，很少有用單一的思維形式來解決問題的。數學又是一門高度嚴謹的學科，所有的理論都必須經過嚴格的邏輯論證得到，作為數學活動結果，即數學結論是十分嚴謹的。從數學本身來看，數學活動主要包括三個方面：數學的發現、論證和應用。于是，數學思維方法應包括數學發現的思維方法、數學論證的思維方法和數學應用的思維方法三的部分。事實上，抽象和概括、分析和綜合，既貫穿于數學思維的始終，又是數學思維的實質。

歐幾里得在前人工作的基礎上，對希臘豐富的數學成果進行了收集、整理，用命題的形式重新表述，對一些結論作了嚴格的證明。他最大的貢獻就是選擇了一系列具有重大意義的、原始的定義和公理，并將它們嚴格地按邏輯的順序進行排列，然后在此基礎上進行演繹和證明，形成了具有公理化結構的、嚴密邏輯體系的《幾何原本》。

哈爾莫斯在《數學的心臟》中，把數學問題分為平凡問題和深奧問題。所謂平凡的數學問題是指那些接近基本定義的，易懂、易證的數學問題。好數學問題的標準是具有啟發性和可發展性。所謂啟發性，主要是指數學問題能啟發人步步深入，直至問題的解決;即使暫時不能解決，也能讓人舍不得放棄;有較強的探究性，能讓人有所思也有所得，但又不能立即就把問題徹底解決。而可發展性，實際上是說，由一個數學問題可以發展為多個數學問題，即發展為數學問題鏈或數學問題群，而不是一個孤立的問題。數學問題的五條基本性質是首要性、數學性、探究性、鏈鎖性和相對性。數學性是數學問題的基本性質，不具有數學性的問題就不是數學問題。

自然宇宙是數學問題的首要源泉，社會實踐是數學問題的動力源泉，數學本身是數學問題的主要源泉。《全日制義務教育數學課程標準》指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流也是數學學習的重要方式，學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜想、驗證、推理、計算、證明等活動的過程。”這表明新的小學數學課程標準和數學教材，對學生數學猜想能力有明確和較高的要求。數學始于問題，數學源于猜想。

《全日制義務教育數學課程標準》在關于總體目標的要求中明確提到：發展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法。在合情推理中，所需要使用的常見方法有觀察和實驗、歸納和類比、一般化和特殊化、比較和分類、想象和直覺、整體和全息、統計和估算等。

波利亞在他的名著《怎樣解題》中曾指出，數學有兩個側面，一方面“用歐幾里得方式提出來的數學看來像是一門系統的演繹科學”;但另一方面，“在創造過程中的數學看來卻是一門實驗性的歸納科學”。布爾巴基學派的靈魂人物韋依則認為，數學家可以分為理論數學家和實驗數學家，稱費瑪是理論數學家，而歐拉則是實驗數學家。

由于推理得到的結論具有或然性，因此這種結論只是一種數學猜想，其正確性必須通過嚴格的數學證明。數學證明是數學特有的思維方法，它最能體現數學的本質。美國數學家克萊因認為數學是自我證明的科學。數學證明由公元前6世紀的泰勒斯首開先河。證明命題是希臘幾何學的基本精神，而泰勒斯是希臘幾何學的先驅，他把埃及的地面幾何演變成平面幾何，發現了許多幾何學的基本定理，并將幾何學知識應用于實踐。

數學思維是人腦以數學為對象，并借助數學語言以抽象的概括為工具，對客觀事物的數學結構和模型的間接概括的反映。簡言之，數學思維是人腦對數學的一種間接概括的反映。

參考文獻：

[1]克魯捷茨基，李伯黍等譯.中小學生數學能力心理學.上海：上海教育出版社，1983.

作者簡介：林緯緯，女，漢族，籍貫：安徽滁州，本科，研究方向：數學教育。