函數(shù)凸凹性與琴生不等式在導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用

李震南

摘要：眾所周知，琴生不等式在證明不等式中發(fā)揮了巨大的作用。它實質(zhì)上就是對凸函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，它給出積分的凸函數(shù)值和凸函數(shù)的積分值間的關(guān)系，能夠很好的為高中數(shù)學(xué)壓軸證明題服務(wù)。本文首先詳細闡述了函數(shù)凹凸性與琴生不等式的定義與性質(zhì)，通過一道壓軸數(shù)學(xué)證明題詳細闡明了琴生不等式在不等式證明中的應(yīng)用，并做出了總結(jié)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù) 函數(shù)凸凹性 琴生不等式

多次高考的導(dǎo)數(shù)大題中的壓軸證明題都是琴生不等式證明的變式。考慮到高中階段課本沒有對琴生不等式與函數(shù)的凸凹性做深入研究，筆者特在此做一個匯總與整理，探討并總結(jié)琴生不等式與函數(shù)凸凹性的應(yīng)用。

3小結(jié)

總地來說，琴生不等式的特殊形式（比如只有兩項時），可直接構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)（一般要二次求導(dǎo)），判斷單調(diào)性來證明。而其一般形式，常用方法有兩種：切線法，即證明函數(shù)定義域內(nèi)的點的切線恒在函數(shù)圖像上方（凹函數(shù)）或下方（凸函數(shù)），然后可以通過累加得以證明；數(shù)學(xué)歸納法，特別需要注意的是歸納遞推的過程中構(gòu)造與假設(shè)中的式子形式相同的式子，然后證明不等式。

參考文獻：

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