在小學數學課堂教學中滲透“數形結合”思想的案例研析

陳仕軍

摘 要：數學的本質特性之一是抽象性。然而，小學數學教學要求抽象的東西形象化，又通過直觀的形象來深化抽象的內容。數形結合的思想就是通過數形之間的對應關系來研究問題、解決問題。通過數形結合，可使抽象復雜的數量關系變得直觀、易理解、易接受；將直觀的圖形數量化，轉化成數學運算，可以降低難度，使理解更加深刻。數學家華羅庚所說的“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”。正說明了數形結合思想的重要性，對提高學生的數學能力與促進思維品質的發展有著獨特的價值?！读x務教育數學課程標準》也指出課程內容的學習，強調學生的數學活動，發展學生的數感、符號感、空間觀念、統計觀念以及應用意識與推理能力。發展學生的空間觀念、數感和符號感在本質上講就是一種數形結合思想，這三個目標之間并非相互獨立，而是一個互相聯系、相輔相成、密不可分的統一體。教師在教學活動中應抓住其中蘊含的數形結合思想，引導學生能夠全面、深入、準確、認真地思考問題，抓住事物的本質、規律和內在聯系，重視它們之間的協調發展，這對提高學生數學核心素養有著重要的意義。

關鍵詞：數形結合；數學課堂；數學思維；數學核心素養

一、以圖識律，培育數學興趣，提高抽象思維能力

對抽象的數學算式、代數式給予直觀形象的推證解釋，以直觀圖形解釋數學公式和數學規律，使得學生數形思想同步發展。例如學生在課堂中學習乘法分配律時都經歷“實例—感知—驗證—判析—抽象—定義”這么一個思維過程，從大量的數學實例中學生初步抽象出運算規律，但尚不能進行數學思維層次上的推證。就小學高年段學生來說，他們具備較強直觀形象思維能力，抽象思維能力正在發展，我們可以借助下面的課堂活動將這一運算規律予以推證和說明。

課堂活動要求：這是由兩個小長方形拼成的大長方形，請用含字母的式子表示出大長方形的面積。

數學課堂活動：

（1）觀察大長方形面積的要素：a（b+c）=大長方形的面積

（2）觀察大長方形面積的構成：ab+ac=大長方形的面積

綜合比較兩次得到的結果，分析后自然推得：a（b+c）=ab+ac

課堂提問：“仔細觀察，看到這個結論，你能想到我們曾經學過的什么運算律？”學生：“這就是乘法分配律??！”“原來還可以這樣驗證乘法分配律！”“我們發現乘法分配律的證明用圖表示出來更直觀！”……由于學生在不知不覺中參與了數學運算律揭示的過程，思維水平自然有躍進，數學學習的興趣亦更加濃厚。

結合目前現代數學課堂中豐富的信息化教學手段，將下面的這些運算定律更形象地展示給學生，數學不再單調。

1.課堂多媒體動態演示：

（1）先動態閃動線段a與線段b合并，再以合并后的線段與線段c合并；

（2）先動態閃動線段b與線段c合并，再以合并后的線段與線段a合并。

動態比較兩次總長度，揭示加法結合律（a+b）+c=a+（b+c）

2.課堂多媒體動態演示：

（1）小球從左至右滾動距離a，再滾動距離b，整體閃動小球滾動的總距離；

（2）小球從右至左滾動距離b，再滾動距離a，整體閃動小球滾動的總距離。

動態比較兩次總長度，揭示加法交換律a+b=b+a。

3.課堂多媒體動態演示：

（1）閃動長方形寬a，向右平移距離b，形成完整長方形；

（2）閃動長方形長b，向上平移距離a，形成完整長方形。

動態比較兩次長方形面積，揭示加法交換律a×b=b×a。

4.課堂多媒體動態演示：

（1）閃動長方體框架底面（a×b），向上運動，形成完整長方體；

（2）閃動長方體框架右側面（a×b），向左運動，形成完整長方體。

動態比較兩次運動的結果，揭示乘法結合律（a×b）×c=a×（b×c）

在數學課堂活動中，借助現代數學課堂教學手段，在提高學生空間觀念的同時，揭示抽象的數學運算律，“以形識數性”，把握數學本質，提高學生數學抽象能力。

二、借數觀圖，感悟事物本質，提升數學學習深度

以已有的知識經驗解決實際問題是學生數學素養的重要體現，也是數學課堂教學活動達成性指標之一，是學生思維發展水平最直接的反映。借助數學規律和數學性質解決直觀幾何問題，實現“化難為易、化繁為簡”。就數學中的“相等的兩數同時減去（或加上）一個數，所得的差（或和）也一定相等”這一性質，在學生儲備足夠的數學經驗后，他們不僅能理解，也能舉出實例說明。數學課堂中我們以字母把它抽象概括出來：“若a=b，則a-c=b-c或a+c=b+c”。這既是對學生數學建模能力的培養，也是數學深度學習的需要。

在學生理解這兩個等式后，讓他們思考下一題。

如圖討論：陰影部分三角形ABC和三角形ECD面積之間的關系。

學生討論分析：三角形ABE面積等于三角形ADE面積，因此這兩個三角形同時減去三角形AEC的面積后，所得到兩個新三角形的面積也相等（借助多媒體演示使教學更直觀、形象）。

我們的教學不能僅停留在問題的求解上，應適時引導“本題的解答實際上運用了數學的什么性質？a-c=b-c”，從而建立數學性質與直觀幾何之間的關系，為學生用代數知識解決幾何形體問題搭起橋梁，提升“數形結合”的能力，感悟事物本質，培養學生創新思維。

為進一步拓展學生思維的深度，教師可以設計這樣一道題由學生自主探索解答。如圖求陰影部分面積：

綜合評析時，引導學生思考我們運用了什么數學性質？

（注：長方形ABCD面積=長方形DEFG面積）

三、數形相輔，深化數學體驗，增強數學課堂厚度

在小學數學課堂中有機滲透數形結合思想，對于培養學生數感、符號感和空間觀念，發展學生思維能力，提升動手實踐、自主探索、合作交流的能力大有裨益。教師在教學平行四邊形面積公式的推導時，通常會組織學生開展小組活動，把平行四邊形剪拼成他們已有的知識經驗——長方形。

學生在課堂操作實踐活動中的剪拼方法歸成兩大類（如下圖）：

對比拼成的長方形與原來的平行四邊形的關系，推導出平行四邊形的面積計算公式：S=a×h。

在學生具備上述知識的基礎上，不少教師都讓學生練習過這樣一道題：已知題中的三個量，求一個未知量。

這對多數學生而言解答并非困難，也能得到數學等式：a×b=c×d。a×b和c×d都表示同一個平行四邊形的面積，教師在課堂教學過程中往往都能評析到，并對等式的合理性作出解釋。但如果教師有意識地培養學生的“數形結合”思想，就可以對這一教學資源作進一步挖掘。結合圖1，在引導學生在觀察平行四邊形面積推導的剪拼方法后，幫助學生在頭腦中形成a×b與剪拼方法一，c×d與剪拼方法二之間的對應感觀，必將促進學生數學思維能力與空間觀念的協調發展，我們的數學課堂也必將變得更厚實。

四、數圖相融，溝通縱橫聯系，建構單元知識框架

在學生數學思維發展的過程中，數學概念則是思維的細胞，是空間形式和數量關系以及它們的本質屬性在學生思維中的體現，他們對概念的理解達成度是其數學思維深刻性與靈活性水平的反映，是作為數與形的抽象概括的結果之一。數學概念僅憑精講，學生對概念的本質難以產生全面深刻的理解，數學課堂教學中，輔助圖形、表格等直觀形象，不但可以幫助學生正確理解概念，而且利于他們建立知識間的縱橫聯系，形成他們自己的“數學知識樹”。

在“數的整除”單元復習時，出示數字“1、2、3、4、5、6、7、9、12、24、30、36，提問：根據給出的這些數，自由選擇一些數（可以是1個，也可以是多個）用本單元知識說一句話”。啟發學生打開思路后，教師將相關概念名稱“倍數、因數、整除……”展現在投影上。

弄亂屏幕，引導學生整理這些概念，讓視覺效果更好，概念關系更有條理。

課堂中，一個概念位置的擺放也會引發爭論，但學生思維打開了，收獲了很多，得到多彩的整除單元知識結構圖，這里舉一例。如下圖：

圖2解釋整除與除盡之間的從屬關系。

圖3解釋非0自然數按因數個數分成三類呈現的并列關系。

在這樣的數學課堂中，“數圖相融”，以直觀圖形展現數學抽象的概念及其之間的關系，學生更易于消化概念之間的內在聯系與本質區別，形成單元整體知識結構。

五、數形協調，演繹數學抽象，積累數學建模經驗

小學階段學生的學業水平和數學學習能力往往在他們的計算正確率、解題策略的運用上有所體現，但教師在教學中不讓學生對計算法則（或方法）經歷一個探索、理解、發現的過程，那么學生只能一味地接受知識的灌輸，其能力與創新思維只會被壓抑而非得以發展。例如在分數乘分數的課堂學習后，學生都能掌握“分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母”這一計算方法。可教師若能充分認識到“數形結合”思想在課堂學習中的重要價值，再去思考設計教學活動，就可以讓不同學生在數學學習上獲得不同層次的發展，幫助學生積累數學建模經驗。

在數學課堂的教學中一直有著兩條線：一明一暗，數學知識作明線，數學思想方法為暗線。然而，今天我們的數學課堂中，教師往往習慣以“知識的達成度、目標的有效性”去評價一節課的優劣，而忽視了數學思想方法在課堂上有意識地滲透。知識可能會遺忘，而數學思想方法一旦在學生頭腦中成形，必將讓學生受益終身。小學階段是學生數學思維由具體形象到抽象邏輯的重要過渡階段，“數形結合”思想方法在課堂中的滲透教學對于培養學生的數學核心素養能力有著獨特的價值。教師在數學課堂教學中應根據教學內容，深入剖析研究教材、挖掘教材中多項資源，有意識地滲透“數形結合”思想，揚數之長、取形之優、數形相輔、數形互助，必然會讓學生數學核心素養能力的培育在數學課堂生根發芽，熠熠生輝！

編輯 高 瓊