是什么？為什么？怎么辦？

陳卓英

[摘 要]幾何直觀作為《義務教育數學課程標準（2011年版）》的核心概念之一，在數學學習中有著重要的地位和意義，無論是在圖形與幾何領域，還是其他知識領域的教學中，都應重視幾何直觀的培養。從幾何直觀是什么，為什么要重視幾何直觀的培養，到幾何直觀在小學數學教學中怎么培養這三方面進行梳理，論述滲透幾何直觀的價值、意義以及方法。

[關鍵詞]幾何直觀；小學數學教學；本質；價值；教學策略

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）05-0019-03

當下，有關幾何直觀的討論是個熱點，但如同“什么是數學”沒有完美的答案一樣，對幾何直觀的理解也是仁者見仁，智者見智。這里，讓我們按“幾何直觀是什么→為什么要重視幾何直觀的培養→幾何直觀怎么培養”的順序開始梳理。

是什么？──品味“幾何直觀”的本質

對于比較抽象的數學概念、容易混淆的數量關系，學生思考時需要借助直觀形象。因此，教師就需要將這些問題與直觀形象的圖形結合起來，以“形”助“數”，為學生解決問題提供具體經驗的支撐。那么什么是幾何直觀呢？關于幾何直觀及其意義，《義務教育數學課程標準（2011年版）》是這樣論述的：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”

一、“幾何直觀”與“圖形與幾何”

幾何直觀，是課程標準增加的核心概念之一。幾何內容的教學，既可以培養學生的邏輯推理能力，又能培養學生的直覺思維能力。在“圖形與幾何”的學習過程中，對物體或圖形的觀察，形象思維的形成和想象，都包含著幾何直觀的因素。幾何直觀來源于“圖形與幾何”，“圖形與幾何”是一個學習范疇，幾何直觀是一種學習能力。許多數學概念都具有“數”與“形”的兩個特征，要深入地理解它們的本質，就要從“數”與“形”兩個角度去認識和把握。因此，學會用圖形思考和想象是學習數學的基本能力，教師要重視學生這方面能力的培養。

二、“幾何直觀”與“空間觀念”

幾何直觀與空間觀念作為“圖形與幾何”的代名詞，分別從不同角度覆蓋了幾何學習的重要目標，二者既有重疊之處又各有側重。

幾何直觀往往是在有背景的條件下，借助直觀圖形“看”出來的結果，通常需要邏輯推理的證明。空間觀念則偏重于“想象物體的方位以及物體之間的位置關系”“描述圖形的運動和變化”“依據語言描述畫出圖形”等，這些活動不一定需要憑借看得見、摸得著的真實圖形，憑借語言或想象也是可以的。

幾何直觀側重于利用圖形整體把握問題，更接近應用層面；空間觀念側重于學習者對于空間的感知和把握，涉及運用圖形的能力，更注重幾何學習給學生帶來的變化和發展。

三、“幾何直觀”與“數形結合”

數形結合是一種基本的數學思想方法。它是指解決數學問題時，通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題。幾何直觀主要是利用圖形描述和分析問題，從而幫助學生直觀地理解數學知識。如比較分數1/4和1/5的大小，當學生接觸到“把一個圓平均分成四份，其中的一份與平均分成五份中的一份相比”時，生活經驗首先介入，然后支撐表象馬上建立，于是“大于”的結果直接就在學生頭腦中形成了。顯然，幾何直觀的內涵最重要之處是直接感知，和數形結合是有區別的。

數形結合更多的是將具體的解決問題的策略與方法呈現在我們面前，可以“由形到數”，也可以“由數而形”。幾何直觀只有“由形到數”這一方面，從某種程度上講，它也可以被認為是一種能力。從這個角度看，幾何直觀比起空間觀念和數形結合，它的意義更為深遠，值得教師在教學中加以強調。

為什么？──把握“幾何直觀”的價值

幾何直觀在幫助學生發展空間觀念、提升思維能力、找到解題策略等方面有著很大的價值。

一、發展空間觀念

幾何直觀是一種思維方式，它是以幾何圖形為載體進行推理論證的。因此，幾何直觀可以培養學生的空間感，發展學生的空間觀念。

二、提升思維能力

幾何直觀可以豐富學生頭腦中的表象，以直觀認識、判斷和表象作為想象力的基礎，還能不斷培養學生的形象思維能力，為學生創造性思維和邏輯思維的培養做好充分準備。

1.形象思維能力的訓練

小學生的思維正處于以形象思維為主的階段，他們思維的形象性與數學知識的抽象性之間的矛盾正需要通過幾何直觀來化解。

比如在學習自然數時，學生發現：自然數就像射線，只有一個端點，從這個端點出發可向外無限延長，沒有終點。學生的這個發現把自然數和射線巧妙地聯系起來，連接數與代數中的自然數概念和圖形與幾何中的射線，縮短了知識間的距離。

2.培養邏輯推理能力

邏輯思維是其他數學思維的基礎，是數學素養的重要表現。小學生受思維特點、語言水平的限制，幾乎都是通過圖形或是借助想象來培養自身的邏輯推理能力。教師在教學運算定律、分數的基本性質等內容時，就可以通過幾何直觀實現合理解釋和說理，以培養學生初步的邏輯思維能力。

3.提升創新思維能力

創新思維的關鍵是直覺思維。幾何直觀具有極大的啟發性，常常可以指引數學發現的方向，在教學中利用好幾何直觀，有助于學生整體把握學習對象，簡化思維過程，提升創新思維能力。

三、找到解題策略

在數學學習中，學生可以通過圖形刻畫和描述問題，把問題變得簡單和直觀。幾何直觀作為核心概念，對學生把握數學思想和恰當運用數學知識與方法解決問題是不可或缺的。幾何直觀還可以培養學生的洞察力，幫助學生迅速找到解題策略。

怎么辦？──探索“幾何直觀”的教學策略

隨著年級的升高和知識難度的加深，高年級學生的思維水平處于由具體運算向形式運算過渡的階段，幾何直觀可以幫助他們更好地理解和學習數學。在小學數學教學中，要從直觀教學入手，引導學生運用畫圖策略分析問題，將直觀圖形與數學語言、符號語言進行合理轉換，在解決數學問題的過程中感悟數與形、形與數之間的轉化，讓幾何直觀的培養貫穿于整個教學過程。下面就以人教版五年級的教學為例進行論述。

一、幾何直觀在“圖形與幾何”領域中的應用

在“圖形與幾何”領域的教學中，教師要強調“幾何”的方法，但不一定要提到“直觀”。幾何方面的學習對象本身就有直觀性，所以不必再強調用了“直觀”的方法，反而可以多強調“空間觀念”。

【策略1】化靜為動重體驗

五年級下冊“圖形的運動”中的“旋轉”是一個教學難點。通過操作活動，化靜為動，能讓圖形變換的教學更有效。在學生掌握了旋轉三要素（旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度）后，借助實物旋轉進行教學，不失為一個有效的方法。對于那些三角形狀的旋轉圖形，可以借用實物來幫助思考，如三角尺、三角小旗等，引導學生把三角尺按順時針或逆時針方向旋轉相應的角度，再想辦法把實物旋轉后的位置畫在方格紙上。當然，旋轉的最高境界自然是“無招勝有招”，用實物代替只是教學初始階段使用的方法。學生只有真正掌握旋轉的要素，才能準確、迅速、美觀地畫出旋轉后的圖形。

【策略2】化看為思定模型

幾何直觀就是“依托、利用圖形進行數學的思考和想象”。教學時，教師要注重引導啟發，讓學生利用幾何直觀“描述與分析問題”，從而發現數學的本質和規律。如教學“長方體和正方體的認識”時，在學生初識長方體和正方體的特征后，為了讓他們能將活動經驗真正轉化為有效的數學知識，教師可先用課件呈現長方體的透視圖（如圖1），并提問：“如果擦去其中的一條棱，你還能想象出這個長方體的大小嗎？”

學生擦去其中的一條棱，發現仍能想象出長方體的大小。教師再問：“至少要留下哪幾條棱，才能保證我們還可以想象出長方體的大小？先想一想，再動手試一試。”結果多數學生在嘗試后留下了相交于一個頂點的長、寬、高三條棱（如圖2）。這樣，學生在“觀察─操作─想象”的過程中提高了幾何直觀能力。

二、幾何直觀在非圖形與幾何領域中的應用

在非圖形與幾何領域中，如“數與代數”，教師要將教學鎖定于“直觀”，但不一定要提到“幾何”。這是因為，在數學的學習領域中，能做到直觀的不只“幾何”一個。同時，因為強調直觀，學生會應用表格、數軸、示意圖等帶有幾何特色的方法。當學生喜歡使用他認為直觀的方法時，幾何直觀就已經滲透于其中。

【策略1】數形結合促理解

在教學分數及其運算時，為了幫助學生理解分數的意義，可以借助“面積模型”將抽象的思維過程直觀形象化。如五年級下冊的分數運算中的一道題目：有一杯水，第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝了上一次剩下的一半，五次一共喝了多少水？此題實際上就是求“1/2+1/4+1/8+1/16+1/32=？”，但如果直接計算，顯然十分煩瑣。這里，教師就應向學生滲透數形結合思想：先畫一個正方形（如圖3），并假設它的面積為單位“1”，由圖可知，“1-1/32”就是所要求的結果。

【策略2】化繁為簡露本質

如五年級下冊的“打電話”題目：學校合唱隊有15人，暑假有緊急演出，教師要盡快通知每個隊員，用打電話的方式，每分鐘通知1人，最少需要多少分鐘？一圖抵百語，圖4就能簡明扼要地呈現“打電話”這個復雜的問題。

有了這個圖，學生就能發現規律：每次新接到通知隊員數都是前一分鐘接到通知隊員數的2倍。講不清、算不出，看圖卻很明了。可見，借助幾何直觀，能幫助學生探究問題內在的規律，化繁為簡，從而找到解決問題的思路和方法。

【策略3】化隱為顯巧作圖

在解決問題的過程中，借助畫圖進行分析，往往能將抽象的問題變得形象直觀，化隱為顯，使學生豁然開朗，獲得“柳暗花明又一村”的體驗。

如五年級上冊的“植樹問題”：同學們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？為了方便學生畫圖交流，教師把“100米長的小路”改成“20米長的小路”，教學時先讓學生在紙上模擬栽樹（如圖5），通過圖形直觀地找出各數量之間的關系，探尋解決問題的方法：因為20里有4個5，所以有4個間隔，得出“間隔數=總長÷間隔長”。由線段圖可知“每個間隔栽1棵，一共栽5棵”，從而發現數量關系“兩端都栽時，棵數=間隔數+1”。這樣通過形的直觀，加強了形與數之間的轉換，把抽象的數學問題直觀化。

“讓學生養成畫圖的習慣，腦子里要留下一些圖形”，這是教師一直要做的。教師要鼓勵學生多角度思考，引導學生優化方法，帶領學生在個性化方法和數學通法之間，在想象和理性思考之間鷹擊長空、魚翔淺底。

（責編 金 鈴）