化歸思想在當前初中數學教學過程中的運用

魯錦洪

【摘要】化歸思想以“同質轉化”為基礎，其核心在于剝離形式差異表象而獲取同質內涵.化歸思想在數學領域被評價為基礎思想，在數學學習與應用中發揮重要作用.初中數學重視學生基礎知識與學生學習興趣的培養，在教學過程中引入化歸思想不僅能促進學生學習數學基礎知識，同時能激發學生的學習興趣.本次研究以化歸思想在初中數學教學中的應用為研究視角，在綜合分析化歸思想與初中數學教學的基礎上，歸納具體應用方法，以期為完善初中數學教學做出理論貢獻.

【關鍵詞】化歸思想；初中數學；基礎教育

教育改革強調：摒棄應試教育的弊端，提升學生綜合素質.而數學作為基礎教學的核心課程，不僅應發揮其傳遞基礎知識的功能，同時應發揮其蘊含的邏輯培育、思維培育等功能，促進學生全面發展[1].化歸思想是重要的數學思想，其核心在于剝離形式差異后獲取同質內涵.在數學教育中引入化歸思想不僅能促進學生學習數學，同時能激發學生的學習興趣，提升學生綜合素質.因此，本次研究選取化歸思想引入初中數學教學為研究視角，在綜合分析化歸思想與初中數學教學的基礎上，分析具體應用方法.

一、化歸思想與初中數學教學

（一）化歸思想

化歸思想的核心為剝離形式差異表象而獲得同質內涵，其建構基礎為同質轉化.化歸思想被廣泛應用于數學領域，被評價為數學的基礎思想之一.化歸思想具有四種具體應用方式，即化復雜為簡單，化未知為已知，化實質為運用及化抽象為直觀.在數學領域中，化歸思想的具體應用方法主要包括：整體代入法、待定系數法、配方法等方法.

以雞兔同籠為例闡述化歸思想：當籠中共有頭50個，足140只時，雞兔各有幾只？首先對問題中的已知條件進行化歸變形，要求籠中的雞獨腳站立，籠中兔雙腳站立，則問題變更為籠中頭共50個，足共70只，此時雞頭、足數目相等，而兔的頭、足數目不等.而每多一只兔則多一條腿，在兔的數目為70-50=20，雞的數目為30.

（二）初中數學教學

初中數學教學以基礎知識傳授與數學興趣培養為主要教學目的，而在具體的數學教學過程中，授課教師往往以應試為主要目的，注重于解題方法與技巧的傳授.同時，采用題海戰術提升學生的準確率，導致學生學習負擔較重.加之數學學習難度較大，學生往往難以建立學習興趣，部分學生甚至產生了厭學的情緒[2].初中數學教學應注重數學思維的培養，將數學思想方法傳遞給學生，使學生建立起關于數學體系，從根本上明確數學問題，從而促進學生學習基礎知識，激發學生學習興趣.

二、化歸思想在初中數學教學中的應用

（一）化歸思想的運用

化歸思想的運用主要包括三部分內容，具體如下：

1.未知問題與已知問題的化歸

將未知問題化歸為已知問題是化歸思想的主要運用方法.在初中數學中，未知問題與已知問題的化歸主要表現在代數方程中.而在代數方程的解析中，化歸思想也是基本求解思想[3].

以方程y=（x+n）2，y≥0為例.求解二元一次方程應首先對二元一次方程進行轉化，即將未知知識轉化為已知知識.求解這個二元一次方程，可采用開平方的方法，即變更（x+n）2為x+n，變更y為±y.則等式變更為±y=x+n，最后依據基本運算法則求解，即x=±y-n.若方程無法采用開平方的方法化歸，還可以采用配方的方法進行處理.將含有未知數的方程部分變化為完全平方形式，置于方程左側，將方程右側變化為大于等于0的具體數字.其后對方程進行開方處理后，對方程進行因式分解.最后分別計算求解.

同時，未知問題的化歸在幾何領域也有廣泛應用.以梯形為例：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對角線相交于點O且相互垂直.AD=3，BC=5，求AC的長.上述問題的核心為梯形對角線垂直，即AC⊥BD.利用已知進行化歸，當梯形的對角線相互垂直時，可判斷梯形為等腰梯形，以等腰梯形對角線的交叉點所組成的兩個三角形為等腰三角形，即△AOD與△BOC為等腰三角形.又因梯形對角線垂直，所以△AOD與△BOC為等腰直角三角形，則BO=CO，AO=DO.因AC=3，BC=5，則AO2+DO2=BC3，CO2+BO2=52，則AO=BO=42.

2.新問題與舊問題的化歸

解決數學問題最快、最有效的方法就是，將陌生的新問題化為比較熟練的舊問題，進而在嫻熟掌握舊問題的基礎上快速處理新問題.例如，在解決二次方程計算問題的過程中，教師可以利用降次法，指導學生將二次方程化歸為學生比較熟練掌握的一次方程；在解決三元一次方程組或二元一次方程組計算問題的過程中，教師可運用消元法，指導學生將方程組化歸為二元一次方程組或一元一次方程，將分式方程轉化為整式方程；在解決多邊形內角和的計算問題過程中，教師可運用求三角形內角和的方法，指導學生將多邊形拆分為多個三角形，進而進行內角和的計算.新問題化歸為舊問題方法的優勢在于拓寬學生解題的方法和思維，有利于學生提高解題效率和準確率.

3.一般問題與特殊問題的化歸

一般問題與特殊問題的化歸方法在數學教學方法中較為常見.一般問題與特殊問題的化歸方法可理解為，在解決數學問題中首先解決具有特殊性質的問題，其次運用恰當的方法，將一般問題轉化能夠應用于特殊情況的問題.在初中數學教材中，運用此方法解決問題的例題比比皆是.本研究以證明圓周角定理的例題為例，雖然證明情況分為三種，但是教師可以選擇最具有特殊性的情況先行證明，比如，首先，證明圓心在圓周角的一條邊時的定理能否成立；其次，對圓心角在內部及外部的情況進行證明；最后，通過對證明的結果進行歸納整理后，提出結論.又如，選擇一正方形PQRS，其兩條對角線在Z點相交，但Z點同時也是另一正方形UVWZ的頂點之一，此外正方形PQRS與正方形UVWZ的邊長相等.與此同時，正方形UVWZ繞著Z點轉動，教師需要帶領學生一起對正方形PQRS與正方形UVWZ所重疊部分的面積進行詳細觀察，并觀察其變化情況，若有所變化，應查找變化的原因；若未出現變化，則可求出重疊面積.根據題意和正方形面積，教師與學生可知正方形PQRS與正方形UVWZ所重疊的形狀不定，可能是四邊形或三角形，因而，在無形中增加了題目的難度.因此，教師在此題目的教學中應對重疊位置的特殊情況加以考慮，在計算后可知，重疊位置的面積是正方形面積的四分之一.若證明出特殊情況的重疊面積與重疊部分的四邊形的面積相等，則此問題可以解決.對于此題目，割補法是最快、最有效的解題方法.

（二）化歸思想的具體應用方法

1.夯實基礎知識

教師在教學中對化歸目標追求的前提一定是注重數學基礎知識的教學.數學基礎知識即數學問題的基本概念、基本公式、基本解題方法等.從另一種意義來講，初中數學最重要的教學問題就是向學生展示數學模型，并教會學生在解決數學問題中建立數學模型，并在解決實際問題的過程中靈活地轉化與化歸這些模型.學生在嫻熟掌握數學基礎知識的前提下，對化歸方向的發現與把握自然也很輕松.因此，教師必須在教學過程中幫助學生建構完整化的、系統化的數學知識體系[4].例如，在一個單元結束后，教師幫助學生建構完整的數學知識結構圖，使學生對該單元產生比較系統性的認識.此外，教師應在學生做題中，幫助學生積累做題經驗，為日后做題打下基礎.

2.建立化歸思想

在數學知識學習的過程中，許多數學知識具有較強的聯系，因此，教師可指導學生在做題的過程中充分運用這種知識的聯系，并轉化其中的問題，將問題化難為易，化整為零.在具體建立過程中應將生活與教學相融合，使學生在生活中體會化歸思想，促進學生學習.

三、總 結

本次研究以化歸思想的初中數學教學應用為研究視角，在綜合分析化歸思想與初中數學教學的基礎上，歸納具體應用方法，包括：未知問題與已知問題的化歸，新問題與舊問題的化歸及一般問題與特殊問題的化歸.而關于這一問題還存有廣泛的研究空間，如化歸思想與其他數學思想在初中數學教學中的結合應用，或化歸思想與其他數學思想的對比等.

【參考文獻】

[1]王燕榮，韓龍淑，屈俊.基于啟發式教學的數學思想教學設計——以“化歸思想”為例[J].教學與管理，2015（1）：57-59.

[2]胡先富.化歸思想在數學教學中的應用[J].教學與管理，2015（27）：81-83.

[3]張玉娜.化歸思想在中學數學教學中應用簡析[J].教育科學：全文版，2016（11）：132.

[4]夏雪峰.化歸思想在初中數學教學過程中的應用[J].數理化解題研究：初中版，2015（8）：5.