在數(shù)學(xué)教學(xué)中合理運(yùn)用《幾何畫板》

岳明巖

摘要：在21世紀(jì)，以計(jì)算機(jī)多媒體和互聯(lián)網(wǎng)為代表的信息技術(shù)正迅速而深刻地改變著人們的工作方式、交往方式、生活方式和思維方式，不少專家指出，信息技術(shù)必將改變傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式、教學(xué)模式與教學(xué)觀念。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，從課堂教學(xué)到課外輔導(dǎo)，從組織練習(xí)到成績的統(tǒng)計(jì)評估，從教師備課、同行交流到學(xué)生課外活動(dòng)的組織，信息技術(shù)在推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)改革方面都有著巨大潛力。而《幾何畫板》為現(xiàn)代教育理念在課堂教學(xué)中的實(shí)施提供一種有效的輔助工具。通過操作《幾何畫板》來做數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與，加深對初中數(shù)學(xué)概念的深層次理解，拓寬數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)途徑。

義務(wù)階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：運(yùn)算求解、推理論證、空間想象、數(shù)學(xué)表達(dá)、數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)建模。

關(guān)鍵詞：幾何畫板、數(shù)學(xué)教學(xué)、運(yùn)用、核心素養(yǎng)

《幾何畫板》就是一個(gè)能讓老師和學(xué)生操作的優(yōu)秀學(xué)科軟件，在動(dòng)態(tài)的操作過程中，給學(xué)生的比較和抽象活動(dòng)創(chuàng)造了一種活動(dòng)的空間和條件。學(xué)生能在活動(dòng)中理解和掌握抽象的概念。這樣學(xué)生獲得的才是真正的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，而不是數(shù)學(xué)結(jié)論。這幾年中我一直運(yùn)用《幾何畫板》來上課，發(fā)現(xiàn)效果非常好，學(xué)生上數(shù)學(xué)課的興趣高了很多。以下是我在教學(xué)中對《幾何畫板》的幾點(diǎn)體會(huì)

一、運(yùn)用《幾何畫板》幫助學(xué)生理解函數(shù)與圖像的關(guān)系，畫抽象為具體

在利用《幾何畫板》探索圖形性質(zhì)的過程中，數(shù)形結(jié)合使人一目了然，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是那樣的自然流暢。學(xué)生們能作為課堂教學(xué)的真正主體參與學(xué)習(xí)過程，參與教學(xué)實(shí)踐而從內(nèi)心領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的真諦。這正是《幾何畫板》在數(shù)學(xué)教學(xué)中的魅力所在。在函數(shù)圖象講解中一直是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中傳統(tǒng)的難點(diǎn)。

學(xué)生學(xué)過函數(shù)的圖象之后多數(shù)并不理解函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系，甚至有聽天書的感覺。運(yùn)用《幾何畫板》可以通過學(xué)生們直接的感性認(rèn)識(shí)和直覺思維，經(jīng)過我的引導(dǎo)，升華到理性的認(rèn)識(shí)，達(dá)到加深學(xué)生的認(rèn)知能力。

實(shí)例1：在教學(xué)“二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)”時(shí)，我先用《幾何畫板》制作好二次函數(shù)“ ”的課件，在教學(xué)中通過分別拖動(dòng)改變a、b、c三個(gè)參數(shù)的值，觀察二次函數(shù)的圖象的變化情況。學(xué)生從中可以直接概括出二次函數(shù)圖象中：開口方向與參數(shù)a的關(guān)系；對稱軸與參數(shù)a、b的關(guān)系；頂點(diǎn)與參數(shù)a、b、c之間的關(guān)系；以及函數(shù)的圖象所經(jīng)過的象限與參數(shù)a、b、c之間的關(guān)系。這樣就不必由老師進(jìn)行講解，而學(xué)生對此的映象卻要更加深刻。

實(shí)例2：研究函數(shù)圖象的性質(zhì)，特別是增減性，是教學(xué)中的難點(diǎn)，有了《幾何畫板》，我們就來看看它的作用。在坐標(biāo)系內(nèi)，任作一條直線，很容易得到它的解析式，我們拖動(dòng)直線，就可以看到它的k和b在不斷變化，學(xué)生們自己操作，仔細(xì)研究，就可以總結(jié)出，k、b大小與圖象所經(jīng)過的象限的關(guān)系。如下圖，如果，拖動(dòng)直線上的點(diǎn)A或B，則它的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都在同時(shí)變化，當(dāng)k>0和k<0，極易掌握它們的增減性。

實(shí)例3：在研究二次函數(shù)圖象的增減性時(shí)，我們拖動(dòng)拋物線上點(diǎn)A，可以很形象地看到，y隨著x的增大，一會(huì)兒增大，一會(huì)兒減小。問及同學(xué)們它的分界線在那里，再次研究后都能回答是拋物線的對稱軸。

實(shí)例4：在研究反比例函數(shù)的圖像雙曲線的特點(diǎn)，學(xué)生也很難把握什么叫“與坐標(biāo)軸無限接近，但永遠(yuǎn)不相交”？為了幫助學(xué)生理解雙曲線的特點(diǎn)，可以利用《幾何畫板》來形象地展示這一特點(diǎn)。繪制函數(shù)中輸入 繪制圖像，鼠標(biāo)拖動(dòng)屏幕上下或左右移隨著x的無限接近0或無限變大，圖像也無限的接近y軸或x軸，但就是不相交。

通過這樣的演示，學(xué)生對雙曲線的特點(diǎn)有了更加直觀的感受和深刻的印象，這正好也讓學(xué)生體會(huì)了：“世界上最遙遠(yuǎn)的距離不是生離死別，而是雙曲線與坐標(biāo)軸的那個(gè)縫隙”。運(yùn)用《幾何畫板》幫助學(xué)生理解函數(shù)與圖像的關(guān)系，提升學(xué)生的空間想象、數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、運(yùn)用《幾何畫板》動(dòng)態(tài)展示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，畫抽象為具體

（一）用《幾何畫板》揭示變化的圖形中不變的幾何規(guī)律

在進(jìn)行圓一章中的點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的教學(xué)時(shí)，要想把它們歸納清楚要費(fèi)盡心機(jī)，其效果也是很差。學(xué)生總是孤立地記憶，更不能靈活運(yùn)用。但如果教學(xué)時(shí)，運(yùn)用《幾何畫板》，則充分提示了變化的圖形中不變的幾何規(guī)律。

利用《幾何畫板》，進(jìn)行如下操作：直線與圓位置中拖動(dòng)點(diǎn)C，直線L就跟著一起動(dòng)，學(xué)生會(huì)很直觀的感受直線與圓位置關(guān)系的關(guān)鍵；圓與圓位置關(guān)系中拖動(dòng)圓O2就可以演示圓與圓的五種關(guān)系，學(xué)生對這五種關(guān)系的公式和圖形總是混掉，通過《幾何畫板》的演示很形象記憶深刻。

（二）運(yùn)用《幾何畫板》進(jìn)行題組教學(xué)，優(yōu)化解題過程

求證任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形的例題。如下圖：

1.在《幾何畫板》里，拖動(dòng)點(diǎn)四邊形的頂點(diǎn)A，改變四邊形的形狀和大小，從圖形上面的度量值都可以得到，四邊形的兩組對邊都相等。從而可以得到任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形。

2.在上圖中，改變AC和BD的長度，使AC=BD，則可得到對角線相等的中點(diǎn)四邊形是菱形

3.在任意四邊形的中點(diǎn)四邊形的圖形中，改變AC和BD的位置關(guān)系，使AC⊥BD，則可得到對角線相等的中點(diǎn)四邊形是矩形。

4.如果在上圖中，保持AC和BD的垂直關(guān)系，并使AC=BD，則可得到，對角線相等且互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形。

先前教學(xué)時(shí)，我們也在黑板上畫出這樣幾個(gè)圖，既費(fèi)時(shí)費(fèi)勁，又只是靜態(tài)地進(jìn)行研究，其效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如動(dòng)態(tài)的黑板——《幾何畫板》這樣形象、直觀。而且通過演示，學(xué)生很快知道中點(diǎn)四邊形與原四邊形的對角線是否互相平分無關(guān)，只與原四邊形對角線的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系有關(guān)。

（三）運(yùn)用《幾何畫板》，展示運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律

幾何圖形的基本運(yùn)動(dòng)：平移、旋轉(zhuǎn)、翻折，基本運(yùn)動(dòng)運(yùn)用到復(fù)雜的幾何證明中一直是個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生遇到了就手足無措，在講解這類題目時(shí)，巧妙的運(yùn)用《幾何畫板》，會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。如下面的課堂實(shí)例“手拉手等邊三角形”。題目時(shí)兩個(gè)等邊三角形公用一個(gè)頂點(diǎn)，其中一個(gè)繞著這個(gè)公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)中有一對三角形一直保持全等不變。在旋轉(zhuǎn)中兩個(gè)三角形處于一直線上并且在直線的同側(cè)，我們又可以證明出特殊的結(jié)論。

例題：如圖，在等邊ΔABC的BC邊上任取一點(diǎn)D，以CD為邊向外作等邊ΔCDE，聯(lián)接AD和BE，試說明BE=AD的理由。

解：∵ΔABC是等邊三角形

∴AC=BC， ∠ACB=60°

∵ΔCDE是等邊三角形

∴CD=CE， ∠DCE=60°

∴∠ACD=∠BCE

∴ΔACD?ΔBCE（S.A.S）

∴BE=AD

在例題中，如果把ΔCDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后形成的圖形（1）和（2）中，例題的結(jié)論（AD=BE）還成立嗎？說明理由。

在例題中，如果把ΔCDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)形成圖形（3），使點(diǎn)B，C，D三點(diǎn)共線，問：（1）ΔACD與ΔBCE還全等嗎？說明理由。

（2）CM與CN相等嗎？說明理由。△CMN是什么三角形？

（3）MN與BC平行嗎？說明理由。

解：∵ΔABC是等邊三角形（已知）

∴AC=BC， ∠1=60°

∵ΔCDE是等邊三角形（已知）

∴CD=CE， ∠3=60°

通過這一系列的變式練習(xí)，把得到的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移，手拉手等腰三角形有上訴的全等三角形的存在嗎？手拉手正方形也有上訴的全等三角形的存在嗎？學(xué)生就可以運(yùn)用《幾何畫板》進(jìn)行畫圖分析得到令自己興奮不已的結(jié)論，學(xué)生可以通過拖動(dòng)圖形、觀察圖形變化、猜測和驗(yàn)證結(jié)論，在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加對各種圖形的感性認(rèn)識(shí)。

《幾何畫板》在這里運(yùn)用的如魚得水，形象生動(dòng)地讓學(xué)生理解題目，易如反掌的帶著學(xué)生跨過難點(diǎn)。學(xué)生從中體會(huì)到了動(dòng)中有靜（不變），通過學(xué)習(xí)新的學(xué)習(xí)方法進(jìn)行知識(shí)的遷移，手拉手正方形、手拉手頂角相等的等腰三角形，提出思考問題“還有什么手拉手的圖形也具備這樣的性質(zhì)”，最后達(dá)到知識(shí)的升華。運(yùn)用《幾何畫板》動(dòng)態(tài)展示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，提升學(xué)生的推理論證、空間想象、數(shù)學(xué)表達(dá)、數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、運(yùn)用《幾何畫板》進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生自主“研究數(shù)學(xué)”，提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

《幾何畫板》是一種數(shù)學(xué)教學(xué)的簡單工具，我?guī)缀趺抗?jié)課都用《幾何畫板》開展教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生也就慢慢的會(huì)使用《幾何畫板》的基本功能，上函數(shù)、幾何課時(shí)，學(xué)生自己動(dòng)手運(yùn)用《幾何畫板》畫圖分析產(chǎn)生了意想不到的好效果，運(yùn)用《幾何畫板》可以教師演示，也可以讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)，小組探索新知。教師通過引導(dǎo)，可以給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)“操作”幾何圖形的環(huán)境，學(xué)生可以通過拖動(dòng)圖形、觀察圖形變化、猜測和驗(yàn)證結(jié)論，在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加對各種圖形的感性認(rèn)識(shí)，形成豐厚的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)背景，從而更有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和理解，同時(shí)《幾何畫板》有助于發(fā)揮學(xué)生的主體性、積極性和創(chuàng)造性，充分體現(xiàn)了現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)中是以學(xué)生為主體，教師是教學(xué)的引導(dǎo)者、組織者，運(yùn)用《幾何畫板》還培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算，演繹等具有根本意義的嚴(yán)格推理的能力，也鍛煉學(xué)生嘗試歸納、假設(shè)、檢驗(yàn)，尋找相似性等非形式推理的能力。這種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，對學(xué)生主體意識(shí)的形成，主動(dòng)參與教學(xué)實(shí)踐本領(lǐng)的提高，自行獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力培養(yǎng)，都將發(fā)揮作用。通過數(shù)學(xué)解題活動(dòng)所能檢測的“能力”，本質(zhì)上是指學(xué)生在基于各類情境的問題解決過程中合理、準(zhǔn)確、靈活地運(yùn)用各種所學(xué)的數(shù)學(xué)概念原理、方法技能、定理推論和基本思想等的表現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中合理運(yùn)用《幾何畫板》提升學(xué)生的推理論證、空間想象、數(shù)學(xué)表達(dá)、數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

總之，在當(dāng)前新課改教學(xué)中，課件已經(jīng)成為課堂教學(xué)中不可或缺的工具，數(shù)學(xué)課上恰當(dāng)?shù)剡x用《幾何畫板》，會(huì)起到“動(dòng)一子而全盤皆活”的作用。若發(fā)揮其最大的功效，就可以減輕學(xué)生的過重負(fù)擔(dān)，從而提高課堂教學(xué)效率，進(jìn)一步提高了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[參考文獻(xiàn)]

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[4]《新課標(biāo)理念下的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)》 湯文卿 中學(xué)數(shù)學(xué)教育.