基于一道考試題引發的思考

李衛超

摘要：數學解題是培養學生數學思維的一個重要方面，但是如果只是一味的解題，缺乏解題后的反思，容易掉進題海戰術的漩渦，反而得不償失.本文從一道高三期中考試題的解題過程出發，探究在數學學習過程中如何引導學生高效的復習，并重視反思的重要性，從而提高學生的數學思維意識，促進高中數學課堂教學的高效率.

關鍵詞：數學解題；反思；數學思維

以題為鏡，可以檢驗知識的掌握程度，解題后反思，以題為型，可以變化出眾多問題，既反映了知識的探究程度，也能鍛煉數學思維能力，這對培養學生的數學素養尤為重要。本文從一道考試題出發來闡述，敬請同行批評指正.

案例（蘇州高三期中考試題）已知 ，則 的最小值為

本題考查在限制條件下，求分式的最值問題.對于此題，一般情況下是消元，將變量減少，轉化為可以利用函數的知識解決問題.具體解答過程如下：

解：由 ，可得 ，又因為 ，所以

令 ，則本題目就轉化為當 時，求 的最小值問題，我們可以利用導數的知識來求解.

當 時， ，則函數 在 上單調遞減；當 時， ，則函數 在 上單調遞增，故函數 在 時取得極小值并且也是最小值，計算得到 ，即分式 的最小值為 .

在有限時間的考試過程中，利用函數知識正確解答本題需要花費較多的時間，尤其是在求 的導函數過程中，鑒于學生的運算能力較弱，很容易出錯，一旦中間出現錯誤，則本題就勞而無獲了，甚是遺憾.為了能夠讓學生更容易做出此題，減少錯誤，從學生的最近發展區出發，有意識的引導學生進行反思，結合已有知識，能否從另外的角度去思考問題，這樣有利于鍛煉學生的發散思維能力.

本題的解答過程我們利用了函數的知識，結合已學的內容，我們也可以利用基本不等式來求最小值.基本不等式又稱均值不等式，是高中數學的重要內容之一，也是每年高考數學考察的熱點內容之一，在江蘇高考中是C級要求.它的應用范圍幾乎涉及高中數學的每個章節，但是在實際應用上一般限定在求最值，判斷、證明等.

（基本不等式）如果 ，那么 ，當且僅當 時等號成立.

對于本題我們利用基本不等式的解答如下：

由 ，可得 ，所以 ，觀察這個分式的分母，結合已知條件，我們可以將分式變形為

此時發現，這個分式兩個分母相加為一個常數，即由 ，則 ，原分式可變形為

當且僅當 時，等號成立.聯立 ，可知 ，因此我們可以求出分式 的最小值為 .

利用基本不等式能夠順利的求解此種類型的最值問題，在解答過程中通過觀察分母，發現兩者相加等于一個常值，這樣就能夠充分利用“1”的妙處，恰到好處的轉化為可以利用基本不等式求解問題.教學過程中學生可能會產生一個疑問，這樣的解題方法能否成為同種類型題目的通性解法呢？我們可以及時給出兩道同類型題目讓學生自主思考和解答.

演練1 若 ，且 ，則使得 取得最小值時實數 的值為

演練2 已知 ，且 ，則 的最小值為

在配湊時要善于觀察形式，結合已知條件和分式中的兩個分母，學生通過系數的調整能夠配湊出定值“1”.對于演練1，學生都能夠構造出 ，而對于演練2，學生也都能夠構造出 ，從而能夠順利完成這兩道題的解答.

通過一題多解以及解題后的反思，不僅讓學生學會了一種問題的考慮角度不同，解答方法也不盡相同，而且更重要的是讓學生能夠及時反思，并且通過反思帶來學習的樂趣，增強了學習的信心.

在高中整個學習過程中，反思應該貫穿始終，只有經過自己不斷地反思，學習效果才會高效率.我覺得反思應該從以下幾個方面做起.

一、反思審題，正確認知

審題是解決一道問題的前提，只有對題目中的已知量，未知量心中有桿秤，才能下手.然而學生往往審題不仔細，就匆忙下手，結果可想而知，同時也反映出學生在學習過程中的心浮氣躁的秉性.

比如，已知集合 ，若 中只有一個元素，求 的值.從考試解答情況來看，本題大部分同學的解答結果都是 ，同學們在解答的時候默認集合 中的元素就是一元二次方程 的根，殊不知當 時，它不再是一元二次方程，而是一元一次方程了，故要對 是否等于 進行討論.

再比如，求函數 的定義域.這是一道常考題型，但學生的錯誤率還是極高，究其原因還是審題不清.學生都能夠想到 ，但卻忽略了對數的真數要大于 這個隱性條件.

由此可見數學審題在數學解題中處于一個非常重要的地位.這就要求我們老師在平時教學中要多花時間去引導學生進行審題方面的指導，面對問題要多問個為什么，這道題考察了什么知識點，有哪些需要注意的等等.這樣操作不僅能夠提高解題速度，更重要的是減少不必要的失分.

二、反思方法，破解定勢

解題方法的選擇是決定成敗的關鍵.正確的選擇方法，能夠在最短的時間內，完成解題.選擇的方法不當，則計算繁瑣或者根本就解不出來.這在平時的教學中要適時的引導學生關注方法的選擇.

比如，已知復數 的模為 ，求 的值.學生看到此題，由于思維定勢的影響，往往是先把復數 化為代數式，即讓這個分式的分子、分母同時乘以分母的共軛 ，但這樣做，運算量很大，花費的時間也多，正確率也不高，所以要反思一下，方法是不是不對，有什么更好的方法呢？老師就要破解學生的思維定勢，加以正確的引導.要求復數 的模，我們可以這樣做： ，則 .

這樣的例子還有很多，所以在解題中要對解題過程進行反思，從失敗的教訓中找出解答問題的利劍，對錯誤加以糾正，對提高學生對知識的把握能力有很大的進步.

三、反思拓展，鍛煉思維

反思拓展顧名思義就是指在解題后，思考能否將題目中的條件適當的改變，以及改變后題目的解答方法是否與原題目有本質的區別與聯系，或者會得到什么新的結果.這樣通過反思發現規律，既拓展了知識的應用能力，又培養了學生的發散思維能力.

比如，當 時，求 的最小值，我們可以將其做以下幾種變式練習.變式 、當 ，求 的最大值；變式 、當 ，求 的最小值；變式 、

當 ，求 的最小值；變式 、當 ，求 的最大值.通過對一道題目的深入的探究學習、變式練習，不僅讓學生對基本不等式有了更深刻的理解，而且讓學生感受到數學問題的活力四射，增強了學習數學的樂趣和動力.

總而言之，在平時的數學教學中，如果多重視些解題后的反思，對解題活動進一步構建，是進一步提高和升華的過程，對培養學生的數學思維力，提高數學學習意識有很大的益處，同時能夠逐步培養學生獨立思考、積極探究的習慣，并教會學生懂得如何學好數學，這是學好數學的必要條件.

參考文獻：

[1]陳志江.反思，讓錯誤回饋學習[J].中學數學月刊，2016（5）

[2]陸冬林.高三復習課的變式教學策略[J].中學數學研究，2015（4）

[3]陸燕.運用變式提升數學課堂的實效[J].中學數學月刊，2016（7）