淺談反證法在初中數學解題中的應用

莫美珍

摘 要：反證法在初中數學中有著廣泛的應用，它的解題技巧對數學解題有很大的幫助，尤其針對一些難以著手的問題。教師通過研究反證法在中學數學中解題的范圍和其在幾種常用命題中的應用技巧，對反證法的分類進行討論，根據用反證法在各類命題中的應用步驟、類型和規律分析，總結出反證法在初中數學范疇中的重要性。最后論述反證法這種思維方式在初中數學中所起的作用，要求學生能夠用逆向思維來解決更多的數學問題，并結合生活的需要，解決生活中的難題。

關鍵詞：初中數學；反證法；逆向思維

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2018）17-0043-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.17.026

反證法的思維方式與正向思維方式相反，它遵循“由果溯因”這種思維模式。在數學解題中，教師要注意培養學生的逆向思維，從而提高學生的數學能力。反證法中獨特、巧妙的思維方式可以使那些難以著手的數學問題迎刃而解。例如下面涉及的這幾類問題，其思維方式都比較巧妙，這種解題方法對于提高學生解決數學問題的能力有很大的幫助，更能夠幫助學生提高分析問題、靈活運用數學知識解決問題的能力。

反證法在初中數學教學中的應用比較廣泛，通常在一些基本的性質、定理和重要結論中都有所體現，在某些難度較大的題目中更是不可或缺的。

一、反證法的定義及理論依據

（一）反證法的定義

反證法的基本理念是：在否定了原命題（真命題）后，找出必要矛盾，就可以證明原命題。在對一個命題進行證明時，可以先假設命題結論的對立面是成立的，若由已知條件可以得出兩個矛盾的結論，或者導出的結果與定義、定理、已知公理、已知條件之一相矛盾，此時就可以說明假設是不成立的，同時也就證明了原命題一定成立。利用這種方式對命題進行證明的方法稱為反證法。反證法可以歸納為：“否定結論，尋找矛盾。”

（二）反證法的理論依據

排中律和矛盾律是反證法中所應用的兩種重要的理論依據，二者的概念有所不同。矛盾律表示：在同一個證明過程中，若存在兩個相互對立的結論，至少有一個結論是錯誤的。而排中律表示：對于一個命題，它只能為真，或者只能為假，不會再出現其他任何可能。排中律對思維提出了兩個要求，那就是明確性和清晰性，二者對同一律和矛盾律進行了某種程度的繼承和發揚。排中律具有一個重要的特點：邏輯思維不只是要具有確定性，而且還要明確自己的立場，依據該特點，證明也將有法可依。

矛盾律和排中律中存在著相同點和不同點。相同點：兩者都要求不能出現邏輯矛盾，若違背了排中律，那么也一定違背了矛盾律。不同點：矛盾律表明，當兩個結論相互對立時，則一定存在一個結論是不成立的；排中律則表明，兩個相互否定的結論中必有一個正確[1]。

二、反證法的解題步驟

用反證法證明問題通常可歸納為三個步驟：反設——歸謬——結論。它們相互聯系，是一個整體。第一步——反設。在用反證法證題時，反設是基礎。反設的正確與否，會對解題的進度和結果產生重大影響。首先要弄清楚題設條件和結論，然后不重復不遺漏地找出與結論相反的假設，最后對結論進行否定或者肯定。這樣就完成了反設。第二步——歸謬。歸謬是關鍵，也是反證法解題的難點所在。歸謬即利用反設導致矛盾，是反證法的核心部分，所以要對推理方向反設后條件部分和如何找出矛盾有一個明確的概念。第三步——結論。結論即利用反證法證題所要得到的最終結果。歸謬所得到的矛盾并不是什么新的理論，而是由于反設才產生的，所以命題原來的結論才能得以成立。至此，解題已經完成，自然就達到了反證法證題的目的。

在解題過程中導出矛盾是關鍵。常見的矛盾形式包括以下幾種：自相矛盾，與假設矛盾，與已知條件矛盾，與定理、定義、公理矛盾。相比于直接證明，利用反證法證明問題，可以越過一些阻礙（有時候利用小學知識問題就可以得到解決）。反證法的優點也在于此。同時，反設使解題條件相比于原來有所增加，所以反證法在證明過程中具有明顯的優勢。

三、應用反證法解題時應注意的問題

（一）正確否定結論

正確否定結論是用反證法證題的前提條件。如命題：“在一個三角形中，內角最多有一個是直角。”“最多有一個”表示“沒有一個”或“只有一個”，其反面可以是“三個內角都是直角”或“有兩個內角為直角”，也就是說“至少有兩個為直角”。

從上面例子看出，在解題中要善于抓住題型結構，適當地運用反證法，即通過否定原始結論而達到肯定原結論的目的，可以使一些難解的問題得到解決。如若否定這種原始結論，必須在邏輯推理過程中及時地發現矛盾和有意識地制造矛盾。反證法能夠加強對學生逆向思維的訓練。學生逆向思維能力的培養，不僅能加強學生的思維能力，還能有效提高數學教學質量。

（二）明確推理特點

反證法的核心是：否定結論并推出矛盾。但我們事先無法預測會出現何種矛盾或者何時會出現矛盾，因此矛盾具有不確定性。通常可以猜想矛盾出現的相關領域，該領域可能與命題有關（例如，如果是平面幾何問題，一般會聯想到有關的公理、定義、定理等），這也是反證法的一個重要特點。一般情況下，我們無法對矛盾進行規定或預測，而且這也是不必要的。只要能夠做到假設無誤，推理嚴謹，有理有據，自然可以找出矛盾，使結論得到證明。

（三）了解矛盾種類

在運用反證法進行證明的過程中，是否始終只會導出與題設或部分題設矛盾的結果呢？答案是否定的。矛盾的結果可能是多種多樣的，可能與題設或部分題設相矛盾，也可能與已知真命題相矛盾。不僅如此，也可能與臨時的假設相矛盾，或者與已知定義、公理、定理或性質相矛盾。同時，推導出一對互相矛盾的結果也是有可能的。

四、反證法在初中數學中的作用

（一）反證法在初中數學中的魅力

反證法是一種逆向思維的間接證法，這種思維特點先從命題的題設切入，找出矛盾后從而確定其真實性。反證法的思想獨特，手段靈活，但是，初學者常常因為它是一個逆向思維而不習慣，也把握不到它的要領，有的甚至避而不用。其實在證題術中反證法占據很大地位，它不僅能夠用來論證，還能在論證中體會很多新的發現。

在一些不易直接解決的數學問題中，可以巧妙地利用反證法來解決。不僅如此，當我們在日常生活中遇到難題時，也可以學會把問題倒過來看。初中數學中的各個部分都可以用反證法來解決。例如，數學中的代數部分、幾何部分、數論部分都可以運用反證法。在運用反證法解題的實踐過程中你會發現，反證法是一種非常方便靈活的方法。

反證法被稱為“數學家最精良的武器之一”，其地位自然不言而喻。通過反證法，可以有效提高學生的推理能力，開闊學生的視野，更有利于訓練他們的發散思維。反證法不僅能夠單獨使用，還可以與其他方法相結合。在同一道題目中，反證法可以多次反復使用，有利于快速解題。只要能夠理解反證法的規律，就可以運用自如，培養出清晰、縝密的邏輯思維能力[2]。

（二）結合生活實際，靈活運用數學思維

數學學習應該注重思維能力的培養，通過所做的題目思考解題技巧，增加學習熱情。遇到難題時不要輕易放棄，要增加自信，迎接挑戰。而反證法在生活當中也有著不可小覷的作用。在數學解題中，如何能正確從解題中學習其思維能力是一個值得深思的問題。培養學生思維的過程中要以學生為本，從生活實際出發，從真實狀況出發。基于這一理念，把反證法融入到生活當中，使問題變得更有趣、更精彩。教師在教學中不應該照本宣科，而要引導學生的探索興趣，調動學生自主學習的積極性，在教學過程中應滲透數學思維，把數學學習當作一件有趣的、快樂的、光榮的事情去做，讓學生打心眼兒里愛上數學。

五、結語

反證法在數學解題中所占比例越來越大，涉及的內容也比較深，題型更是多樣，一般的學生難于駕馭。在解決問題的過程中學生會遇到各種各樣的問題，很多看似很難的問題，其實用反證法解決就簡單多了。但很多學生不會馬上想到用它來解決，解題中也很難找到與原命題相矛盾的反設，從而感覺對反證法難以把握。然而當學生能夠看透反證法的本質，并把握其解題步驟，并能夠熟練假設問題的矛盾時，就能思路清晰地使問題迎刃而解了。尤其是用反證法來思考平面幾何問題、唯一性命題、不可能命題、無窮性命題時，對學生的解題幫助很大。

參考文獻：

[1] 亢惠蘭.改變命題迂回求解——反證法的邏輯原理及在解題中的應用[J].基層醫學論壇，2012（27）：133.

[2] 沈有釗.關于用反證法證題的探討[J].黔東南民族師專學報，1994（Z2）：61.