求曲線方程的課例研修與教學再探

吳沛東 潘康林 陳明富

摘 要 函數是高中后續課程導數的研究對象，是高中教學的重點之一。借助建系，引導學生用集合觀點理解曲線方程的思想，進而找出曲線與方程的對應關系。牢記求曲線方程的一般步驟，遵循建系原則，通過反復磨課與點評，作為老師在授課“求精”層次獲得歷練與提升，作為學生在聽課“到位”層次得到知新與拓展。以眾多題例與變式的引入，旨在打造高中生函數問題解決能力的提高，重在錘煉老師用解析法求曲線方程的教學行為。

關鍵詞 高中教學；曲線方程；問題解決；教學行為

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）36-0186-03

函數作為學生高考的重要內容，幾乎貫穿了整個數學高考試卷，函數的教學質量可以說是直接關系著學生的高考數學成績。而曲線方程作為函數中的一項重要組成部分，是函數問題由簡單過渡到復雜的分界線，也是學生未來學習函數的基礎。因此，在這種情況下，我們就需要重視函數曲線方程的教學質量，運用合適的教學方法來提高學生的曲線方程學習水平。

一、教材分析

（一）教材地位和作用

“求曲線的方程”是人教A版選修2-1《圓錐曲線與方程》的重點內容之一，是在介紹了“直線的方程”之后，對一般曲線（也包括直線）與二元方程的關系作進一步的研究。這部分內容從理論上揭示幾何中的“形”與代數中的“數”相統一的關系，為后續圓錐曲線的研究作先期鋪墊，為“形”與“數”的相互轉化開辟了途徑，同時體現解析幾何的基本思想，豐富了解析幾何的理論內涵[1]。

（二）教學重點和難點

重點：求動點的軌跡方程的常用技巧與方法。

難點：在理解層面，曲線和方程的概念比較抽象，高二生抽象思維能力還不是很強，他們對曲線和方程關系的“純粹性”與“完備性”的理解不夠明晰，弄不清它們之間的區別與聯系，易產生“為什么要規定這樣兩個關系”的疑問。所以，對概念的理解，尤其“兩個關系”是認知難點。

二、研修背景

自2010年以來，數學組骨干教師每學期都要進行“問題解決的數學課堂”的主題式課例研修。研修依據行動教育（以課例為載體、以問題為抓手，在教學行動中開展包括專業理論學習在內的教學研修活動規范式的探索），以課堂為目標，以校本研修為路徑，收獲了“品?為師、學?為師、高?為師、勝?為師、樂?為師”課例研修成果和“研修范式”經驗。研修行動證明：課例研修是教師學會教學、提升效果、強化學科建設的捷徑，能夠實現教師發展、教學改進、質量提高的共贏。

三、課例研修實施階段

（一）第一輪課堂實錄

[幻燈片2]

（1）求曲線的方程

學習目標

1.了解求曲線方程的步驟；2.會求簡單曲線的方程。

[幻燈片3]

回顧：

證明曲線C和二元方程f（x，y）=0的對應關系，必須同時具備哪兩個條件？請用文字語言敘述后，用數學（符號）語言描寫。

1.若P（x0，y0）∈C，則f（x0，y0）=0成立

2.若f（x0，y0）=0，則P（x0，y0）∈C

[幻燈片4]

例已知一條直線l和它上方的一個點F，點F到l的距離是2，一條曲線也在l的上方，它上面的每一點到F的距離減去到l的距離的差都是2，建立適當的坐標系，求這條曲線的方程。

[幻燈片5]

圖1

解：如圖1，取直線l為x軸，過點F且垂直于直線l的直線為y軸，建坐標系xOy。

設點M（x，y）是曲線上任意一點，作 軸于B，那么點M屬于集合

由兩點間的距離公式，得 ，移項兩邊平方得 。

化簡整理得 ，因為曲線在x軸上方，則y>0，雖然原點O（0，0）是該方程的解，但不屬于已知曲線，所以滿足條件的曲線方程是 。

[幻燈片6]

知識梳理

（1）根據以上解題過程，請同學總結求曲線（圖形）方程的一般步驟（教材P-36）：

（1）建系，設點：建立適當的坐標系，用有序實數對（x，y）表示曲線上任意一點M的坐標；

（2）列式（找等量關系）：寫出適合條件p的點M的集合P{M|p（M）}；

（3）代換：用坐標表示條件p（M），列出方程f（x，y）=0；

（4）化簡：化方程f（x，y）=0為最簡形式；

（5）檢驗：說明方程的解，是否都滿足曲線要求，在判斷時，需同時判斷方程的解不比曲線上的點多，曲線上的點不比方程的解多。

[幻燈片7]

重難剖析

【要點】2.如何建立直角坐標系？

【剖析】在建立直角坐標系時應遵循“避繁就簡”原則：①要有良好的對稱性；②盡可能少引入字母；一般地，我們按以下幾個原則來建立直角坐標系：

（1）若條件中只出現一個定點，常以定點為原點建立直角坐標系；

（2）若已知兩定點，常以兩定點的中點（或其中一個定點）為原點，兩定點所在的直線為x軸建立直角坐標系；

[幻燈片8]

（3）若已知兩條互相垂直的直線，則以它們為坐標軸建立直角坐標系；

（4）若已知一定點和一條直線，常以定點到定直線的垂線段的中點為原點，以定點到定直線的反向延長線為x軸正方向建立直角坐標系；

（5）若已知定角，常以定角的頂點為原點，定角的角平分線為x軸建立直角坐標系。

[幻燈片9]

練習圓心C的坐標（6，0），半徑R=4，求此圓的方程。

問題：此圓有一半埋在地下，求其在地表面部分的方程。

探究：若∣AB∣=4，如何建立坐標系求AB的中垂線的方程。

[幻燈片10]

題型探析

題型1判斷曲線與方程的對應關系

例1：下面的曲線C的方程是否為所列方程，為什么？

圖2

（1）如圖2，曲線C為△ABC的中線AO，方程：x=0；

思維突破：曲線的方程需要滿足以下兩個條件：

①曲線上的點的坐標都是這個方程的解；

②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點。

自主解答：①不是。不符合上面的；②，如P（0，-1）在x=0上，卻不在曲線C上。

[幻燈片11]

例1：下面的曲線C的方程是否為所列方程，為什么？

（2）曲線C是到坐標軸距離相等的點組成的直線，方程：x-y=0.

思維突破：曲線的方程需要滿足以下兩個條件：

①曲線上的點的坐標都是這個方程的解；

②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點。

自主解答：2）不是。不符合上面的①，如P（-1，1）在曲線C上，卻不在方程x-y=0上。

[幻燈片12]

【變式與拓展】[2]

圖3

1.如圖3所示的曲線方程是（B）

A. B. C. D.

[幻燈片13]

2.下列方程與圖形對應的是（C）

【解析】選C，選項A中不對應，應為整個圓；選項B中應還有一條直線y=-x；選項D中需要x>0，y>0.

[幻燈片14]

⒊方程 表示的圖形是

【解析】由

故，方程 表示的圖形是四個點。

[幻燈片15]

⒋試畫出方程 所表示的曲線。

【解析】由原方程知

由原方程得 ，則 ，所以 。

故原方程等價于 ，（其中 ），其圖象如圖4。

圖4

[幻燈片16]

題型2求曲線的方程

例2動圓與x軸相切，且被直線y=x所截得的弦長為2，求動圓圓心C的軌跡方程。

解：設動圓圓心C（x，y），直線與圓相交，依題意得

，化簡得動圓C軌跡方程 。

[幻燈片17]

【變式與拓展】[2]

5.有一曲線，曲線上每一點到x軸的距離等于這點到A（0，3）的距離的2倍，試求曲線方程。

練習：點P（a，b）到x軸的距離是；點P（a，b）到y軸的距離是；點P（1，b）到直線x+y-1=0軸的距離是；

[幻燈片18]

本節小結：

1.回顧上述解題過程，請同學總結求曲線（圖形）方程的一般步驟（教材P-36）：

（1）建系，設點：建立適當的坐標系，用有序實數對（x，y）表示曲線上任意一點M的坐標；

（2）列式（找等量關系）：寫出適合條件p的點M的集合P{M|p（M）}；

（3）代換：用坐標表示條件p（M），列出方程f（x，y）=0；

（4）化簡：化方程f（x，y）=0為最簡形式；

（5）檢驗：說明方程的解，是否都滿足曲線要求，在判斷時，需同時判斷方程的解不比曲線上的點多，曲線上的點不比方程的解多。

[幻燈片19]

2.建立好的坐標系要具有以下條件：

（1）要有良好的對稱性；

（2）盡可能少引入字母。

3.描述曲線與方程的關系必須說：

（1）曲線上點的坐標都是方程的解；

（2）以方程的解為坐標的點都在曲線上，兩點缺一不可。

[幻燈片20]

作業：課本P-37（共四題）練習3；A組3、4；B組2

五、問題討論

（一）教師也需要“動手做，動腦想”

教學實踐是復雜的，教師必須對不確定、不可預測的教學情境作出解釋和決策。教學工作需要“邊做邊想”是由教學工作本身的性質所決定的。教師的專業成長體現為其策略、案例知識的增加，融合為教學的實踐智慧，它存在于個人經驗，鑲嵌在教學行為和教學情景之中。因此我們教師是否也應提倡“動手做，動腦想”，在行動中反思？

（二）教學的“歸位”

課程改革提出“以學生發展為本”，這句話已朗朗上口，但是否已真正深入人心？在課例的實施過程中，反思困惑我們的始終是：眼中只有“知識”而不是“學生”[3]。而幾次行為跟進的方向都是一致的：回歸“學生為本”，回歸“科學的本質”。

六、課例研修反思

這次研修課活動無疑給了我有益的啟示：善于運用數學的觀點、思想、方法指導教學設計，中學數學建立在現代數學的思想基礎上，用現代數學的觀點、思想、方法、風格和語言進行中學數學教學，使學生的思維向現代數學的思維方向發展。

七、課例研修結論

（一）傳統解題教學富有成效

從課堂實錄和課后訪談的分析表明，學生在解決常規問題時表現出來的共同策略是：尋找一個熟悉的問題原型，然后按照已知的“模式”或“套路”來解決問題。就[幻燈片9]-練習而言，學生能夠通過不同的策略進行聯系與化歸（分別從式的或形的角度），這從一定意義上表明我們傳統解題教學的成功之處。

（二）合理呈現和有效組織問題是進行非常規題教學的基本前提

學生初次遇到“操作題”，感到陌生、好奇，依賴性較強，不知從何下手。正如[幻燈片10]-[幻燈片11]-例1被訪學生所講，他們相信按照教師給出的操作步驟，一步一步做，通過小組合作與交流，一定會發現結論的，即使他們自己發現不了，也可以從其他同學中學會。因此他們對解決這類問題是有信心的。這從另一個側面表明，在初次遭遇這些非常規題時，教師提供必要的“腳手架”（如提示或操作步驟），以及合作交流形式是十分有益的。

八、結束語

基于真實情景的“問題-解決”教學模式本身而言，合適的真實情景的創設、課堂教學過程中高度的開放性和靈活性、對教師知識結構的高水平要求等，都使這種教學模式具有極大的挑戰性。

然而，“教育是教人們掌握如何運用知識的藝術。”（《教育的目的》諾斯·懷特海）雖然這是一門很難的藝術，但卻具有教育的真正價值！

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準（實驗稿）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]賈鳳山，肖曉強.高中新課程學習指導?成才之路（人教A版選修2-1）[M].北京：中國和平出版社，2015.

[3]張奠宙.教育數學是具有教育形態的數學[J].數學教育學報，2005（8）：1-4.

[4]劉長春，張文娣.中學數學變式教學與能力培養[M].山東教育出版社，2001.

基金項目：本文系：廣西教育科學“十二五”規劃2015年度C類自籌經費一般課題“高中生在導數問題解決中的學習研究——以廣西北海為例”（批準文號：桂教科學【2015】11號，立項號：2015C114）的階段性成果。