《整式的除法》教學設計與思考

陳佳

【摘要】教師在教學《整式的除法》時，可引導學生根據乘、除法互為逆運算及整式的乘法，完成一系列由淺入深的練習，從而學習整式的除法相關知識，滲透轉化的數學思想以及由特殊到一般、由具體到抽象的數學歸納思想。

【關鍵詞】《整式的除法》 乘除逆運算 轉化 歸納

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）06A-0099-03

一、教材分析

整式的除法是整式四則運算的重要組成部分，是今后學習因式分解、整數指數冪、分式運算等內容的基礎。課本在學生學習整式的乘法后，從逆運算角度介紹整式的除法的相關內容，主要包括同底數冪的除法、單項式除以單項式、多項式除以單項式。同底數冪相除的性質也是冪的運算性質之一，它是整式除法的基礎。

對于同底數冪除法，本課只討論所得商仍是整式的情形，對于所得商是分式的情形將在后續引入負整數指數冪的概念后再討論。課本根據乘、除互為逆運算的關系，并以分配律、同底數冪的除法為依據，由具體實例得到單項式相除法則；多項式與單項式相除的第一步是轉化為單項式與單項式相除，第二步是轉化為有理數的除法與同底數冪的除法，這里滲透“轉化”的思想方法。

二、學情分析

在之前的學習中，學生已經學習了同底數冪的乘法以及整式的乘法運算，根據乘、除法是互逆的運算得出同底數冪相除性質、單項式除以單項式的運算法則。多項式除以單項式是整式除法中最后一項內容，根據乘、除互為逆運算的關系，并以分配律、同底數冪的除法為依據，由具體實例得到多項式除以單項式法則。在計算多項式除以單項式時，用單項式去除多項式的各項，從而轉化為單項式除以單項式，再歸納出多項式除以單項式的文字敘述法則，符合學生的認知規律。

三、教學目標與重難點

（一）目標

1.理解同底數冪的除法，會用這一性質進行同底數冪相除；

2.能運用整式除法的法則進行計算，體會轉化思想在解決數學問題中的應用。

（二）目標解析

達成目標一的標志是：學生能根據乘、除法是互逆運算，得出同底數冪相除的性質；會用符號語言、文字語言表述這一性質，會進行同底數冪的除法運算。

達成目標二的標志是：學生能根據乘、除法為互逆運算，得出單項式除以單項式運算法則，并運用法則進行計算；在計算多項式除以單項式時，會用單項式去除多項式的各項，從而轉化為單項式除以單項式，再用文字歸納出多項式除以單項式的法則，體會轉化思想在解決數學問題中的應用。

（三）重難點

重點：單項式除以單項式的運算法則及其應用。

難點：多項式除以單項式的運算法則及其應用。

四、教學過程設計

1.復習冪的運算性質：

am·an=am+n（m，n都是正整數）

（am）n=amn（m，n都是正整數）

（ab）n=anbn（n是正整數）

2.探索并歸納同底數冪的除法性質

問題1 填空

（1）（ ）×23=25 25÷23=（ ）

（2）（ ）×103=107 107÷103=（ ）

（3）（ ）·a3=a7 a7÷a3=（ ）

師生活動：教師提出問題，學生根據同底數冪的乘法法則運算解答，再根據除法是乘法的逆運算，得出同底數冪相除的結果。教師告訴學生也可以根據分式約分去理解同底數冪相除，即：[2523]=[2×2×2×2×22×2×2=2×21=22=4].

追問1 am÷an=（ ）

【設計意圖】讓學生感受乘、除法是互逆運算，在觀察、比較、抽象、概括中總結出同底數冪的乘法運算的本質特征，并猜想其性質，即：am÷an=am-n。

追問2 你能發現其中的規律，并用文字語言概括同底數冪的除法性質嗎？

師生活動：類比之前推導同底數冪乘法的性質“am·an=am+n（m，n都是正整數）”的方法，學生推導并歸納總結出同底數冪的除法法則：同底數冪相除，底數不變，指數相減，即am÷an=am-n（a≠0，m、n都是正整數且m>n）。

【設計意圖】讓學生體會由特殊到一般的思想，根據類比思想及方法，用文字語言概括歸納出同底數冪除法的性質。

追問3 am÷am=（ ）

師生活動：學生討論解答并說明a為什么不能等于0；教師肯定答案am÷am=1，當法則中m=n時公式同樣適用，即a0=1（a≠0），任何不等于0的數的0次冪都等于1，教師著重說明當a=0時，式子無意義，并舉例：50=1，（π-3）0=1，（π-3.14）0=1……

【設計意圖】讓學生體會由一般到特殊的思想，強化同底數冪除法的性質。

練習1 下面的計算對不對？若不對，應當怎樣改正？

（1）x6÷x2=x3（x≠0）

（2）a3÷a=a3（a≠0）

（3）y5÷y2=y3（y≠0）

（4）（-c）4÷（-c）2=-c3（c≠0）

師生活動：學生回答并相互補充。教師要著重提醒學生分析題目的條件，能否運用同底數冪的除法的運算性質以及如何正確應用。

【設計意圖】讓學生通過辨析，加深對性質的理解和應用。

練習2 計算

（1）x8÷x2= （x≠0）

（2）（-a）10÷（-a）7= （a≠0）

（3）（ab）5÷（ab）2= （a≠0、b≠0）

師生活動：學生獨立解答，學生代表板書，學生相互評價。

【設計意圖】鞏固同底數冪除法的運算性質。

3.理解、鞏固整式除法運算法則

問題2 填空： ·6x3y=24x4y2

師生活動：師生共同分析，根據除法是乘法的逆運算可得：

24x4y2÷6x3y=24x4y2÷（6x3y）=4xy

【設計意圖】讓學生感受乘、除計算是互逆運算，這一關系也是檢驗的依據。

追問1 你能用文字語言歸納出單項式除以單項式的運算法則嗎？

師生活動：學生先嘗試通過被除式與除式之間系數、相同字母的關系，總結歸納出單項式相除法則，教師最后給出單項式相除的運算法則。

【設計意圖】通過用文字語言歸納概括性質，促進學生對運算法則的深層次理解。

例1 計算：100ab3÷（-5ab）=

師生活動：教師板書講解，鞏固單項式除法法則，強調本課只研究整除的情況，在除式中所出現的一切字母，在被除式中不僅也要出現，而且其指數都分別要不小于除式中同一字母的指數。

【設計意圖】鞏固單項式除法法則，通過規范板書加深學生對法則的理解。

練3 計算

（1）-5a5b3c÷15a4b=

（2）（6ab+5a）÷a=

（3）（12a3-6a2+3a）÷3a=

（4）（12a3c-6a2+3a）÷（-3a）=

師生活動：學生獨立解答，派代表板書，師生共評。利用乘、除運算的互逆關系得出多項式除以單項式的法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。教師著重提醒學生在進行多項式相除時，為避免發生符號錯誤，不妨把多項式看成“代數和”的形式。

【設計意圖】此練習涉及到多項式除以單項式，難度稍大。先由學生自行嘗試解決，通過練習，鞏固單項式相除的方法，也暴露學生的知識弱點，有利于教學生成，實現教師再指導。最后根據乘、除互為逆運算，以分配律、同底數冪的除法為依據，由具體實例得到多項式除以單項式法則——轉化為單項式除法，從而突破本節課的教學難點，進一步提高學生分析問題、解決問題的能力。

4.歸納小結

（1）教師與學生一起回顧本節課學習的運算法則：

①一般地，單項式相除，把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。

例：-5a5b3c÷15a4b=-[13]ab2c

②一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。

例：（6ab+5a）÷a=6b+5

（2）整式除法法則是如何得到的？在應用時需要注意什么？

【設計意圖】引導學生從知識內容和學習過程兩個方面總結自己的收獲，把握本節課的核心內容——整式的除法法則，進一步體會數式通性和從具體到抽象、逆向思考的方法在解決數學問題中的作用。

5.布置作業

必做題：教材104頁練習第1、2、3題

選做題：教材習題14.1第6題

五、目標檢測設計

1.計算：

（1）（2a）3·b4÷12a3b2

（2）[-23a7b5]÷[32a2b5]

（3）[65a3x4-0.9ax3]÷[35ax3]

【設計意圖】考查學生對整式除法法則的理解和應用，其中第（2）小問涉及到符號問題，第（3）小問是多項式除以單項式。

2.（選做題）你能求出題目中被遮擋的部分嗎？

[5xy =15x2y-10xy2]

【設計意圖】考查學生對整式的除法法則的逆向應用。

六、課后思考

在整式除法的教學中，教師要注意滲透“轉化”的思想方法，多項式與單項式相除的第一步是轉化為單項式與單項式相除，第二步是轉化為有理數的除法與同底數冪的除法，教學時要注意循序漸進，在涉及符號計算時要特別強調。教學中不僅利用乘、除法互逆運算關系得出整式除法運算法則，還可以強調今后計算解題時運用逆向思維檢驗答案。

同底數冪除法運算性質，是從某些具體的數與式的計算，歸納得到一般的式的運算性質，是一個由特殊到一般、從具體到抽象的歸納過程。教師在性質和公式的教學中，要重視上述歸納過程的教學。

在整式的除法中，單項式相除是關鍵。這是因為多項式除以單項式都要轉化為單項式除單項式。實際上，單項式的除法進行的是冪的運算和有理數的運算，因此，冪的運算是學好整式除法的基石。整式除法課時可根據學生的實際情況而定，若劃分為兩個課時，可以將單項式除多項式作為單獨一個課時，擴大課堂練習容量。

（責編 劉小瑗）