整體思想在高中數學中的應用

歐陽昱燾

【摘 要】在高中數學學習過程中，做到提高解題效率，確保解題準確性是每個學生應該追求的目標。整體思想是諸多高中數學解題方法中的重要組成部分，深入領略整體思想的內涵，并將整體思想巧用于高中數學解題過程中，是每個高中生的必備技能。本文首先闡述了整體思想的內涵及重要性，其次列舉了整體思想在高中數學解題過程中的具體應用，以此優化解題策略。

【關鍵詞】整體思想;高中數學;解題效率;方法

高中數學集抽象性、邏輯性、復雜性于一體，是一門上手難度較大的學科，同時又是很多學科的基礎。在解題過程中，如果學生不能掌握好精準有效的解題方法，那么，就會降低解題效率。提高解題準確性，增加解題難度，進而降低了對高中數學的學習興趣和自信心。整體思想作為諸多高中數學解題方法中的重要組成部分，常常被運用在解題過程中，它能夠降低解題難度，幫助學生提高解題效率和解題準確性，達到提高數學成績的目的。

一、整體思想的內涵和重要性

所謂整體思想，就是指在解題過程中，通過對題目條件的解讀和分析，發掘題中各個條件之間的相互聯系，再將其中某一部分看作一個整體，利用整體換元、整體代入等方式，通過整體變形、整體構造等手段，將一個看似復雜的題目簡單化、抽象的條件具體化，在做題上有一種煥然一新的感覺。整體思想作為一種基礎的解題思想，它的運用有利于鍛煉學生對條件的整合能力、邏輯分析能力，同時，還可培養學生舉一反三的解題思想，從而提高他們的解題效率及準確性，最終達到提高數學成績的目的。

二、整體思想在高中數學解題中的具體實踐和應用

1.整體思想在復數計算中的應用

例題1：虛數z滿足z=8，求z-3z-6z-11=0的值。

分析：很多同學在解答此類型題目時的第一念頭就是直接求解虛數z，然后再代入原等式。那么，這樣的解題過程將會十分復雜，另外題中并沒有直接代入的條件和關系式。如果一昧糾結在這種解題思想中，難免會陷入解題誤區，或者說是解題黑洞，進入命題人的圈套。因此，倘若將整體思想恰當地運用到解題過程中，先運用公式轉化條件，再整體代入原等式，那么，思路立馬變得暢通，具體如下：

解：∵z=8∴z-2=0∴（z-2）·（z+2z+4）=0

∵虛數z≠2∴z+2z+4=0恒成立∴z+2z=-4

∴原式=z-3（z+2z）-11=8-3×（-4）-11=9

2.整體思想在三角函數計算中的應用

例題2：求H=sin13+cos14+sin13cos14的值。

分析：此類計算題看似只是一個簡單的三角函數求值問題，但動筆計算即可發現sin13和cos14并不在特殊的三角函數集范圍內。同時，如果使用配方法或三角函數萬能公式解法對原式中各函數逐一進行分解，不可避免需要大量的計算，這樣一來就會提高計算過程中的出錯率。而此時，若將整體思想運用其中，將不標準的三角函數式化為常見的經典的三角函數標準式，則可大大簡化計算過程，進而提高計算效率及準確率，具體如下：

解：假設H=sin13+cos14+sin13cos14

Q=cos13+sin14+cos13sin14

那么可得：H+Q=2+sin27H-Q=-0.5-sin27

兩式相加得：H=0.75即所求。

（可見，sin27并非常見的三角函數，但是前面的一正一負在兩式相加后正好可以抵消，這道題恰恰體現了整體思想運用過程中化繁為簡的作用，是一道經典的例題。）

3.整體思想在幾何問題中的應用

例題3：已知某個長方形，周長為30，面積為16，求這個長方形對角線的長度。

分析：不少學生初次解答這類問題時，腦海中第一種解題思路便是先求出長方形兩邊的長度，進而代入對角線計算式中求出對角線的長度。

計算過程如下：設長方形兩邊分別為a和b，a≦b，由題意可得2（a+b）=30，ab=16，整理可得一個二元一次方程：a-15a+16=0。

不難看出，以上二元一次方程式的解并非整數，求解起來思路單一，而且在求a值過程中可能會出錯，降低解題效率。

不如我們換一種解法，從條件中找出長方形周長、面積、對角線長度三者關系，可化簡為以下式子：

對角線長度c====

4.整體思想在求解方程中的應用

例題4：解方程（x+1）/（x+1）+6·（x+1）/（x+1）=5

分析：許多學生在解答此題時，沒有注意到等式左邊的兩項存在互為倒數的關系，因此，直接在左右兩項同時乘以（x+1）·（x+1），則x最高次數為3，增加了求解計算時的難度，不但麻煩，而且容易出錯。因此，我們可以引入整體換元思想，用m來代替（x+1）/（x+1），于是，原方程可以化簡為：m+6/m=

5，求出m=2或m=3，從而求出未知數x的值。

5.整體思想在函數求值中的應用

例題5：已知函數f（x）=x/（1+x），求H=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（1/2）+f（1/3）+f（1/4）的值.

分析：這道題主要考察學生的整體觀察能力，f（x）的具體形式已經給出，若只是將1;2;3;4;1/2;1/3;1/4分別都代入到f（x）=x/（1+x）中，那么，就會陷入出題人的圈套。解答本題的關鍵在于學會分析條件，并從條件中找到規律。例如：f（2）與f（1/2）中，x的取值互為相反數，那么，我們可以嘗試通過f（x）=x/（1+x）推導出f（1/x）的具體展開形式。沿著這個思路不難發現，f（x）+f（1/x）=1這個非常重要的規律，然后將其作為一個整體代入到H中，可快速得出答案H=3.5。

例題6：已知（2+x）=a+ax+ax+ax+ax，

求（a+a+a）-（a+a）的值。

分析：這道題是1999年的高考題，命題人著重考察的是整體思想在解題過程中的運用。不少考生直接將（a+a+a）-（a+a）展開，而展開后又沒了頭緒。利用整體思想，不妨先將該式因式分解，得到（a+a+a）-（a+a）=（a+a+a+a+a）·（a+a+a-a-a），然后將（a+a+a+a+a）與（a+a+a-a-a）看作一個整體，分別將x=1和x=-1代入，則（2+）=a+a+a+a+a;（2-）=a-a+a-a+a，易得到結果為1。

三、總結

綜上所述，以上各道例題都體現了整體思想在高中數學中多個方面的應用，主要包括在復數計算中的應用、三角函數化簡中的應用、幾何問題中的應用、方程求解過程中的應用，以及在函數求值過程中的應用等。另外，整體思想還能運用于數列求和、函數極值等問題的求簡。通過上述例題的分析過程，不難看出，高中數學知識所涵蓋的內容多、范圍廣，對邏輯思考能力及動手計算能力準確性的要求高。而整體思想具有極高的應用價值，它能夠幫助學生擅于從題目的已知條件中挖掘其內在聯系，掃除解題過程中不必要的障礙，找準突破口，進而達到提高解題效率及準確度的目的。

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