初中數學問題解決策略摭談

錢祖康

[摘 要] 問題解決是初中數學教學的重要內容，在實際教學中，問題解決能力培養的突破口在于問題解決策略的培養. 作為問題解決的前置性條件，問題解決策略可以通過問題解決中引入數學活動來得到培養，教師教學的著力點則在于強化策略運用過程，讓學生有效體驗，進而形成直覺.

[關鍵詞] 初中數學；問題解決；問題解決策略

對于初中數學教師而言，問題解決的重要性不言而喻，在經驗視角中，問題解決就是解決問題，當然也有同行將之與習題教學等同起來. 盡管我們認為這樣的認識是較為狹隘的，但不可否認的一點是，當前關于問題解決更多的是一種宏觀視角，也就是把問題解決看作是一個教學目標與思維過程并重的事物. 應當說，從理論上來講，這樣的認識是準確且全面的，但從實際教學的角度來看，由于視角過于宏觀，所以容易忽視問題解決教學中的一些重要環節，從而使問題解決沒有一個堅實的根基. 基于這樣的思考，筆者努力關注學生在問題解決過程中的思維，結果發現影響問題解決結果的，有時候并不是與問題解決相關的數學知識掌握，而是數學知識運用之前的問題解決策略運用. 也就是說，有時即使數學知識掌握得再好，但問題解決策略不當，一樣無法形成有效的問題解決能力. 因此，問題解決能力培養的首要環節，就是問題解決策略的培養. 關注其重要性并致力于其培養，可能是當前初中數學教學的一個重點.

問題解決策略之于問題解決的重要性

問題解決之所以在數學教學中得到重視，一個根本原因是，其是學生數學學習水平幾乎唯一重要的體現. 當前，核心素養正引起教育界同仁的高度重視，而問題解決能力就屬于學生應當具備的“關鍵能力”之一. 但問題解決能力的形成并不是一蹴而就的，在引導學生提升問題解決能力的過程中，是按部就班地逐步培養學生的問題解決能力，還是尋找一個突破口，以點帶面地培養學生的問題解決能力，這成為擺在數學教師面前的一個重要選擇.

傳統思路下，學生的數學問題解決能力是累積形成的，因此可能需要按部就班式的思路；而本輪的課程改革告訴我們這樣一個基本事實：即使是數學基礎最差的學生，其在問題解決的過程中也總是帶著最基本的思路. 因此，尋找一個突破口，讓學生在問題解決過程中獲得能力，可能更為實際. 而筆者在實踐中也發現，問題解決策略就是這個重要的突破口.

問題解決策略，即開始解決問題時所選擇的策略，其在心理學視角下定義為“人們在解決問題的過程中搜索問題空間、選擇認知操作方式時所運用的策略的總稱”. 問題解決的方法包括試錯法（國內著名特級教師華應龍的融錯教育有此思想，盡管其為小學數學領域，但對初中數學有積極的參考意義）、正向推導法（由已知條件向所求推導）、反向推導法（分析問題解決所需要的條件，并將之與已知條件進行對比）等. 問題解決過程中對方法的選擇，實際上就是問題解決策略的產物，因此從這個角度講，問題解決策略是問題解決者根據自己的解題經驗與智慧，選擇、組合問題解決方法的策略.

在初中數學教學中，我們常常看到這樣的現象：學生面對一個問題時，往往卡在問題解決的最初，這實際上就是策略選擇有問題，而一旦教師給學生指明解決問題的思路時，學生就能比較輕松地解決了；有時遇到一題多解的問題，學生又會根據自己的原有經驗忽視其他問題解決思路，這說明學生在重復性的解題中形成了較低的定式水平；更多的時候，學生對自己是如何成功解決問題的，或為什么無法解決問題，處于高度茫然的狀態，這說明學生對問題解決策略缺少關注與反思……凡此種種，影響了學生問題解決策略的選擇，也最終影響了問題解決能力的形成.

因此，問題解決策略就是問題解決能力培養的一個最為重要的前提，牽住這個“牛鼻子”，就可以化解問題解決中遇到的很大一部分問題.

培養學生良好的問題解決策略嘗試

有研究者指出，從更廣視域內培養學生的問題解決能力，多讓學生在熟悉的、既定的數學規律與方法之外去選擇與使用，可以有效地培養學生的問題解決能力. 在這樣的思路下，數學活動成為一線數學教師的重要選擇.

數學活動與當前初中數學教師積極嘗試的數字實驗有類似的地方，其通過學生的“做”去開拓學生的思路，培養學生的思維；同時，數學活動又不僅僅限于動手做，更側重于動腦思考. 在筆者看來，無論是做還是思，本質上都應當圍繞問題解決策略的選擇來進行. 筆者在“勾股定理”的教學中，嘗試通過數學活動來培養學生的問題解決策略，取得了一定的效果. 現對此教學過程分兩個環節進行簡述.

1. 第一個環節是“勾股定理”的建立環節

目前，勾股定理基本上都是通過畢達哥拉斯（以下簡稱畢氏）的故事來引入的，考慮到課堂容量與教學效率，畢氏所研究的地面圖形更多的是通過多媒體來呈現的. 筆者考慮到幻燈片中的圖形只能成為學生思維加工的對象，而不能成為“做”的對象，這客觀上使得學生的思維變得有些抽象，于是將畢氏的圖形變成教具——兩種顏色的等腰直角三角形，讓學生據此“拼”出不同花紋的地面，同時提出問題：在擺放的過程中，能否發現直角三角形三邊關系新的特性？事實證明，在這樣的問題驅動之下，學生相當積極，而解決問題則成為學生活動的動力.

同時，由于問題直接指向直角三角形（事實上學生此時的思維對象是等腰直角三角形），方向如此明確，使得學生對直角三角形三邊關系展開探究. 此時，便涉及問題解決策略. 事實表明：學生最初的思路是直接比較三邊的和、差、積、商關系，但很快發現此路不通. 于是，筆者提醒學生：你所研究的直角三角形處于諸多直角三角形拼成的大的圖形當中，你看到的還應當有其他圖形. 這是本活動過程中的關鍵一步，也是策略提醒的一步. 在這一提醒（實際上是策略引導）之下，學生會去研究直角三角形三邊相鄰的正方形，而正方形的數量無非是邊長、周長、面積等，當學生的思維轉向面積時，勾股定理就容易被發現了. 其后的過程同行們都比較熟悉，此處不贅述.

2. 第二個環節是“勾股定理”的應用環節

勾股定理的應用在初中數學教學中非常重要，根據經驗，初中生對勾股定理的應用往往只限于對現有直角三角形進行直接運算，而當需要構建新的直角三角形或有其他需要時，學生往往缺乏明確的策略支撐.

例如，有這樣一個問題：給你一把刻度尺，你有幾種方法得出一個圓柱形杯子的直徑？

此問題最直接的解決方法是用尺去測量杯底直徑（這種方法簡單、直接、有效，不應當被排斥在數學方法之外），而當追問學生有無第二種方法時，學生就容易卡殼. 卡殼的一個直接原因，是學生無法發現此中存在的直角三角形，即使教師提醒學生是不是可以用勾股定理求解時，不少學生仍然感覺無計可施. 此時，筆者建議不要過多提醒，而是讓學生絞盡腦汁地去想. 事實證明，當學生看到將尺斜放在杯中變成一條斜邊時，那種興奮之情是溢于言表的，而這也正是數學探究中的一種品質與意志的培養，也屬于核心素養中的“必備品格”.

類似的問題還有：已知一扇門框的尺寸是高2 m、寬1 m，那一扇長3 m、寬2.2 m的長方形木板能否從門框內通過？這個問題的解決涉及學生將門框的對角線長度與木板的寬度進行對比. 而學生的問題解決過程非常有趣，相當一部分學生都是將長方形木板要么“橫”著走，要么“豎”著走，就是想不到“斜”著走. 這些其實都是問題解決策略的一部分，教師不需要多講，可放手讓學生自己探索，最終比較門框的對角線長度與木板的寬度.

以上兩個事例表明，當問題解決不局限于問題本身，當學生能夠在一個更為真實、完整的情境中解決問題時，學生對問題本身，對解決問題所用到的數學工具的印象，往往更為深刻，對數學工具使用的熟悉程度也會大大增強.

生本視角下問題解決策略到問題解決

問題解決說到底是面向學生的，問題解決能力本質上是學生的能力培養，因而問題解決策略應當面向學生，這就是生本視角.

生本視角下，學生的問題解決策略把握得當了，那問題解決的大門也就打開了，因此，將問題解決策略的培養當成問題解決能力培養的前置性條件，邏輯上是行得通的，實踐也證明其是可行的.

當然，這里還有一個根本性的問題，即從教師教學的角度，將問題解決策略從問題解決中剝離出來加以論述，那只是為了強調其重要性；而在具體的教學過程中，問題解決本身就是一個完整的過程，是一個完整的思維，不宜剝離. 尊重學生思維的整體性，只是在問題解決過程中著力強調策略的運用，這樣才能培養學生良好的直覺，從而切實培養學生的問題解決能力.