例談如何在教學設計中有效滲透數形結合思想

杜娟

[摘 要]數學思想是數學教學中的指導性思想。經過科學的教學設計，教師可以將無形的數學思想體現到有形的設計活動中，由思維訓練間接滲透數學思想，讓學生通過深度思考感知數學思想的支配作用，通過新奇的發現感知數學思想的創造力，通過不斷地應用逐漸形成數學思想的自我暗示。

[關鍵詞]教學設計；數形結合；滲透

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）20-0043-02

“數與形”是人教版教材六年級上冊作為新增內容編入的，旨在讓學生通過自主探究發現圖形中蘊含的代數關系，嘗試運用代數關系解決幾何問題，體驗數字與幾何圖形的微妙關系，同時領悟數形結合的思想。然而，要想在教學中有效滲透數學思想，就必須開展科學的學習活動。那么，怎樣的活動才有利于數學思想的滲透？活動中如何體現數學知識和教育理念？這些都是值得深究的問題。

一、在深度思考中領悟數形結合的思想

數學思想如果沒有思考的基礎，就是空中樓閣，只有對數學知識進行深度思考，才能對知識表象背后的深層思想心領神會。因此，在教學中，教師應引導學生在數形結合的關節點進行深挖，并巧妙地誘導學生比較，讓學生在連續的思考中自發領悟。

【教學片段1】

1.觀察數字：觀察數字25的特征

師：認真觀察并揣摩數字25，分析它具有哪些特征？

生1：除了1和本身，25只有因數5。

生2：25可以分解成5的平方，是一個平方數。

生3：25的前一個數是24，后一個數是26，這三個數都是合數。

……

2.化數為形：用圖形表示數字25

師：用25枚圍棋子擺圖形，猜測一下這個圖形可能是什么呢？

生：正方形。（讓學生用磁扣擺出正方形）

3.以形解數：借用圖形探究25的特征

讓學生依據課堂提供的正方形點陣（如圖1）探尋數字25的特征。

生1：25=1+2+3+4+5+4+3+2+1。（以對角線為視點疊加）

生2：25=（1+2+3+4）×2+5。

生3：25=1+3+5+7+9。

4.在比較中體會

師：擺出方陣，數字25的特點就一目了然了。 回顧以上過程，大家有什么感想？

生1：圖形的作用真大。

生2：圖形可以展現數字背后的奧秘。

生3：有了圖形，便可以更直觀地列出算式。

以上步驟是教學本課的重點和主軸。教學時摒棄教材提供的正方形素材，改用點陣圖，這樣改動，一方面考慮到點陣可以呈現出不同的視角，而正方形圖無法斜著分；另一方面，點陣圖返璞歸真的研究方法，實際上完整再現了數學知識發生、發現的過程，使整個學習過程變得連貫。如此設計教學有利于加強數形結合意義與作用的滲透。學生比較后認識到數形結合的優越性和重要意義，切實感受到數形結合的巧妙之處。

二、在發現中感知數形結合的作用

【教學片段2】介紹“神奇的圖形數”（三角形數、四面體數、金字塔數等）

多媒體演示：1，4，9，16。

師：現在我們穿越到古石器時代，用石頭擺出這些數字，它們可以擺成什么形狀呢？

生1：正方形。

師：這樣的數字叫什么？（課件出示圖2）

生2：正方形數。（平方數）

多媒體演示：1，3，6，10，15。

師：繼續用石子擺數字。

生3：這些數字可以擺成三角形石陣。

師：這次又該如何命名？（課件出示圖3）

生4：三角形數。

師：觀察相鄰數之和，你有什么發現？

生5：1+3=4，3+6=9，6+10=16，10+15=25。

生6：相鄰兩數之和都是平方數，可以用正方形石陣表示。

師：為什么會這樣？這其中究竟有什么奧秘？

生7：道理很簡單，從點陣圖（如圖4）可以看出，兩個三角形數對拼，剛好湊成正方形數。

接著，用同樣的方法研究金字塔數與四面體數。（如圖5，過程同上，略）

如果不借助點陣圖，光憑數字學生很難發現數列“1，4，9，16”具有什么規律，而利用點陣圖將這些點數排布成正方形，其特征就顯而易見了：這些點數剛好可以排列成行數和列數相等的平面圖。幾何圖形可直觀地將數字內部規律展現得淋漓盡致。同樣地，對于三角形數列“1，3，6，10，15”，學生很難理解相鄰兩個數字之和為什么等于平方數，但是，將數字轉換成點數并將其排列成三角形后，通過對拼，就可以直觀地發現相鄰的兩個三角形點陣拼成了正方形點陣。

三、在應用中感悟數形結合的價值

任何原理和思想的價值只有在應用中才能得以體現。

【教學片段3】應用數形結合思想解題

師：你能仿照“25=1+3+5+7+9”模式列出其他算式嗎？

生1：36=1+3+5+7+9+11。

生2：49=1+3+5+7+9+11+13。

……

師：這就是觸類旁通。你能根據自己發現的規律解決下列問題嗎？

多媒體演示：1+3+5+7+…+（100個連續的奇數）=。

生3：100×100=10000。

生4：分析原有算式我們發現， 5個連續奇數相加，和為25，25=52；6個連續奇數相加，和為36，36=62。以此類推，100個連續奇數的和應為1002。

要發掘出隱藏在算式內部的規律，必須以上文提到的點陣法為基礎，將其轉化為點陣圖來理解，再利用割補法，將倒數第一行右下角多余的4個點剪切到第一行的空缺處，將倒數第二行的2個點剪切到第二行的空缺處（如圖6），剛好形成5行5列的正方形點陣。學數學不能沒有想象，想象催生發現，在理解了數形結合的思想后，只要大膽想象，就可以創造出更多結合的方法。

對數學思想的領悟和吸收，勢必要經歷從抽象到具體，從朦朧到清晰的轉化過程。本課“數與形”的教學，以“數形結合”思想貫穿始終，精選教學素材，巧設活動，讓學生經歷思索、聯想、探究、運用等有序活動，在活動中讓學生不斷提煉結晶，反復琢磨沉淀。顯然，學生只有經歷這樣的探究過程，才能深刻理解學習內容中富含的數學思想。

（責編 羅 艷）