淺談數形結合法在高中數學教學中的應用

楊永健

【摘? ? 要】數字和形狀組合中的“數字”和“形狀”是數學中最基本的兩個概念，它們是相反的和統一的。每一個數據可以轉化為與之對應的圖形，圖形也可以轉化為對應的數據。這是化抽象為具體的最佳方式，是高中生應掌握的關鍵數學思維方法。本文將詳細闡述數形結合法在高中數學中的應用。

【關鍵詞】數形結合? 高中數學? 運用

中圖分類號：G4? ? ? 文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2018.20.128

“數形組合”是解決數學問題的重要方法之一。它讓思維方式在抽象和具體之間自由切換，既有數字的嚴謹性，又有圖形的直觀性，是優化解題過程的重要途徑之一。那么，作為優秀的高中數學老師，如何在教學中運用數形結合的思想，使它更容易被學生接受呢？我有以下幾點的運用的方法，可以供讀者參考使用。

一、數形結合在函數問題上的運用

函數問題一直是高中數學的重中之重，也是高考的必修的內容。所謂“函數”，在數學中的定義是：給定一個數集A，假設其中的元素為x。現在將對應的定律f應用于A中的元素x，表示為f（x），并且獲得另一個集合B.假設B中的元素為y。則y與x之間的等量關系可以用y=f（x）表示。我們稱這種關系為函數關系，簡稱函數。所以，由函數的定義可知，函數問題與數據之間有著很強邏輯關系，還包括了基本函數、多項式函數等等。在解決函數問題時，我們可以使用“數形組合”的方法來激發學生思考。從圖形入手，運用發散思維去找到其中的解題方案。那么，我在此給出一個例子來幫助讀者來理解數形結合的運用。如題目：“已知x屬于（2，4）問：f（x）的最小值為多少？”在這個題目中，我們可以巧妙的利用一元二次函數在坐標軸上的圖像來解決問題，把這個函數的圖像畫在坐標軸上，就明白了函數的趨勢和它的特殊點的位置，那么，函數在定義域中的最小值也可以很清楚的得到了，大大的簡化的解題步驟，何樂而不為呢？

二、數形結合在方程中參數問題上的運用

隨著新課程理念在教育中的不斷推進和深化，如何使學生明確數學學習的主要目標，對于不同種類的題目、不同類型的題型，形成自己能夠靈活運用的解題方法，逐步完善自己的解題思路，全面發展自己的數學思維，提高學生自主學習的能力就成了老師、學生最關心的問題。眾所周知，方程中的參數問題一直都是考試的重心。它是培養學生抽象思維能力和新型問題的一種手段，有助于培養學生的逆向思維和發散思維能力。那么，在參數問題中如何利用“數形結合”這一方法去思考問題呢？在此，我不妨也來舉一個參數中的例子來說明觀點。

比如題目：“如果√2x+1=x+m的等式有兩個不同的實根，那么找到m的值范圍。”在這道題目中，最讓老師和學生頭疼的就是如何處理這個關于x的方程。根據標題，該等式包含兩個字母x和m，其中x是未知數，m是未知參數，對于此，我們可以將m視為已知數，則x為未知數，并且因為這是一個等式，所以左側和右側相等，并且使用“數形組合”的思維方法，我們在這里可以假設左邊的根式為f（x），右邊的方程為g（x），那么，就成功的轉化為了f（x）=（x）的形式了，在數值軸上，我們可以很容易地繪制f（x）和g（x）的圖像。底數為2x+1的函數，g（x）是一個斜率為1且截距為m的直線，在xoy軸上，要使左右兩邊都相等，那么一定是兩個圖像有至少一個公共點，只有這樣才滿足是有根的條件，所以，思考到這里，我們便把一個數字性的函數問題轉化為了一個結合圖像處理的問題了，使問題簡單化，明了化，便于學生理解和分析。這個問題是典型函數，方程和不等式的綜合問題。“數形組合”有利于思想的發展，解決問題的過程清晰易懂，并能快速找到解決問題的方法。

三、數形結合法在集合問題上的運用

在整個高中數學教學過程中，首先要揭示的關鍵知識之一就是“集合”。集合問題通常都是需要結合圖像去解決的，比如我們都很熟悉的Venn圖，數軸區間等等，所以由此可見，數形結合在集合問題也是有著廣泛的運用。下面，我也舉出一個例子來具體說明在集合中的用法。比如題目：“設集合，Q={x/x≤1}，p={x/x2-3x-4<0}求出x的取值范圍。”本主題中提到的問題是P和Q的集合，所謂的“集合”是元素即是P的元素，也要是Q中的元素，然后我們再來看看已知條件，由條件知是給出了P和Q集合的兩種集合表達形式，根據“數形結合”的方法，我們可以先在xy軸上對P集合化簡，使它的集合表達形式與Q集合的集合表達形式一致，那么由一元二次函數在圖像上的畫法，我們可以做出P集合的范圍，同時把這個范圍做在一條新的數軸上，再把Q集合的范圍也做在這條數軸上，觀察兩個集合包含了哪些區域和哪些特殊點，便寫出了P和Q的并集了。數形結合法是每一個合格的高中生應該掌握的數學方法之一，“數形結合”的形成基于數學知識、數學學習策略和數學方法的整合。在高中數學教學過程中，運用數形結合法開展教學，可以大大節省問題解決時間，提高解決問題的效率，并且可以提高學生解決問題的能力。

四、數形結合在線性規劃問題中的運用

數學知識中有一個非常有用的知識點，即“線性規劃”。運用“數形結合”的方法，同樣可以獲得不一樣的收獲。此處，我也舉出一個例子來加以佐證觀點。比如題目：“工廠打算生產A和B兩種促銷產品。每件產品的銷售收入分別為3000元和2000元。產品A和B需要在A.B.對兩種設備的處理，每個A和B處理一片A所需的工作時間分別為1小時和2小時。處理一個B所需的工作時間分別為2小時和1小時。如何安排生產可使收入最大？”這是一個應用程序問題。對應的我們可以列出關系式：x+2y≦400，2x+y≤500，x≥0，y≥0，目標函數是z=3x+2y，要求出適當的x，y，使z=3x+2y取得最大值。從“數形結合”的觀點可以先繪制了可行域，當然直線應該與可行域相交，即當滿足約束時，目標函數z=3x+2y取最大值。由此可見，數形結合在線性規劃問題中也是很重要的，我們在開展高中數學教學過程中，在教學有關線性規劃的問題時運用數形結合法是很不錯的一個選擇。

總而言之，“數形組合”的最大作用是發展和優化學生的數學認知結構。數學認知結構是學習者心中的數學知識結構。好的數學認知結構，可以便于學生提取有用的信息，考慮解決問題。形狀直觀地反映了問題，數據暗含了問題的本質，數形和數字取長補短，優勢互補。數形結合法在高中數學中的運用方法還需要教師和學生一起在教育過程中不斷探討。