數學實驗活動讓數學定理的驗證創新無限

龐小訪

[摘 要] 數學實驗激發了學生的學習興趣以及思維的提升，培養了學生的觀察與分析能力. 本文以“勾股定理的驗證”為例設計了幾種數學實驗活動，培養學生的創造性思維.

[關鍵詞] 數學實驗；創造性思維；勾股定理

《課程標準》指出“數學教學活動特別是課堂教學應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維；老師應當引導學生積極思考、自主探索、合作交流，學生學習應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程. ”可看出2011年版的課程標準非常重視培養學生在學習數學方面有關合作與交流的學習意識，數學實驗活動就是開展學生合作交流學習的有效方法. 一個好的數學實驗問題設計在學生展開合作學習中起著決定性的作用，它可以引起學生的興趣，激活學生的思維，能使學生在“做當中學數學”，體驗到學習數學的樂趣.

本文以北師大版八年級數學上冊“探索勾股定理”為例構建數學實驗活動，加強學生對“觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證”等活動過程的探索，以動手操作的活動來代替枯燥無味的理論論證，還提供了多種實驗的方法來提高學生的思維水平，讓學生把握勾股定理的各種證明方法. 通過一系列的數學活動使學生感受到數學的妙趣，思維的火花也得到點燃. 下面為數學實驗活動設計.

實驗探究一：割補法驗證勾股定理

在上一節課中，我們通過數格子的方法發現了勾股定理. 在圖1中，分別以直角三角形的三邊為邊長向外作正方形，你能利用這個圖說明勾股定理的正確性嗎？有了上節課的經驗，大部分學生都會通過對這個大正方形進行適當割補后得到圖2、圖3. （表1）

1. 將所有三角形和正方形的面積用a，b，c的關系式表示出來；

2. 圖2、圖3中正方形ABCD的面積分別是多少？你們有哪些表示方式？與同伴交流.

3. 你能分別利用圖2、圖3驗證勾股定理嗎？

實驗探究二：通過拼圖來驗證勾股定理

問題1：利用四個全等的直角三角形通過拼圖的方式來驗證勾股定理. 如圖4，在一張紙上復制四個全等的直角三角形，通過拼圖的方式來驗證勾股定理. 有哪些方法？并說說你的方法與上面實驗一的方法之間有什么聯系與差別.

問題2：如圖5，利用兩個直角邊為a，b的全等直角三角形和一個直角邊為c的等腰直角三角形來驗證勾股定理.

實驗設計流程：

1. 首先讓學生拿出課前準備好的直角邊長為a，b的四個全等直角三角形，讓學生獨立思考之后，動手拼一拼，設法得到一個邊長為c或者為（a+b）的正方形. 然后再小組交流、討論，形成共識并對拼圖結果進行展示，學生的做法可能大都是如圖6（趙爽弦圖）或圖7所示.

3. 通過以上拼圖發現歸納出實驗結論：通過構造一個圖形，利用兩種方法計算該圖形面積，即用等面積法得出直角三角形三條邊的長a，b，c之間的一個等式. 同時也讓學生明確其實圖8恰為圖7的一半.

實驗設計意圖 通過這個實驗讓學生進一步加深對問題的理解，通過拼圖活動讓學生能關注知識、方法之間的內在聯系，建立自主反思意識，滲透一定的學法指導.

實驗探究三：折紙勾股圖

你能利用一張正方形紙片通過折紙的方法來證明勾股定理嗎？

實驗設計流程：

1. 如圖9所示的正方形紙片，使用鉛筆在正方形紙片ABCD的邊CD上任取一點E，使CE=a，DE=b.

2. 使用直尺和鉛筆連接AC和BD得正方形的中心O，如圖10所示.

3. 作射線EO，交AB于點F，再將E，F兩點重合對折，折痕為GH，使用直尺和鉛筆加深折痕（其中點G在BC上，點H在AD上），如圖11、圖12所示.

4. 使用直尺和鉛筆連接EH，HF，FG，GE，如圖13所示.

5. 分別過EH（圖14）、HF（圖15）、FG（圖16）、GE（圖17）折疊即可得到“趙爽弦圖”（圖17）.

6. 在圖18的背面，過點H作HI⊥BC，垂足為I，過點F作FJ⊥CD，垂足為J，且FJ交HI于點K.

實驗設計意圖 這個實驗難度比較高，在這個實驗的過程中教師要適度地引導、激發學生的思維火花，設計這個實驗訓練學生如何應用現有的知識通過轉化思想來解決新的問題，讓學生通過自身的參與，提高對問題的理解. 取點的變換、折紙，是希望學生靈活地把陌生的問題轉化為熟悉的問題. 第6步實際上是整節實驗課的升華，與畢達哥拉斯的證法相聯系. 通過這個實驗使學生建立對知識、方法的應用，提高了學生思維水平.

課外探索——一般三角形三邊長是否滿足勾股定理

1. 計算發現

在圖20與圖21中，方格紙上每個小方格的邊長均為1，各圖中陰影部分所示的三角形的較短兩邊長分別記為a，b，最大邊長記為c，分別計算圖中a2，b2及c2的值，并填寫在表格中.

2. 上機實驗

請你根據以上實驗操作提示，任意畫一個三角形（要求，頂點均在格點上），上述發現的結論是否仍然成立？寫出你認為正確的結論. （表7）

實驗設計流程 （1）給學生演示如何利用Geogebra軟件的功能快速計算. （2）指導學生進行上機實驗，并完成實驗報告.

實驗設計意圖 讓學生熟悉Geogebra軟件的操作以及銳角三角形、鈍角三角形三邊長關系的結論.

本實驗是為北師大版《義務教育教科書數學》八年級上冊“1.1.2 驗證勾股定理”設計的. 本實驗首先利用實驗一的割補法思想來計算正方形面積，由于采用的算法不同使得正方形面積的代數表示結果不同，通過面積相等這一等量關系，得到一個等式，化簡即可得到勾股定理，感受數形結合的思想. 其次，通過不同的拼圖活動，探索畢達哥拉斯證法和趙爽弦圖法得到勾股定理的古典證法，讓同學們體會其中蘊涵的數形結合思想. 最后通過利用正方形紙片進行折紙活動，探究圖形的構成，將畢達哥拉斯證法、趙爽弦圖法和總統證法聯系起來，讓同學們再次親歷驗證勾股定理的過程，進一步豐富同學們的數學活動經驗，使其體驗到數學活動的快樂、發展動手能力、推理能力，以及分析問題、解決問題的能力，同時感受勾股定理的文化價值，掌握勾股定理的古典證法.