提升數學教學品質的七條關鍵原則

儲冬生

[摘 要]數學教學歸根到底是為兒童的數學學習服務的。支持兒童成長既是一種理念，更是一種方法和策略。要使“數學教學”走向“數學教育”，實現教學品質的根本提升，教師必須關注把握知識結構、滲透思想方法、發展情感態度、設計關鍵問題、應用合作學習、暴露思維過程、審視生活經驗幾個方面。

[關鍵詞]數學教學；兒童成長；成長支持；關鍵原則

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）26-0001-04

數學教學歸根到底是為兒童的數學學習服務的。小學數學教學應該努力追尋一種“生動且深刻”的狀態，“生動”是外顯的形式，源自兒童內心的召喚，是由兒童的認知規律和年齡特征決定的。“深刻”則是內隱的本質，源自數學學科內在的需求，是由數學的學科特質和本質屬性決定的。數學學科的課程與教學是為兒童的發展提供支持的，而且數學教學不僅僅是在“教數學”，更重要的是“育人才”。數學這門學科有其獨到的育人價值，它能夠培養人的堅韌品格和理性精神，這些都是為人的終身發展奠基的。

一、有結構的知識才更有力量

知識結構的重要性已經為所有的教育工作者所認同，因此，教師在教學中不能散點式地教學知識，而要教知識結構，以減輕學生的“知識負荷”并增強其理解力。在課堂教學實踐中發現，有些教師教的都是“假的知識結構”，例如，展現知識結構時只是給出一些連線、框圖等外在形式的圖示，這樣的形式只是便于學生記憶，對提升學生的理解力并沒有多少意義。因此，辨別知識結構的“真假”就成了教師教學首要和關鍵的問題。真正的知識結構在本質上是根據概念之間的共同性關系或者非主觀的實質性關系確定的概念結構，需要符合兩條標準：第一，概念清晰和明確；第二，概念之間的關系清晰并具有穩定性。

以教學“三角形的三邊關系”為例，“三角形任意兩邊的和大于第三邊”的更基本概念是“兩點之間線段最短”（線段公理）。從“兩點之間線段最短”的再理解入手幫助學生理解三角形的三邊關系，同時通過三角形三邊關系的分析進一步加深學生對“兩點之間線段最短”的理解，就能使學生的學習透徹又簡單。所謂“透徹”，就是對三角形三邊關系的理解有了最基本的依據；所謂“簡單”，就是將三角形三邊的性質化歸為線段公理。

換句話說，只要理解了線段公理也就意味著理解和記住了三角形三邊的性質。這種做法實際上就是將三角形的三邊關系與基本概念聯系起來，建立起概念之間的關系。兩個原理歸結成一個原理，減輕了學生的學習負擔，這就是在對基本概念的追根溯源中整理出了知識結構的意義。在本質上，知識結構就是概念的結構。

教師通常會在復習梳理階段揭示知識的結構，其實知識結構的建立從學習的起點開始就應關注。首先，學生不一定有新知識，但是卻有與新知識相關的舊知識；其次，學生都有自己獨特的認識世界以及學習新知識的方式；最后，回到知識本身，對新知識進行分析，新知識不應被理解為知識點的組合，而應該被理解為一種新的認識方式。因此，知識結構的建構應該貫穿教學的始終。

所謂“從學習的起點開始”，就是要在學新知識之前研究學生已有的知識結構與新知識之間的關系，研究新知識的思維基礎與學生已有的思維基礎之間的關系，在新知識教學中要以新舊知識的連接點為突破口，以新知識所需要的思維基礎的形成為重點，從而幫助學生學會自己反思和梳理新舊知識的關系。考量學習的成果既要重視知識的數量，更要關注知識的結構，有結構的知識才更有力量。

二、重視數學思想方法滲透

數學基礎知識與數學思想方法是數學教學的兩條主線。數學基礎知識是一條明線，直接用文字明明白白地寫在教材里，反映著知識間的縱向聯系；數學思想方法則是一條暗線，反映著知識間的橫向聯系，常常隱藏在基礎知識的背后，需要加以分析、提煉才能使之顯露出來。

在學習數學的過程中逐漸形成的數學意識、數學文化、數學精神等都是數學思想方法在人腦里的內化，是學習者在參與數學活動中的心理體驗、感悟及反思基礎上的升華。在應用數學知識解決各種現實問題時，數學思想方法比數學知識更具“親和力”，也就是說，人的“數學智能”在很大程度上是依賴于“數學思想方法”的。

數學思想方法的形成過程大致會經歷三個階段：潛意識階段、明朗化階段、深刻理解階段。由于數學思想方法的形成存在潛意識階段，因此在教學中首先需要有一個多次孕育的過程，越是復雜的、難度大的思想方法，孕育的次數也越多，也只有這樣才能讓學生形成和積累足夠多的感性認識和經驗，使學生的認識逐漸從模糊走向清晰。第二階段則是在學生對某種思想方法的感性認識或經驗已經比較豐富時實施“正面突破”，直面地介紹某種思想方法，要求學生初步掌握利用該方法解決問題的要領。最后一個階段則是順應學生思維發展的進程，安排簡單的數學思想方法的應用，促進學生在解決問題的過程中加深對數學思想方法的理解。

數學思想方法的滲透比教給具體的數學知識更加重要。就以三角形的面積公式為例，有多少人在工作以后還會用到這個公式？倒是推導三角形面積計算公式中的轉化方法常常在不經意間發揮作用。在英國的大學里，律師專業的學生至今仍要學習許多數學知識。盡管律師學習的專業課程與數學之間并沒有直接的關聯，但是，嚴格的數學訓練能夠使人養成一種堅定不移而又客觀公正的品格，形成一種嚴謹的思維習慣，這些都是成為一個好律師必須具備的素養。實際上，當他們成為著名律師的時候，學生時代所學的那些數學知識幾乎都忘掉了，但是他們當年所受到的數學訓練和形成的數學思想方法，卻一直在他們的事業中發揮著重要的作用。

數學教材的每一單元乃至每一道例題，都體現著數學基礎知識與數學思想方法的有機結合，沒有脫離數學知識的數學思想方法，也沒有不含數學思想方法的數學知識。在數學知識的發生、發展與應用的過程中，應以數學思想的形成作為數學教學的高層次追求，因為數學思想方法是數學知識的骨架與肌肉，是數學知識結構的活力與靈魂。

三、關注兒童情感態度的發展

小學數學教學應當重視學生情感態度的發展，著力通過學習內容、學習方式與手段、學習環境等激發學生的學習興趣、求知欲和好奇心，增強學生克服困難的意志和自信心，幫助學生養成認真勤奮、獨立思考、合作交流、 反思質疑的學習習慣，以及堅持真理、修正錯誤、嚴謹求實的科學態度。

具體來說，一是數學課程內容的現實性特點，有利于學生感受數學與現實生活的聯系，感受數學在現實生活中的廣泛應用，體會數學的價值。二是數學課程內容中大量生動有趣、具有教育性的題材，可以激發學生的認知需要，引發學生對數學學習的興趣，激勵學生積極參與數學學習，從而獲得積極的情感體驗。三是數學學科的內容與形式、抽象與具體、有限與無限、大與小、確定與不確定等方面的內容，既對立又統一，是對學生辯證唯物主義的啟蒙教育。四是數學學科高度的抽象性和嚴密的邏輯性特點決定了數學學習具有一定的挑戰性，要求學生在數學學習中必須具有認真負責、嚴謹求實的科學態度和刻苦鉆研、獨立思考、勇于挑戰的科學精神以及良好的學習習慣。同時，數學學習可以培養學生克服困難的意志力，使學生的個性品質得到張揚和提升。

教學活動永遠具有教育性，這是教學的基本規律，因為教書與育人是不可分割的。赫爾巴特第一次提出“教育性教學”，把教學作為道德教育的基本途徑，認為沒有道德教育的教學是一種無目的的手段。學生獲取知識技能的過程必然伴隨著情感態度的產生。例如，學生感興趣的學習內容與學習活動，必然會激發他們濃厚的學習興趣；愉悅和成功的數學學習必定會增強學生的自信心；經歷和克服數學學習活動中困難與挫折的過程，會使學生的意志得到磨煉。這些都說明數學學習中發展學生的情感態度是教育規律的必然反映和客觀要求。

2001 年課程改革后，新課程標準不僅將情感納入了數學課程目標，而且還將其置于與知識技能、數學思考、問題解決同等重要的地位。可見，數學課程本身具有情感態度方面的育人功能，它能促進學生在情感、態度、能力等方面的整體提升。概括起來，可以從以下幾個方面來關注兒童情感態度的發展：激發數學學習的興趣和求知欲，培養學好數學的自信心，獲得積極的情感體驗，形成良好的學習態度，養成良好的學習習慣，感受數學的價值，受到辯證唯物主義的啟蒙教育，等等。

四、以學習性問題驅動探究活動

從孔子的“啟發式教學”到蘇格拉底的“產婆術”，提問都是最重要的教學策略之一，因此“問題”也被稱為“最具影響力的單一教學行為”。如何理解“問題”？我以為數學教學中的問題應當是這樣的：好的問題情境就好比一個想要過河的人所處的境況，當人站在河的這一邊，其目標是河對岸，一時沒能過去時，這種情境就成了“問題”。這里的“河”，使得主體和目標之間有了距離和空缺，這種距離感或者是空缺感，就是一種“問題”。

從某種意義上看，幾個好問題就能成就一節好的數學課。學習數學首先就是要學會數學的思維方式，積累數學思維活動的經驗，而“思維從疑問與驚奇開始”（亞里士多德語）。這里的問題應該能夠幫助學生進行數學理解、數學思考和數學創新，要引導學生在自主學習中發現和提出問題。我們把這些能夠激發學生數學思考的問題統稱為“學習性問題”。學習性問題可以分為兩類：一類是顯性問題，指那些用語言明確表達的引導學生思考和探究的問題；另一類是隱性問題，指那些學生在學習過程中可能生成和發現的問題。隱性問題往往是以顯性問題為載體的，特別是探究性問題、反思性問題、評價性問題，其本身就是隱性問題產生的載體。

要設計好的學習性問題，讓數學教學活動能夠在關鍵點上展開，就要確立“三位一體”的問題觀。

第一，以學科的問題為基礎。設計好的數學問題要基于對數學知識和內容的本質的把握，倘若學科本質沒有把握住，教學就可能偏離主題。

第二，以學生的問題為起點。教學要想實現真正意義上的驅動，還必須了解學生的真實起點在哪里，只有把握了學生的學習起點在哪里和學生的困惑在哪里，教學設計才可能真正驅動學生自主學習，學習才可能真正發生。

第三，以教學的問題為引導。學科的問題和學生的問題都是教師分析教學的重要要件，進行教學設計必須將兩者結合起來。倘若教學中直接用數學的問題作為引導，也許數學教學就缺失了藝術性；如果僅僅停留在學生的問題層面上，那數學教學就可能沒有了引領性。

在進行教學活動時，教師應以關鍵問題的設計作為“突破口”，從學生真實的學習問題和困惑切入，讓“學”與“教”在“問題”的交叉點上“互動交往”，從而實現“教”與“學”的完美統一。好的問題至少應具備以下幾項特質：能統攝學科知識，貫穿學習過程；能促進能力形成，培養學習方法；能順應學生思維發展，激發學習興趣；能培養意志品質，形成質疑精神。在實際教學中，很多教師提出的所謂問題僅僅就是在學生面前挖了一條“河”，忽視了要激發學生想要“過河”的欲望。假如學生沒有要“過河”的欲望，即使面對的是“長江天塹”，對他們而言也不能形成一個真切的“問題”。

五、用合作的方式促進學生學好數學

參與、互動、互助是合作學習的基本特征，人人參與到學習中來是前提，交流互動是過程，達到“1+1>2”是目的。所謂小組合作學習，是指在若干人組成的小組中，為了完成共同的任務，經歷動手實踐、自主探索和合作交流的過程，實現有責任分工的互助性學習。

以小組討論的形式研討某些問題的解決方案，學生在討論中要傾聽（認真聽取別人的意見）、交流（發表自己的看法并對別人的意見進行糾正和補充）、協作（用不同的形式展示問題解決的過程）、分享（讓每個學生都收獲成功的體驗，并從中發展自己的學習行為）。“合作學習”的最大優點就在于保障每一個學生都有機會“沖刺與挑戰”。對于合作學習，人們大都認可它的價值，但是缺乏有效的實施技術支撐。

小組人數多少為宜？男女混合的四人小組為宜，四人小組的單位，對于所有成員彼此平等傾聽的學習關系是最合適的。倘若是五人或五人以上，往往會有人成為“客人”；倘若是三人或三人以下，則難以出現多樣化的交流。

何時實施小組合作學習？當教師提問后只有幾個學生舉手，多數學生出現困惑表情的時候，就可以組織“小組合作學習”。抓住時機實施小組合作學習，使所有的學生都能致力于“沖刺與挑戰”， 是教學成功的關鍵。

何時結束小組合作學習？小組合作學習應當是隨著“學習”的發生而發生，隨“學習”的結束而結束的。如何判斷“學習”是否形成呢？看學生的狀態：倘若學生醉心于“合作學習”，那么，“學習”是形成了；倘若學生懶懶散散、閑談聊天，那就表明“學習”正在消退。

在小組合作學習期間，教師應當做些什么？首當其沖的是關照不能參與小組合作學習的學生。因此，在小組合作學習開始后不久，教師必須讓學生一個不漏地參與小組合作學習。教師必須讓那些不能參與小組合作學習的學生融進去。接著，教師應對小組進行關照，給予難以展開討論的小組針對性的幫助，推進小組的合作學習，但切忌事事躬親、包辦代替。

最后要指出的是，自主學習與合作學習是一個有機的統一體。個體的獨立思考始終是學習的前提和基礎，合作學習前應該讓學生獨立思考，使每一個學生能夠經歷解決問題的過程，形成解決問題的情感，拓展思考的角度、豐富思考的方法。

六、充分暴露數學思維過程

研究數學主要是思維活動的過程。從某種意義上看，數學教學就是數學思維活動的教學。思維活動應當是數學教學研究的主要對象，暴露學生的數學思維過程應成為數學教學的指導原則。

當前數學教學中，掩蓋或忽視數學活動中的思維過程的現象比比皆是：不重視概念形成的過程，不重視結論推導的過程，不重視方法思考的過程，不重視問題發現的過程，不重視規律被揭示的過程……因此，教師應當充分重視思維活動的展開，發掘思維活動的意義與價值。

數學知識結構的形成是數學思維活動的顯著成果，數學思維的宏觀過程與知識結構間的關系不容多說，數學思維的微觀過程與知識結構的發展與形成也存在緊密聯系。一些學生難以從知識結構的整體上把握數學的概念、公式、方法和技巧，其根本原因是在學習中不自覺地掩蓋了數學思維過程的某些環節，而這些環節對其知識結構的完善是具有強力支持的，這樣就出現了思維脫節的現象。

在數學教學中存在著三種思維活動，這就是數學家的思維活動（學科思維）、教師的思維活動（教學思維）和學生的思維活動（學習思維）。教師是通過自己的思維活動在學科思維與學習思維之間架設橋梁。因此，教師要致力于暴露數學思維的過程，不僅要暴露數學家的思維過程，還要充分暴露師生的思維過程，這是數學活動成功進行的體現，是體現教師主導作用與學生主體地位的保證，是形成良好教學結構的基礎。暴露思維過程對于教師的教學和學生的學習意義重大，充分暴露思維過程能夠讓學生的數學學習更有效，使教師的教學更具針對性。很多時候，教師的教學低效甚至無效的原因就是對于學生認知上的誤區和盲點認識不足。

從思維結構形成和發展來看，充分暴露數學思維的過程，能有效促使學生思維結構的形成與發展。不同的思維形式作用于思維過程的不同階段（環節），若長期片面強調某些思維環節，將致使思維結構發展不均衡，易造成思維結構的缺陷。充分暴露數學思維過程，不掩蓋數學思維的每個階段（環節），是促使學生形成良好思維結構的保證。因此，長期堅持暴露數學思維過程，突出數學思維中的基本單元，必然能幫助學生沖破具體思維程式的束縛，形成分析問題和解決問題的能力。

七、基于學生已有的生活經驗展開教學

學生的數學學習有兩個基礎：知識和經驗。長期以來，教師在分析學生的數學學習基礎時往往只關注學生已經學過哪些相關的知識，而忽視了知識之外學生還具有哪些相關的生活經驗。生活經驗是學生數學學習的重要資源，尊重和承認“生活經驗是兒童數學學習的重要資源”，可以有效地幫助教師改變自己的教學方式，從而促進學生學習方式的轉變。如果教師對學生已有的生活經驗不能正確地加以分析，就很難準確地把握學生的學習起點，教學也很可能會回到“灌輸”的老路上去。

學生的生活經驗是指學生在生活中通過親身經歷、體驗而獲得的對事物的認識和反映 ，具有自然性、生成性、發展性等特點。生活經驗，如果按照對學生數學學習的作用來分類，大致可以分為以下三類。

第一類：可以直接促進學生數學學習的生活經驗。這樣的生活經驗有很多，例如在學習“長方體和正方體”“錢幣的認識”等知識的時候，學生便有不少生活經驗可以直接促進他們的數學學習。教師應當充分挖掘和利用，很好地把握住學生認知的起點。

第二類：可以通過類比來促進學生數學學習的生活經驗。這樣的生活經驗，從表面上看似乎不能與數學知識的學習構成什么直接聯系，但卻可以通過類比來促進學生的數學學習，因為它可以使抽象的知識變得更形象，更易于理解。比如：教學 “循環小數”時，可以通過激活學生在日常生活中積累的日升日落、白天黑夜周而復始的經驗來幫助他們理解“循環小數”中“循環”的含義。

第三類：可能對學生的數學學習產生負面影響的生活經驗。生活經驗的豐富性也必然導致有些生活經驗會對學生的數學學習產生負面影響，甚至有些經驗本身便是錯誤的。比如在學習“質量單位”的時候，日常生活中關于“質量”的生活經驗（指產品或工作的優劣程度）會對學生的學習產生一些“干擾”。因為無論是正確的還是錯誤的經驗，它往往都是根深蒂固的，想強制性地加以取代必然會影響學生主體性和創造性的發揮，教師應當引導學生在不斷的矛盾沖突中逐步確立正確的認識。

學生的數學學習與生活經驗是緊密相連的，他們的學習過程就是一個經驗的激活、利用、調整、提升的過程，是“自己對生活現象的解讀”，是“建立在經驗基礎上的一個主動建構的過程”。學生的數學學習活動與其說是“學習數學”，倒不如說是生活經驗的“數學化”。學生從現實出發，經過反思，達到“數學化”。在這一過程中，“數學現實”是十分重要的。對于學生來說，“數學現實”也許就是他們的“生活經驗”。一方面，豐富的生活經驗是學生學習數學的前提、基礎和重要資源，是保證數學學習質量的重要條件；另一方面，有效的數學學習也能促進經驗的應用、提煉和積累，數學學習的過程其實就是經驗積累的過程，就是一種“經歷”和“體驗”，“經驗”就是“置身情境中去感受、去體驗”！

支持兒童成長不僅僅是一種理念，更是一種方法和策略，需要落實在數學教學的點滴細節當中，“關注每一個、關注每一天、關注第一步、關注第一次”。數學教學如何才能更有效地支持兒童成長？教師是關鍵。教師如何做好兒童數學學習的支持者？首先，要關注兒童特質，要把研究兒童作為數學教學研究的第一課題，準確把握兒童的認知規律才能使得高品質的教學、學習成為可能。其次，要研究學科本質，“教什么永遠都比怎么教更重要”，教師對教學內容的精準把握，能引領學生走向更深刻、更豐富的境界。第三，要講究支持的策略，例如支持前的觀察、介入的尺度、等待的平衡、適宜的支持力度、直接支持、間接支持等。

（責編 金 鈴）