高中數學不等式解題技巧探析

【摘 要】高中數學的學習對我們的邏輯思維能力有著較高的要求，而其中不等式部分的知識更是考試中的重點及難點內容。因此，在高中數學學習的過程中，如若沒有對不等式的相關知識掌握清楚、準確，則將會在考試中喪失分數。所以，高中生熟練掌握不等式的解題技巧，對提高數學能力有著積極的作用。

【關鍵詞】高中數學；不等式；解題方法

在高中階段的數學學習中，對于我們的邏輯思維能力具有非常高的要求。而在這之中，針對不等式這一部分的內容而言，更是考試當中的重點與難點。所以，我們在學習高中數學的時候，如若沒有將不等式的有關知識進行較好的掌握，那么在考試過程中遇到有關題型時，必定不能進行較為全面的解答。因此，我們一定要把不等式解題方法加以掌握，以此使自身的數學解題能力得到一定提升。

1絕對值不等式的解題方法

針對絕對值不等式而言，在數學學習過程中，這是我們經常見到的一種不等式類型，同時這種題型在不等式中的難度也相對比較大。因此，我們在解答有關問題的時候，應當首先把不等式中的式子，通過同解的原理，將其轉變成不等式組。通常情況下，不等式組都是根據一次或是二次不等式構成。而針對兩個以上的絕對值構成的不等式來講，可以先令各個絕對值內的式子為零，將x的值求出。然后把各個不等式內為零條件下的x值，在數軸上進行標注，并在數軸上零的地方畫線，最后把共同的區域寫出，從而獲得正確答案。比如，A：x?1<3，B：（x+2）（x+a）<0，如果A為B的充分不必要條件，那么a的取值范圍為多少？在對此題進行解答時，針對我們一些學生來講，可能會求出以下錯誤答案：根據x?1<3，便可得出-24，也就是a≤-4。

2線性不等式的解題方法

在我們平時考試的試卷中，很容易考查到有關線性不等式的題型，但是通常都不會特別困難，不過還是要對此引起足夠重視。因為在線性不等式的題型之中，涵蓋了非常多的知識點，主要包含定義域、值域與圖形之間形成的面積變化規律等。盡管這一類題型在解答過程中較為容易，不過出錯的概率也相對比較大，針對線性不等式的具體應用來講，其關鍵解決的問題包含以下兩種情況：第一，在給定具體條件的情形下，將線性不等式的知識加以應用，從而獲得最大值。第二，在給定具體任務的情形下，將其他條件的最小值求出。例如，如若<0恒成立，那么實數k的取值范圍為多少？A、-1

針對此種題型來講，其解題方法關鍵包含了下面幾點：第一，針對給定的具體條件當中，圖形邊界沒有包括在其中的時候，應該注意使用虛線對其邊界進行標注。第二，針對線性題題型當中的二元一次不等式解題過程中，想要將其實際的面積范圍加以明確，可以在直線之外任意選擇一個點，將其代入至原不等式之中。當其坐標使不等式達到滿足的時候，那么就能夠證明此點位于有關區域之中。而當此該點的坐標與原不等式不相符的時候，那么就能夠證明直線的另一側為所求區域。第三，在平移直線的時候，應當要求直線經過所求區域。第四，當不等式題目和具體問題聯系在一起的時候，應當按照題目的要求，選擇區域經過的象限。第五，簡單線性規劃問題，其主要就是將線性目標函數在線性約束條件下的最優解求出，不管這一類型的題目是通過什么具體問題提出，其求解的格式和步驟都不會發生任何改變。

3.換元法解不等式的技巧

所謂的換元法，其實質是在對高中不等式進行解答的過程中，對較為復雜或者出現頻率較高的式子，運用一個數學符號或者變量的形式對其進行替換，將其代入到原式之后，能夠將原式大幅簡化，提供一定的解題便利。換元法主要有兩種換元形式。（1）三角代換法：多用于條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變量都用同一個參數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯系，將復雜的代數問題轉化為三角問題；（2）增量換元法：在對稱式（任意交換兩個字母，代數式不變）和給定字母順序（如a>b>c等）的不等式中，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。在三角換元中，由于已知條件的限制作用，可能對引入的角有一定的限制，應引起高度重視，否則可能會出現錯誤的結果。這是換元法的重點，也是難點。

4.反證法解不等式的技巧

所謂的反證法，其實質是有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其他性質，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及的證明不等式為否定命題、唯一性命題或含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法。反證法證明不等式時，必須要將命題結論的反面的各種情形一一加以導出矛盾。該類證明方法在對幾何問題以及不等式問題進行解答的過程中，其使用頻率較高。例如，已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac+bd。其證明方法如下：因為a，b，c，d，x，y都是正數，所以要證xy≥ac+bd，只需證（xy）2≥（ac+bd）2，即（a2+b2）（c2+d2）≥a2c2+b2d2+2abcd，展開得a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd，即a2d2+b2c2≥2abcd。由基本不等式，顯然成立。所以xy≥ac+bd。該類題目在解答的過程中，從正面對其實施證明難度相對較大。因此，運用反證法從反面對其 進行解答，能夠有效地提高解題的速度，保證正確率。

5結語

在高中階段的學習過程中，針對不等式這一部分內容來講，其是我們數學課程中的一個重要知識點，并且，這也是經常致使我們在考試中失分的主要內容。所以，我們在學習過程中，應當對不等式這一內容的重要性有一個較為全面的認識，進而對不等式解題過程中容易出現的問題做出總結。并且，我們在對此進行總結之后，還需將不等式的解題方法進行較好的掌握，通過這樣的方式提高自身的解題速度與能力，以至使自身的數學成績也隨之得到較大提升。

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作者簡介：

粟雨（2001-6），女，貴州遵義人，漢，高中，貴州省遵義市第十七中學高三8班，主要從事高中數理化研究。

（作者單位：貴州省遵義市第十七中學高三8班）