不使用微積分求最值的方法

趙金榮

摘要：本文提供了一種方法，用來求出不是二次函數(shù)的函數(shù)的最大值或最小值，不使用微積分，只需要使用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)方法及相應(yīng)的定理即可完成。并提供了典型例題說明這個(gè)方法的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：最值問題 多項(xiàng)式函數(shù) 快速驗(yàn)證

最優(yōu)化是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要指在一定條件限制下，選取某種研究方案使目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的一種方法。最優(yōu)化問題在當(dāng)今的軍事、工程、管理等領(lǐng)域有著極其廣泛的應(yīng)用。在這類問題中，在題目會(huì)有的提問中總會(huì)出現(xiàn)“最多”、“最少”、“最長(zhǎng)”或“最短”、“至多”或“至少”等問題，這類問題又稱之為“最值問題”，最值問題是普遍的應(yīng)用類問題，主要解決有“最”字的描述的問題，涉及類目廣泛，是數(shù)學(xué)、物理中常見的類型題目。

一般地，最值問題需要使用微積分的技巧，求出不是二次函數(shù)的函數(shù)的最大值或最小值。但是，也有一些涉及多項(xiàng)式或多項(xiàng)式的商的情況，不需要使用微積分，只需要使用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)便可以解決。下面的定理可以用來計(jì)算某種問題的最值問題（這個(gè)定理建立的方式之一在這個(gè)項(xiàng)目的最后給出）。

一、最大值問題的解決

定理1如果三個(gè)正數(shù)s、t和u是一個(gè)常數(shù)，那么這三個(gè)數(shù)的乘積取得最大值的充要條件是s=t=u。

在這里，會(huì)給大家提供三個(gè)例題，用來說明這個(gè)定理的應(yīng)用；然后大家就能夠自己嘗試解決接下來給出的其他問題。

例題1：已知三個(gè)正數(shù)的和是1。那么這三個(gè)數(shù)的乘積的最大值是什么7設(shè)s、t和u表示這三個(gè)數(shù)，那么就會(huì)有s+t+u=1.根據(jù)定理1.當(dāng)這三個(gè)數(shù)彼此相等時(shí)，其乘積最大，所以，在這個(gè)例題中，s+t+u=1等價(jià)于s+s+s=1，故可以得出s=l/3，由此，t和u也都等于113，那么這三個(gè)數(shù)的乘積的最大值是s+t+u=（113）（1/3）（1/3）=1/2.要快速驗(yàn)證這個(gè)結(jié)果，取任意三個(gè)正分?jǐn)?shù)或小數(shù)，使三者之和均為1，計(jì)算這三個(gè)數(shù)的乘積，可以發(fā)現(xiàn)總是小于1/27（當(dāng)然，假設(shè)您挑選的數(shù)值不全部等于1/3。）

例題2：設(shè)f（x）=2x（4-x）²。使用標(biāo)準(zhǔn)圖像法，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)的圖像的一般形狀，如圖A所示。圖像的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)是（4，0），在x軸上；第二個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)在第一個(gè)象限中，其x坐標(biāo)在4和0之間。要求出第二個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)的精確坐標(biāo)值。首先需要得到f（x）的三個(gè)組成因式，也就是2x，2-x和2+x，這三個(gè)因式的和的確是一個(gè)常數(shù)：2x+（4-x）+（4-x）=8。另外，在開區(qū)間02