在比較中促進數(shù)學概念的理解

束蘇敏 張秀花

【摘要】數(shù)學概念的建立和完善要經(jīng)歷一個完整的過程，在這個過程中，教師要為學生提供豐富的素材和有效的方法，才能促進學生更好地理解數(shù)學概念。教學時，我嘗試著將面積和周長這兩個概念在比較中系統(tǒng)認知。從周長開始，在不同的長方形中發(fā)現(xiàn)它們的大小不同，引出面積概念；接著在鋪教室地面的活動中，逐步建立起清晰的面積概念，知道物體表面的大小就是物體表面的面積；然后在比較面積的活動中，再次完善面積的概念，知道平面圖形的大小就是平面圖形的面積，且在不同的比較面積的方法中，優(yōu)化出數(shù)方格的面積比較方法；最后在拼圖游戲中，引導學生感悟兩者雖有不同，但其實也有聯(lián)系，實現(xiàn)新舊概念的融通，拓展學生的思維。

【關鍵詞】比較；數(shù)學概念；拓展思維

“面積的認識”是蘇教版三年級下冊的教學內(nèi)容，本節(jié)課是在學生已經(jīng)認識周長的基礎上學習的，又是為下面學習長方形和正方形的面積打基礎的。面積和概念是一組相關聯(lián)的數(shù)學概念，學生理解得不夠透徹的話，在實際應用時就容易混淆。教材從生活實際出發(fā)直接引出面積概念，學生可以專一的認識面積，但實際教學時感覺效果欠佳。能否在學習面積概念之前，回顧一下周長的概念，再在對比中感悟兩者的不同，即周長是圍成圖形的一周邊線的長度，面積是物體表面或平面圖形的大小。接著在數(shù)學活動中充分地認識面積，并在比較中促進數(shù)學概念的理解呢？

板塊一：回顧周長

師：同學們，認識它嗎？對，這是我們最熟悉的數(shù)學書封面，你知道它的周長在哪里嗎？用手比劃一下。

師：沒錯，數(shù)學書封面一周邊線的長度就是它的周長。今天我們的學習就從已經(jīng)認識的周長開始。

師：用一根14厘米長的線圍一個長方形，可以圍成怎樣的長方形？長和寬各是多少厘米？你是怎樣想到的？

生：可以圍出長6厘米、寬1厘米的長方形，長5厘米、寬2厘米的長方形，長4厘米、寬3厘米的長方形。

師：圍出的這三個長方形，有什么相同的地方嗎？為什么？

生：周長都是14厘米。因為線的長度就是它們的周長，所以它們的周長相同。

師：有什么不同呢？

生：長和寬各不相同。

生：它們的大小也不同，有的大，有的小。

師：你所說的大小指的是哪里呢？讓我們一起來關注下這根14厘米長的線圍成的里面部分，這兒還叫周長嗎？你知道叫什么嗎？

師：數(shù)學上，我們把邊線圍成的這一塊的大小叫作它的面積，今天我們就一起來認識面積。（板書課題：面積的認識）

師：以前聽說過面積嗎？ 舉例說說。你認為面積指的是什么？（板書：面的大小）

【評析：面積和周長是兩個彼此高度關聯(lián)，卻各有不同的兩個數(shù)學概念，也是學生在實際應用時容易混淆的知識點。比較是數(shù)學教學中經(jīng)常要用到的一種思維方法。通過比較，引導學生對數(shù)學概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性加以區(qū)別，強化概念的本質(zhì)屬性。為此，教師先從數(shù)學書封面開始，回顧一下周長的概念，再用一根繩子圍成不同的長方形，發(fā)現(xiàn)這些周長相同的長方形的大小不一樣，讓學生把注意力集中到邊線圍成的圖形里面的部分，從而引出面積。這個板塊在比較中促進數(shù)學概念的理解顯得很有實效，學生既能初步感知面積，又能明晰周長和面積這兩個概念的本質(zhì)區(qū)別。】

板塊二：認識面積

師：老師想請你們鋪一鋪教室的地面。用一個長方形表示地面，為你們準備了兩種不同形狀的地磚，一種正方形，一種圓形，在作業(yè)紙上鋪一鋪。

活動一：鋪地面

活動要求：1.同桌合作。

2.先用兩種地磚試一試，再選擇合適的鋪一鋪。

學生活動，教師巡視。

師：你們鋪好了嗎？用了什么形狀的地磚？

生：用的正方形地磚。

師：咦，奇怪了，為什么你們沒有選擇圓形地磚來鋪呢？

生：圓形地磚有空隙，不能鋪滿整個地面。需要把這些空隙也填滿才行。

師：你們試過嗎？是這樣嗎？為什么不能有空隙呢？

生：空隙的地方也是它的面積。

師：老師增加了一些其他地磚，把這些空隙填滿，現(xiàn)在鋪出它的面積了嗎？什么是地面的面積？

師：地面的大小就是地面的面積，它包括地面的每一個角落。

師：數(shù)學書封面的面積在哪呢？用你們的手摸一摸，對，要摸到每一個角落。你能說說其他物體的面積嗎？什么是課桌面的面積？

師：真棒，我們身邊有許多不同的物體，這些物體表面的大小就是它的面積。

【評析：什么是面積？教材中沒有給出明確的定義。在這個板塊，教師從概念的本質(zhì)出發(fā)，通過動手鋪地面這個活動，要求學生在正方形和圓形兩種地磚中選擇一種，鋪出地面面積，并且思考為什么不能用圓形的地磚鋪。如果用圓形地磚鋪，就必須再將空隙部分填滿。這個鋪地面的活動過程，讓學生更為直觀地感受到地面面積在哪里，地面面積包括地面的每一個角落。突出面積是整個面的大小，細化對數(shù)學概念的準確認知。接著再通過讓學生舉例身邊哪些物體有面？什么是物體表面的面積？從而讓學生明確物體表面的大小就是它的面積。】

板塊三：比較面積

1.比較面積——觀察法。

師：我們根據(jù)物體表面的形狀，可以畫出不同的平面圖形。出示一些常見的平面圖形，有：長方形，正方形，圓形，三角形。

師：它們的面積在哪里呢？老師在心里想了一個圖形，用手掌摸一摸比劃一下，請你猜猜它是什么圖形？圓形。你能像老師這樣，也用手掌摸一摸比劃出其他圖形的面積嗎？（依次出示其他三個圖形的面積）

師：這些平面圖形的大小就是它們的面積。

師：這里的面積有大有小，哪個圖形的面積最大？

生：圓形。

師：哪個圖形的面積最小？

生：三角形。

師：許多時候，我們能通過觀察，一眼比較出圖形的大小。

2.比較面積——重疊法。

師：我們僅通過眼睛看，不是確定誰的面積大，誰的面積小，怎么辦呢？比如有什么辦法來比較正方形和長方形的面積大小？

生：把2個圖形重疊起來看一看。

師：怎樣重疊？

3.比較面積——數(shù)方格。

師：還有其他方法嗎？（提醒：借助其他的東西，回憶一下鋪地面的時候）

生：還可以用其他的圖形去鋪，就能比較出大小了。

師：下面就請同學們用想到的方法去試一試，材料袋里有尺、小正方形、剪刀、方格紙等，請先看活動要求。

活動二：比較面積大小

活動要求：

1.同桌合作。

2.選擇合適的材料，比較出它們的面積大小。

學生活動，教師巡視。

交流展示

如果有學生用尺量，則

師：誰來演示一下？這樣量可以嗎？為什么？

師：用尺量出的是長度，不是面積。

重疊法：

師：哪些同學將2個圖形放在一起，重疊起來比較的？

生實物投影演示。

師：有些時候，我們可以把兩個圖形放在一起比，會發(fā)現(xiàn)圖形有部分重合，如果2個圖形都有未重合的部分，我們就需要剪一剪，再比一比。

數(shù)方格：

師：哪些同學像鋪地面一樣，用擺小正方形的方法比較的？

生：我用長16個小正方形鋪滿了大長方形，又用16個小正方形鋪滿了大正方形，所以它們的面積一樣大。

學生操作演示，其他同學一起跟著數(shù)。

師：我發(fā)現(xiàn)有人用這個方格紙來量的，速度可快了，誰來演示一下？

學生操作演示，其他同學再次一起跟著數(shù)，感悟面積大小。

師：剛才的方法，你喜歡哪一種？為什么用方格紙測量面積？有什么好處？

師：老師也喜歡用方格去量，用方格量，面積的大小就可以用一個準確的“數(shù)”來表示。這種方法叫作數(shù)方格，是我們認識面積常用的方法。（板書：數(shù)方格）

【評析：平面圖形的大小就是它的面積。這個板塊教師從物體表面抽象出不同形狀的平面圖形，有長方形、正方形、圓形和三角形等。接著讓學生猜一猜，摸一摸它們的面積分別在哪里。進一步明確平面圖形也有面積，平面圖形的大小就是它們的面積。在第二板塊的基礎上使學生全面、正確地理解面積概念的內(nèi)涵，體現(xiàn)嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度。面積的大小比較是本課的一個難點，教師先讓學生通過觀察比較幾個平面圖形的面積大小，一眼判斷出圓的面積最大，三角形的面積最小。當正方形和長方形的面積大小不能通過觀察準確判斷時，再動手操作自主探究比較面積大小的其他方法。探究數(shù)方格的方法時，重點讓學生在實物投影上展示用小正方形鋪滿大正方形和長方形的過程，學生直觀地發(fā)現(xiàn)都用了16個小正方形，所以兩者面積相等。接著再引出更為簡潔的方格紙，直接數(shù)一數(shù)、比一比。最后，再伴隨著問題思考：你喜歡哪一種方法？為什么用方格紙來測量面積？有什么好處？讓學生清晰地感悟到：用數(shù)方格的方法，面積的大小就能用一個準確的數(shù)來表示了。初步認識到面積的數(shù)就是面積單位的個數(shù)，概念的認識逐步有形到數(shù)，由感性走向理性。】

板塊四：面積和周長

師：一開始，我們用同樣長的兩根繩子分別圍出了一個長方形，它們的周長都是14厘米，它們的面積各是多少？

師：比一比，你有什么發(fā)現(xiàn)？周長相等，面積不相等。

師：看來，面積和周長之間還有一些小秘密呢，究竟還有怎樣的秘密呢？咱們來玩一個游戲，先看活動要求。

活動三：游戲

活動要求：1.同桌合作，一人用6個小正方形在桌上拼出一個平面圖形；另一人在作業(yè)紙上畫出拼出的圖形。

2.想一想，它們的面積和周長各是多少？

師：同學們的創(chuàng)意真不少，拼畫出了不同的平面圖形，咱們選擇幾個有代表性的來看一看，拼出這些的跟老師揮揮手。

師：這些圖形有什么相同的地方呢？

生：面積相等，都是6格。

師：那周長呢？誰來數(shù)一數(shù)？

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？（給予學生充分交流的時間）

生：面積相等，周長可能相等，可能不相等。

師：那么，周長相等的時候，面積呢？

生：周長相等的時候，面積可能不相等，也可能相等。

【評析：面積和周長這兩個概念在實際應用中容易混淆，它們之間的變化關系更是復雜多變。為了豐富學生的認知，這一板塊教師著力讓學生在游戲中感悟面積和周長之間的變化關系，融通概念。教師先引導學生回顧課一開始用14厘米長的線段圍成的三個長方形，在比較中發(fā)現(xiàn)，它們的周長相等，面積不等。然后再用6個相同的小正方形拼成不同平面圖形，選取幾個具有代表性的不同的平面圖形，一起觀察交流，根據(jù)課堂時間及學生實際情況努力去發(fā)現(xiàn)：周長相等的時候，面積也可能相等；面積相等的時候，周長可能相等，也可能不相等。這一板塊的設計和第一板塊相呼應，既凸顯了課堂里新舊知識、前后教學內(nèi)容的聯(lián)系，又融入了辯證的思想，相得益彰。】

【作者簡介】

張秀花，江蘇省特級教師，江蘇省人民政府教育督導團專家組成員，省小數(shù)會常務理事，揚州市教科院小數(shù)教研員。榮獲全國教科研先進個人，省先進教育工作者，省“333”高層次人才培養(yǎng)對象，江蘇省教師資格證書考試省級考官，揚州市“領雁工程”第一層次培養(yǎng)對象，多次應邀到貴州、青海、山西、湖南等地公開教學和科研講座。在《人大復印資料（小學數(shù)學教與學）》等中文核心期刊發(fā)表多篇科研論文，科研業(yè)績?nèi)刖帯短丶壗處熕枷脘洝贰€人專業(yè)發(fā)展成果在《小學數(shù)學教學》《小學教師培訓》等雜志以名師在線、特級訪談等形式推介。2017年前往美國加州長灘州立大學研修畢業(yè)，目前主持兩項省“十三五”規(guī)劃重點課題。

束蘇敏，揚州市小學數(shù)學中青年教學骨干，曾獲江蘇省“藍天杯”課堂教學比賽一等獎，揚州市“百堂好課”一等獎，揚州市“智慧課堂”錄像課一等獎等；多篇論文在各級各類雜志發(fā)表或獲獎。