整體意識：完善思維結構的一劑良方

馬奇

[摘? 要] 文章以一堂整體思想習題課實錄為例，探討習題課中，如何滲透整體意識，以達到完善學生思維結構的目的.

[關鍵詞] 整體意識;思維結構;初中數學;運算能力

數學運算是數學核心素養之一，培養學生的運算能力是初中數學教學的目標之一. 因此，在數學教學中，運算能力培養是數學教師的核心任務[1]. 然而，在日常教學中，我們發現：初中學生的運算能力不容樂觀，“小錯天天有，大錯三六九”，歸根結底是學生對問題的觀察能力不夠，分析能力不夠. 因此，教師有必要調整教學策略與方法，把運算能力的培養作為數學教學的首要任務. 數學思想是數學的靈魂，也是解題的法寶. 有道是：數學解題，思想先行. 整體思想，是數學解題的重要思想方法之一，是簡化運算、優化解題過程的助推器. 然而，學生卻不善于利用這種思想. 因此，教師在教學中應滲透整體意識，以達到完善學生思維結構的目的. 為此，筆者在中考復習階段，給學生上了一堂應用整體思想解題的習題課，下文就是這堂課的實錄.

課堂實錄

1. 引入例題，認知整體思想

【引例】已知-=4，則的值等于（? ? ）

A. 6? ? ?B. -6? ? C.? ?D. -

教師點撥：根據條件顯然無法計算出a，b的值，只能考慮在所求代數式中構造出-的形式，再整體代入求解.

學生解答：

=

==6.

教師提問：本題也可以將條件變形為b-a=4ab，即a-b=-4ab，再整體代入求解. 這種解題方法體現了數學解題中的哪種思想？

眾學生：整體思想.

教師：對！整體思想，整體思想是指在研究和解決有關數學問題時，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特征，進而對這個問題進行整體處理，它是一種解題方法，更是一種數學思想[2]. 從整體上去認識問題、思考問題，常常能起到化繁為簡、變難為易的作用. 這種思想的應用能訓練大家思維的靈活性. 我們遇到的整體思想主要有：整體代入、整體加減、整體代換、整體聯想、整體補形、整體改造等等. 整體思想不僅在代數問題中應用廣泛，在幾何問題中也大有用武之地. 只要我們善于觀察，就一定能從題目中捕捉到“整體思想”的信息.

2. 小試牛刀，應用整體思想

師：既然整體思想為我們解題打開了快捷的綠色通道. 那么讓我們一起來感受一下它的神奇魅力吧. 請同學們合作完成下面幾個問題，并選幾位交流.

題1已知關于x，y的二元一次方程組3x-ay=5，

x+by=11 的解為x=5，

y=6， 那么關于x，y的二元一次方程組3（x+y）-a（x-y）=5，

x+y+b（x-y）=11的解為______.

題2已知+4

+=，求1872+48

的值.

10分鐘后，教師請兩位學生上講臺交流并展示.

學生1：對于題1，如果把x=5，

y=6代入3x-ay=5，

x+by=11，解出a，b的值，再代入3（x+y）-a（x-y）=5，

x+y+b（x-y）=11進行求解，應當是可行的，但運算量比較大，相對而言比較煩瑣.

解：在方程組3x-ay=5，

x+by=11中令x+y=m，

x-y=n，則此方程組變形為3m-an=5，

m+bn=11，對照第一個方程組即知m=5，

n=6，從而x+y=5，

x-y=6，容易得到第二個方程組的解為

x=，

y=-，這樣就避免了求a，b的值，又簡化了方程組，簡便易操作. 故本題答案為：

x=，

y=-.

學生感悟：本題通過整體加減既避免了求復雜的未知數的值，又簡化了方程組，解答直接簡便.

學生2：對于問題2，如果我們把題目中的x看成一個未知數來求，然后將它代入1872+48

中求值，計算量非常大，最終結果可能會導致“無功而返”，如果我們把+看成一個整體，通過通分得到，再把它看作一個整體，取其倒數就是，利用這種思路解答，本題就變得輕而易舉了.

解：因為+4

+=，即+4

=，故4

= ，則=，所以=. 把=代入得1872+48×=2000.

學生感悟：從本題的解答可以看出，整體思想與換元法類似，把某一部分看作一個整體來處理，能讓我們少走彎路，直達目的地.

師：兩位同學的分析、解答和感悟都十分精彩，我們為他們的精彩發言鼓掌. （學生熱烈鼓掌）

3. 自主練習，升華整體思想

我的課堂我做主. 學生已經初步認識了整體思想在解題中的重要性，接下來，教師要求學生自己查閱資料，找到體現整體思想的練習題，并說出自己的解題感受，允許小組合作完成. 在學生探討問題時，教師巡視，并回答學生隨時提出的問題. 十分鐘后選擇部分學生交流發言.

學生3： 我說一個代數式求值問題：已知a-b=b-c=，a2+b2+c2=1，求ab+bc+ca的值.

本題用常規思路做，就是由已知條件求出a，b，c的值，再代入待求式計算，解答過程十分煩瑣，而注意到由a-b=b-c=可先求出a-c的值，再將ab+bc+ca變形，用a2+b2+c2、a-b、b-c及a-c來表示，這樣整體代入之后題目就變得簡單多了，解答如下：

由a-b=b-c=，可以得到a-c=. 由（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=2（a2+b2+c2）-2（ab+bc+ac）得到 ab+bc+ca=（a2+b2+c2）-[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]，將a2+b2+c2，a-b，b-c及a-c的值整體代入，可得ab+bc+ca=1-

2+

2+

2=1-×=-.

學生4：我舉個數值比大小的例子：若M=123456789×123456786，N=123456788×123456787，試比較M與N的大小.

本題的數值較大，求出后再比較大小顯然行不通. 我通過仔細觀察發現，這些數都在123456788左右波動，于是不妨將123456788看成一個整體用a代換，于是123456789=a+1，123456786=a-2，123456787=a-1，于是M=（a+1）（a-2）=a2-a-2，N=a（a-1）=a2-a，故M-N=（a2-a-2）-（a2-a）=-2<0，由此可得M

學生5：剛才兩位同學舉的例子都是代數問題中的整體思想的應用，我認為幾何問題中也可以應用整體思想，從而讓解答更精彩. 我舉例如下：如圖1，六邊形ABCDEF的六個角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，則六邊形ABCDEF的周長等于______.

[圖1][B][D][C][E][A][F]

對于這題，我是這樣處理的：分別作線段AB，CD，EF的延長線和反向延長線，使它們交于點G，H，P，如圖2. 因為六邊形ABCDEF的六個角都等于120°，故六邊形ABCDEF的每個外角都是60°，故△AHF、△BGC、△DPE、△GHP均為正三角形. 于是GC=BC=3，DP=DE=2， GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2. 故六邊形ABCDEF的周長為：1+3+3+2+2+4=15.

[圖2]

本題采用了整體補形思想，我根據已知圖形的特點，將不規則或不完整的圖形，通過簡單的拼接，補充成規則的或完整的圖形，從而將它轉化為規則圖形加以解決.

……

下課鈴響起，學生們卻意猶未盡，筆者只好讓學生把自己找的相關題目作為今天的作業，明天課上繼續交流.

一點感悟

阿基米德曾經說過：“給我一個支點，我就能撬起地球. ”學生在數學學習中，這個“支點”由誰給呢？當然是教師. 教師是課堂教學的組織者、指導者與參與者，更是學生課堂活動的策劃者與學生思維的引領者. 平時我們經常埋怨學生，這道題做了很多次還是不會做. 是學生真的不會做，還是教師根本沒有教會他？這個問題值得深思. 利用整體思想解題一直是學生的弱點，遇到復雜的問題，他們往往感到茫然. 筆者認為，造成這種現象的原因是教師沒有在恰當的時機加以引導與啟發. 教師教給學生的知識往往是零散的，沒有整體性，因而導致學生思考問題過于片面，只見樹木，不見森林，真可謂“不識廬山真面目，只緣身在此山中”. 要徹底改變這種現象，教師應在教學中不斷滲透整體思維，幫助學生搭建知識結構和思維框架，如引進思維導圖，教師可以課堂上提出一個中心問題，讓學生全方位地整體思考，相互補充，就像本節課，不僅激發了學生的學習熱情，吸引每個學生參與到課堂活動中來，而且隨著問題的解決，學生的整體意識被激發，思維能力也有了很大的提高.

參考文獻：

[1]吳海寧. 體悟數學：讓數學核心素養的種子在課堂中萌發——以“6.1線段、射線、直線”一課為例[J]. 中學數學雜志，2019（02）.

[2]張新志，周春霞. “合一”何須“分二”——例談數學解題中的“整體”策略[J]. 中學數學研究（華南師范大學版），2019（01）.