數(shù)學建模：從方法到思想

沈磊

[摘? 要] 初中數(shù)學教學，正面對著核心素養(yǎng)培育的需要，在數(shù)學學科核心素養(yǎng)中，有包括數(shù)學建模在內(nèi)的六個要素，對數(shù)學建模的認識，要明確從“方法”到“思想”的途徑，這樣能有效促成數(shù)學建模作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)要素的落地，進而促成整個數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落地. 對于初中學生而言，數(shù)學建模要想從方法上升為思想，關鍵在于促進學生對數(shù)學建模的問題解決性認識，而這個促進的載體，就是實際問題的解決，就是學生在實際問題解決過程中對數(shù)學模型的認識.

[關鍵詞] 初中數(shù)學;核心素養(yǎng);數(shù)學建模;教學認識;模型思想

教師對教學的認識，往往建立在對具體教學思路、教學內(nèi)容、教學方法的基礎之上. 其中，教學思路往往由教學理念決定，而教學內(nèi)容則由課程標準與教材確定，至于教學方法，這看起來是一個絕大多數(shù)教師耳熟能詳?shù)母拍睿┤鐚τ诔踔袛?shù)學教學方法，教師脫口而出的往往就是數(shù)形結(jié)合、模型等，在實際教學中對教學方法的強調(diào)，更多的側(cè)重于讓學生掌握建構(gòu)數(shù)學知識的思路與解決問題（解答習題）的辦法. 相比較而言，很少有教師能夠真正從“思想”的角度，引導學生建立對數(shù)學學習的認識.

當下的初中數(shù)學教學，正面對著核心素養(yǎng)培育的需要，在數(shù)學學科核心素養(yǎng)中，有包括數(shù)學建模在內(nèi)的六個要素，筆者以為對數(shù)學建模的認識，要明確從“方法”到“思想”的途徑，這樣才能有效促成數(shù)學建模作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)要素的落地，進而促成整個數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落地. 下面就結(jié)合這一觀點，談談筆者的一些不成熟的思考.

作為方法的數(shù)學建模

數(shù)學建模首先是作為方法存在的，需要認識到的是，作為方法認知的數(shù)學建模，對于初中學生的數(shù)學學習來說，已經(jīng)是一個重要的認識上的進步. 因為根據(jù)教學經(jīng)驗可以發(fā)現(xiàn)，相當一部分學生在數(shù)學學習中實際上處于高度的無意識狀態(tài)，教師講什么他就學什么，教師怎么講他就怎么聽. 這里固然與教師的教學導向有關系（沒有真正將學生放在主體地位），其實也與學生自身的學習認識有關系. 筆者在教學中一直跟學生強調(diào)，數(shù)學學習中一定要以“我”（指學生自己）為主，教師的講解、訓練是“幫助”自己學習的. 而學生一旦形成這樣的認識，在數(shù)學學習中就更加容易形成方法意識，于是數(shù)學建模作為一種方法的掌握也就成為可能.

對于數(shù)學建模的認識，通常是這樣的：數(shù)學建模是引導學生學會“用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維思考世界，用數(shù)學語言表達世界”的重要載體，是促進學生思維能力、實踐能力和創(chuàng)新意識發(fā)展的重要素養(yǎng). 在初中數(shù)學教學中，作為方法的數(shù)學建模教學，可以是這樣的（以“一元二次方程解決實際問題”的教學為例）：

給學生提供具有實際生活意味的素材，如筆者到生活中尋找到傳播類的題材給學生創(chuàng)設了這樣的一個情境：某地某次爆發(fā)了急性傳染性流感，假如該流感傳染時每輪都以相同比例傳染，在其傳染了兩輪之后達到121人，那每輪傳染是傳染給多少人？（設最初是1個人患此流感）

對于這個問題的解決，學生首先需要讀懂問題的表述，弄清“傳播”過程，建立清晰的“傳染模型”. 實際教學中，作為方法的數(shù)學建模，筆者的引導是基于學生的分析過程而進行的，具體包括：設未知數(shù)，尋找等量關系，求解方程. 其中建立等量關系是最關鍵的，如果設每次傳播x個人，則在建立等量關系的時候，邏輯就是先判斷一輪傳染后有多少人患上流感（用x來表示），第二輪傳染后有多少人患上流感. 這兩個問題一解決，等量關系自然建立.

從數(shù)學建模方法掌握的角度來看，最關鍵的一步是反思上述問題解決的過程，通過思路的整理，讓學生明確本問題的解決，關鍵就在于一元二次方程思路下的等式建立. 學生一旦形成這個認識，那就是方法性的認識，也就從方法的角度對數(shù)學建模建立了理解.

作為思想的數(shù)學建模

從數(shù)學建模的方法誕生的角度來看，人們認識到數(shù)學建模的價值，就在于其在解決實際問題的時候所起的作用. 眾所周知，數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng). 數(shù)學建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題，提出問題;分析問題，建立模型;確定參數(shù)，計算求解;檢驗結(jié)果，改進模型，最終解決實際問題. 當然，對于初中學生而言，數(shù)學建模的過程沒有這么復雜（譬如上面的例子就具有一定的代表性），但可以肯定的是，在學生掌握了數(shù)學建模的方法之后，要幫學生形成一種思想性認識，這樣能夠促使學生更好地建構(gòu)數(shù)學知識，同時形成對數(shù)學學科的認識. 有研究表明，建立數(shù)學模型思想能夠幫助學生更好地體會數(shù)學和外部世界之間的聯(lián)系，建構(gòu)基本的數(shù)學模型、推廣已有的數(shù)學模型、演繹更多的數(shù)學模型其實都是包含在模型思想范疇內(nèi)的具體環(huán)節(jié)，教師有意識、有計劃的訓練能幫助學生獲得以一當十的數(shù)學建模與演繹能力. 在實際教學中，筆者進行了這樣的嘗試（仍以“一元二次方程解決實際問題”的教學為例）：

問題情境的創(chuàng)設：根據(jù)世界衛(wèi)生組織的界定，甲型流感是傳染性最強的疾病之一，假設某地1人患甲型流感之后，在兩天之內(nèi)就有可能傳染為9人，試判斷1周內(nèi)的傳染人數(shù);如果采取措施將傳染速度降至原來的一半，那一周后有多少人感染？

學生在分析第一個問題的時候，可以用上面例子中形成的認識進行遷移，困難相對不大，這里不再贅述. 對于第二個問題，學生很容易想到運用相同的一元二次方程的模型來解決，但是這里更會讓學生形成的一個認識是：一元二次方程不僅是數(shù)學課堂上用來解題、得分的工具，更是可以解決人們在生活中遇到的類似疾病傳播類問題的工具. 這就是數(shù)學知識的實用價值！

這樣一個問題的解決，看起來與上面的例子相同，但實際上這里的兩個問題各具價值：對于第一個問題而言，是利用學生已經(jīng)形成的對數(shù)學建模的方法認識，去再次分析、解決問題，從而鞏固對數(shù)學建模的認識;第二個問題其實非常關鍵，因為這是學生運用數(shù)學建模的方法獨自解決實際問題的過程，這個過程中既要用到原來建立的模型，同時還會讓學生認識到在類似疾病傳播類的問題中，建立科學的模型，并調(diào)整其中的參數(shù)，是真真實實的可以治病救人、化解社會矛盾的舉措. 這種從生活走向數(shù)學，又從數(shù)學走向社會的認識過程中，數(shù)學模型起著不可替代的作用，其在強化學生對數(shù)學建模的認識時，很容易在學生的心目中烙下深刻印象，從而使得學生對數(shù)學建模的認識真正實現(xiàn)從方法到思想的轉(zhuǎn)變. 也因此筆者以為：對于初中學生而言，數(shù)學建模要想從方法上升為思想，關鍵在于促進學生對數(shù)學建模的問題解決性認識，而這個促進的載體，就是實際問題的解決，就是學生在實際問題解決過程中對數(shù)學模型的認識.

核心素養(yǎng)與數(shù)學建模

在理解了數(shù)學建模從方法向思想轉(zhuǎn)變的認識之后，再從核心素養(yǎng)培育的角度來認識數(shù)學建模，還可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學建模存在的價值遠遠超過對其在日常教學尤其是應試形態(tài)下的理解.

實際教學中，由于應試的需要，包括數(shù)學建模在內(nèi)的數(shù)學思想方法，更多地被作為提升學生解題能力的工具，這顯然讓數(shù)學建模的價值大打折扣. 實際上分析學生在數(shù)學建模過程中的心理活動，會發(fā)現(xiàn)在建模的時候，學生都能夠非常廣泛、充分地調(diào)動已經(jīng)學習過的數(shù)學知識，尤其是能夠發(fā)揮想象去猜想可能的模型（包括所用到的數(shù)學知識，但這個時候的數(shù)學知識常常是以模型的形態(tài)存在的），這種猜想、想象對于學生的數(shù)學學習來說，影響巨大. 著名科學家愛因斯坦有一句名言：想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力包括世界的一切，推動著進步，并且是知識的源泉. 從這個角度講，基于想象力、思維力（組成智力的核心要素）去促進學生進行數(shù)學建模，并在建模過程中形成建模能力，形成方法認知，最終形成建模思想，就是初中數(shù)學教學中數(shù)學建模的重要思路.

由此思考數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落地，筆者以為在初中數(shù)學教學中，核心素養(yǎng)的落地如果說需要尋找一個載體的話，那這個載體除了與具體的教學內(nèi)容相關之外，更與數(shù)學思想方法有關. 而數(shù)學建模既是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的六個要素之一，同時也是初中數(shù)學教學的優(yōu)秀傳統(tǒng). 在數(shù)學建模的過程中，學生通過對數(shù)學知識的綜合運用，進而建立起能夠解決數(shù)學問題、實際問題的模型，最終存在于學生大腦當中的，除了這些數(shù)學知識，也包括數(shù)學建模之類的數(shù)學思想方法. 而且相比較而言，數(shù)學思想方法更容易實現(xiàn)從數(shù)學向其他學科、其他領域的遷移，這種能力的遷移恰恰是核心素養(yǎng)所強調(diào)的關鍵能力. 因此數(shù)學建模作為最重要的思想之一，幫學生形成從方法到思想的認知，就是為核心素養(yǎng)的培育奠定基礎，其應當成為初中數(shù)學教師的教學取向.