淺談數形結合在數學教學中的運用

鄭秀菊

摘 要：數形結合是數學教學中一種較為常見的教學思維方式，它強調把抽象的思維形象化，這種教學方式更能培養學生的邏輯思維方式。同時它對于解決數學中所遇到的問題，也有著更直觀的解決方式。在數學教學中，數形結合是指在一定的條件下，利用數學知識推動“數”和“形”的結合，從而讓學生對抽象的數學思維更好理解，培養良好的數學意識。通過對數形結合概念的具體分析和延伸，闡述數形結合在數學教學中的具體應用。

關鍵詞：數形結合;數學教學;運用

“數”和“形”是數學中兩個最基本也是最古老的概念，這兩個基本概念幾乎包含了從小學到高中數學知識的全部。我國著名數學家華羅庚說過：“數形結合百般好，割裂分家萬事休。”可見數形結合就是一種對應關系，是數學語言的不同表達。數量關系和幾何圖形結合起來，就可以將數學中復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而提高對數學的認知了解，達到數學教學水平提高的最終目的。

一、數形結合在數學教學中的應用思路

在數學教學過程中，數形結合的具體應用應該按照教材理論思路，靈活地進行數與形的轉變。在具體的應用思路上，有這幾個應用思路：其一是在教學中，注重數形結合的簡便性。二是教學中做好分析數學條件的基礎。三是在具體的教學思路中，要注重一種行為依據，實現數向形轉化的解決方式。最后就是在圖形類的數學問題教學中，盡量采用以數的形式表達出來。這種相互辯證、相互影響的應用思路，是數形結合在數學教學中遵循的具體要素和思路。

1.簡便性

數形結合的最終目的就是為了簡便數學問題的解決方式，因此數形結合在應用上的最基礎思路就是注重解決問題的簡便性。如果在實際教學運用中，讓簡單的問題復雜化，那就是與數形結合的初衷背道而馳了。例如，在進行數量關系的研究教學時，可以采用圖像為基礎依托，讓抽象的數量關系在圖像的表達下顯現得更直觀，這就充分發揮了數形結合帶來的簡便性，將一些理論中的知識用圖像表達，簡便性能讓學生更好地接觸這些概念，從而大大提高數學教學的效率。

2.基礎性

數形結合對于數學教學效率的提高，主要體現在兩個方面。一是讓學生對于數學知識的理解速度加快，而且更為牢固。二是在分析數學條件的基礎上，利用數形結合具有更強的基礎性，為教學積累寶貴的經驗。例如在對圖形進行研究的時候，可以將上邊的數字的重點內容進行著重標記，這樣一來不僅能讓學生了解到數學知識的重點，還是后續實現準確分析數學條件的基礎。因此數形結合在數學教學中的應用思路上，要注重這種基礎性，確保能將數形結合的優勢發揮到最大，完全體現出數形結合穩定的優越性，這對于培養學生的自主學習能力有著很大的提升。

3.“數”向“形”的轉化

在數學中，雖然“數”和“形”并不是一種領域，但是之間的相互轉化也是數學中的一大特點。在數形結合的實際過程中，轉化方式應注重以圖形為依據，實現“數”向“形”轉化。這種思路是數形結合的具體體現，它是數形結合解決問題的重要方式。在具體的實踐中，樹立這種轉化方式的思維，對于擴大數形結合的應用范圍有著很大的幫助，同時這種轉化方式因為形象直觀，更能表達出具體的思維，在解決問題上起著定性作用。以數化形是非常重要和常見的一種類型，在使用時應特別注重。

在初中的具體教學過程中，方程求解作為數學知識中的重要組成部分，在具體教學上經常有些問題題干數據信息比較籠統和抽象，難以理清具體關系，學生在遇到這種問題時經常會耗費許多的時間，久而久之就會對方程產生一種排斥心理。這時借助數形結合的方法實現數向形的轉化，就能很好地解決這一問題。例如小明和小紅從家到學校，20分鐘以后兩個人在超市相遇，此時小紅需要回家取東西，而10分鐘后小明也往家趕，共用時15分鐘。這樣的方程問題看起來雖然不是很難，然而題干的信息卻極為混亂，此時將數據化為圖形就有了很直觀的感受，如下圖。

通過這兩個圖形可以發現，小明和小紅在各個時間段和整個路程的關系一目了然，對于題干的所有信息都變得清晰直觀。學生通過這種方式的數向形轉化學習，能夠大大降低學習方程的難度系數，而且有助于提高對方程的理解。

4.“形”向“數”的轉化

在解決一些圖形類的問題時，雖然圖形本身看上去已經更直觀更清楚，但是在定量方面，或是在解決一些復雜的圖形時，“形”向“數”的轉化就顯得尤為關鍵。其中就要將圖形中的隱含信息完全發掘出來，充分利用圖形的性質和含義，把形以數的方式進行分析計算，讓復雜圖形變成數學問題，這種數形結合的思路對于復雜的圖形數學問題有著意想不到的解決效果。因此這兩種雖然都是數形結合的應用思路，但是在應用方面上有著不同，這種辯證關系，正是數形結合的具體實踐思路。

在進行初中數學的教學過程中，絕大多數的情況是會分成三種方式：一類是數化形，一類是數變形，還有一類是數和形互相變化。用圖表等直觀地將數學中的內容表現出來，促進學生思維的拓展。

例如，下列哪些數字是不等式2x/3>50的解：76;72;78;40;60;25;90;1;55;這個不等式有多少個解？在進行解答的時候，可以利用數軸的圖形來進行解答，例如圖1。

又或者教師在講解三角函數的時候，也可以通過圖形讓學生更直觀地了解到三角函數的概念，見圖2。

教師通過使用數形結合的方式，可以將抽象化的問題直觀地表現出來，讓學生能夠了解其中的含義，將復雜的問題簡單化，增強學生對于數學知識的興趣，提高學生的學習效果。

二、數形結合在數學教學中的具體應用

數形結合已經廣泛運用于數學教學中的各個方面，無論是函數、數列還是幾何問題，都有著非常獨到的運用。

1.函數、數列問題

函數中，圖象的幾何特征和數量特征是緊緊聯系在一起的，它是數形結合的很好體現。例如在三角函數里，一般我們在解決確定單調區間問題和三角函數值比較的問題時，都會借助三角函數圖象來處理，這種處理三角函數問題的方式，就是數形結合在實際中的具體應用。這種數形結合是以幾何元素和幾何條件為背景而建立起來的概念。一般來講，具體的過程首先對問題的結構進行分析，分解已知條件和所求條件，然后通過條件之間的聯系進行對比分析，找出內在聯系，從而解決問題。

而在數列的問題上，由于數列是一種特殊的函數，因此也可以采用數形結合的思想方法去解決問題。數列的通項公式以及前n項和的公式都可以看作是關于正整數n的函數，因此用數形結合的思想研究數列問題就是借助函數的圖象進行直觀分析，從而把數列的有關問題轉化為函數的有關問題來解決，這也算是一種數形結合。

2.幾何問題

在數學解析幾何中，所采用的基本思想就是數形結合，在數學教學中，要著重培養學生善于將數形結合的思想方法運用到對點、線、曲線的研究上，這有利于培養學生對于問題的自主解決能力。而在立體幾何中，數形結合的具體實踐主要是在坐標上，用坐標的方法將幾何的相互關系進行研究，可以將抽象的幾何問題轉化為純粹的代數運算，這樣的數形結合思想在實際運用中，不僅解法便捷，還能使復雜的幾何問題迎刃而解。

通過以上數學知識對于數形結合的具體應用，我們可以總結出數形結合在具體應用中主要是實數和數軸上的點對應關系、函數與圖形對應關系、曲線與方程對應關系等。

三、數形結合在數學教學中的延伸

數形結合在實際教學中，除了要對學生進行方法的教學外，還要注重對于學生學習能力的培養，這種數形結合思想的延伸，具體有這幾個方面。

1.結合教材內容，建立數形結合的解題思想

數形結合作為數學中重要的解題方法，不僅要教會學生如何運用，更重要的是將這種思想灌輸給學生。鼓勵學生進行歸納和總結，在遇到問題時能自主想到數形結合解題思想，促進學生對數學思想的探究。如在進行冪函數、反三角函數、對數函數的教學過程中，教師要通過教材讓學生自己動手參加學習，為學生重點構造一種形象的感官性，從而培養學生的認知結構，將數形結合變為學生的思維工具，而不是解題工具。

2.結合教學問題，提升解題能力

數形結合的解題思想，為教學提供了方便，但是最直接的目的還是為了提高學生的解題能力。因此，數形結合在數學教學中的延伸，應該也以提高學生的解題能力為主要方向。在教學過程中，教師要運用實際遇到的問題，扮演指導的角色，為學生運用數形結合思想指明方向，同時對于學生遇到的困難進行疏解溝通，從而達到培養學生邏輯思維能力的目的。

3對數形結合的解題能力進行總結復習

在實際的教學過程中，教師對于學生的學習過程要注重總結復習，必須要培養學生的總結能力，這樣才可以讓數形結合的思想完全融入學生的解題思路中。其中包括對基礎知識、基礎公式、解題方法的總結，再通過例題的方式對學生數形結合思想進行鞏固。最后教師可以將各種不同的題目進行匯總，構建一個獨特的數形結合的知識網絡，從而將數形結合思想貫徹到學生的數學思維當中。

初中數學是一門偏抽象化的學科，部分數學概念和理論需要極強的邏輯性，數形結合教學方法可以在很大程度上彌補有些學生邏輯上的不足。總之，在新時期數形結合在數學教學中的應用，必須在明確應用思路的基礎上通過對各個知識點進行具體的數形結合教學，在教學基礎上進行延伸，達到培養學生數形結合思維的目的，可以從教材和學生遇到的教學問題入手，充分引領學生進行數形結合的思考，從而提高數學的教學素養，提高整個數學的教學水平。

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編輯 溫雪蓮