數學歸納法在高中數學中的應用解析

張海貝

摘要：高中數學的相關知識較為復雜，且隨著學生年齡的增長以及教學的需要，學生也應該學習一些更加深奧的知識，掌握一些更加有效的解決問題的方法，提升解決問題的能力和效率。在實踐教學過程中，數學歸納法在證明與正整數有關的數學命題當中較為常用，可以起到培養學生創造性思維、洞察能力、邏輯推理能力、歸納總結能力的作用。因此，需要在有關方面進行深入研究，增強這一方法的使用能力，提高教學效果。

關鍵詞：數學歸納法 高中數學 能力提升

數學歸納法在中學數學證明題解析過程中較為常用，尤其是在不等式證明和幾何問題證明方面，可以提高解決問題的效率。但是，數學歸納法仍然具有一定的局限性，適用范圍僅限于一些與正整數有關的命題，為此，還需要進行改進。在實際應用過程中，這一方法屬于重點內容，需要學習者對其進行深刻理解和正確使用，避免理論化的學習，要體現一種實踐操作能力，這也是素質化教育時期的要求。下面筆者結合相關的經驗以及數學歸納法的特點，并基于高中學生的思維特征，對于數學歸納法在不等式證明中的應用、在幾何問題中的應用進行詳細論述。

一、數學歸納法的基本形式

根據相關資料的介紹，有關數學歸納法的基本形式可以從以下幾個角度來理解：

第一，使用驗證性思維模式，當n取第一個值時，證明命題是正確的；第二，對于n的取值進行變化，假設當n取值為k時，證明命題是正確的，其中k的取值不固定，由此可以得出，n取值k+1時，命題也是正確的；第三，根據以上的假設和驗證結果，得出的結論為n取值為全體自然數時，命題都是正確的[1]。

通過數學歸納法的使用，可以對其進行進一步理解，簡單的概述為一種遞推思想的展現。在這一過程中，n取值為1的假設和驗證屬于后續遞推和工作開展的基礎，也是進行假設驗證過程的一種介紹，然后在此基礎之上，進行拓展研究，將n的取值進行變化，得出相應的驗證結果，為無限次遞推的可能性提供保障，這屬于整個數學歸納法中的核心部分。由此可見，這一方法的使用屬于一種量的積累，從而達到了質的飛越[2]。

二、數學歸納法的具體應用

對于數學歸納法應用的介紹主要從不等式證明、幾何問題解決兩個方面進行詳細論述，將理論與實踐結合在一起，增強對這一方法實際應用的操作能力。

（一）數學歸納法在不等式證明中的應用

在不等式證明中使用數學歸納法，可以保證過程的邏輯清晰，降低問題解決難度，增強問題解決效率。在應用過程中，如果直接進行證明，會增加問題的復雜性，這樣就需要借助于不等式的可加性和傳遞性，進行思維的拓展，發揮想象力，假設不等式與目標不等式之間的特征關系，分析問題，解決問題[3]。

案例：證明：在n為正整數的情況下，假設n個正整數的乘積等于1（b1.b2.b3.....bn=1），那么對它們進行求和，結果是不小于n（b1+b2+b3.....bn≥n）

數學歸納法應用：第一，當n等于1 的情況下，可以得出b1=1，命題是成立的；第二，假設當n等于k的情況下，命題是成立的，那么k個正數的乘積等于1，這樣一來，可以得到b1+b2+b3.....bk≥k。當n取值為k+1時，那么b1，b2，b3...bk，bk+1可以滿足假設條件，即b1，b2，b3...bk，bk+1=1，如果這k+1個正數都相等，那么他們將都是1，和為k+1，命題成立。與之相反，如果這k+1個正數并不都相等，那么將會存在大于1和小于1的情況，否則將會與b1.b2.b3.....bk+1=1相矛盾；第三，假設b1>1，b2<1，b1b2看做一個數，得出b1.b2.b3.....bk+1=1，借助歸納法對其進行假設，得出的結論為b1+b2+b3.....bk+ bk+1≥k，所以b3.....bk+ bk+1≥k- b1b2，b1+b2+b3.....bk+bk+1-（k+1）≥b1+b2+k-b1b2-（k+1）=-（b1-1）（b2-1）.由于b1>1，b2<1，那么-（b1-1）（b2-1）>0，b1+b2+b3.....bk+ bk+1-k-1>0，b1+b2+b3.....bk+ bk+1>k+1，這就證明了當n取值為k+1時，命題是成立的；第四，將以上的論證進行綜合，可以得到的結論是一切正整數n，如果n個正整數的乘積等于1，那么它們的和會大于n。

總結：在對以上問題解決的過程中，首先需要對問題進行分析，明確推理思路，然后，分析該問題解決的關鍵點所在，即需要由假設不等式成立推導出目標不等式成立，如何保證這一推理具有較強的因果關系，使得出的結論具有可信性是關鍵。因此，需要使用中間不等式，將其作為問題解決的紐帶，完成推理。

（二）數學歸納法在幾何問題中的應用

對于幾何問題的解決，主要是進行特殊問題的轉化，使其轉化為一般性問題。需要進行假設，得出一般性結論，然后作為假設條件運用到解題當中。在完成特殊性驗證之后，對于假設命題n等于k成立進行證明，得出n取值為k+1時，命題也依然成立。

案例：證明凸n邊形有多少條對角線，f（3）=n（n-3）.（n≥5）

數學歸納法應用：第一，當n取值為3的情況下，f（3）=0，而在實踐當中，三角形是不存在對角線的，所以說，原有的命題是成立的；第二，假設n取值為k時，命題依然成立，那么f（k）=k（k-3）如果n的取值為k+1，原有的凸k邊型的頂點會增加一個，由頂點Bk-1與其不相鄰的另外的k-2個頂點之間進行對角線繪制，總計的條數為B2，B3，...Bk-1，總計k-2條對角線，原有的凸k邊形的一條邊B1Bk形成了一條對角線，由此可見，當圖形的邊數增加時，k條邊到k+1條邊中共增加k-1條對角線，得出f（k+1）= f（k）+（k+1）=k（k-3）+（k-1）=（k2-k-2）=（k+1）（k-2）=（k+1）[（k+1）-3]，這就證明了，當n取值為k+1時，命題成立。

總結：在使用數學歸納法的過程中，需要理性，不能盲目，要根據問題的實際情況來判定是否使用數學歸納法，是否能夠保證使用這一方法最為優質高效，避免過程的繁瑣性，尤其是在升學考試的過程中，解題方法選擇是否科學合理，會直接影響答題速度和最終的成績，因此，要合理選擇方法。

三、使用數學歸納法解題的注意事項

數學歸納法的產生是為了服務于學習中問題的解決，屬于一種工具，為了有效的利用這一工具，提高學生在高中數學方面的學習能力，并能夠有效的利用數學歸納法，應該注重以下幾點：

（一）學生需要樹立“歸納、猜想、證明”的解題思想，這屬于一種邏輯性較強的思維，是使用數學歸納法解題的基礎、如果有關方面的邏輯思維模式和習慣形成存在問題，那么學生在解題的過程中，對于數學歸納法將會有所疏遠，并且應用過程難度也會增加。為了在有關方面進行強化，需要老師向學生介紹什么是數學歸納法，數學歸納法的由來，數學歸納法對于解題的重要性、優勢，數學歸納法在生活中的體現等等，使學生拉近與數學歸納法之間的距離，加強對其的了解和熟悉程度，這樣更有利于增強對其的興趣，為后續使用做鋪墊。

（二）進行問題證明過程中，要具有“目標意識”，善于進行問題的轉化，使思維更加靈活，不能盲目的進行有關方法的使用。比如說對于一些復雜的數學問題，使用數學歸納法時，可以根據由簡入繁、由小問題解決逐漸轉變為大問題解決，由小目標實現逐漸轉變為大目標實現等等，要逐漸展開，層層遞進，這也是數學問題解決的基本思路，不能好大喜功，任何方法都存在一定的不足，應該相互結合，有效使用。

（三）在高考過程中，對于一些與“數學歸納法”相關的題目多數會與數列結合起來進行考察，且與函數、導數、不等式等內容之間聯系密切，日常的教學培養要注重在有關方面進行訓練和拓展，加強學生的應試能力。與此同時，老師對于數學歸納法方面的教學內容設計要注重的是學生實踐能力的增強，可以通過競賽的模式增強學生的積極性，或者是使用微課的模式，通過微信、qq等等來講數學歸納法解題的全過程進行錄制，然后將視頻傳送至師生交流的平臺之上，使學生加強對其的學習，產生感官的認識，這樣會強于完全語言講解和理論闡述的效果。

四、結語

通過以上的介紹，數學歸納法在高中數學中的應用較為普遍，要對其進行深入了解，注重實踐能力，并保證使用這一方法時能夠提高解題的速度，盡量降低解題的難度，保持較強的邏輯性思維，逐步推導。與此同時，老師也要加強有關方面教學模式的改進，從多角度提升學生數學歸納法的應用能力。

參考文獻：

[1]袁喜平.如何提高初中語文教學的趣味性[J].西部素質教育，2016，（03）：155-155.

[2]石彬華.如何提高初中語文教學的趣味性[J].科研，2016，（12）：00043-00043.

[3]郜春燕.高中數學教學中如何運用數學歸納法[J].數理化解題研究，2017，（06）：45-46.

（作者單位：河南省鄭州市第四十七中學高二三班）